基于感性具体到理性抽象再到理性具体的教学——“等差数列的前n项和”课堂教学片段与点评*

徐德均

(江苏省南通中学 226001)

所谓抽象，是指在认识上把事物的规定、属性、关系从原来有机联系的整体中孤立地抽取出来；而具体是指尚未经过这种抽象的感性对象，就是实实在在的．马克思认为人对客观事物的认识是在实践的基础上，由感性的具体上升为理性的抽象，进而把各种抽象的规定通过更深刻的思维加工，达到具体的再生产，由理性的抽象上升到理性的具体，从而把握事物的内在联系和本质的过程．

“等差数列的前n项和”是高中数学必修5 (苏教版)第2章第2节“等差数列”的第3课时，主要包含用“倒序相加法”推导等差数列的前n项和的两个公式，结合通项公式揭示五个基本量的“知三求二”的思想方法．它既是前段学习的等差数列的概念、通项公式等知识内容的延伸、巩固和应用，也是进一步学习后续其他知识的基础，更是为用类比的方法学习等比数列作了铺垫，无论在知识层面还是能力层面上，都起到了承上启下的重要作用．

本文结合2019年江苏省中学青年数学教师优秀课观摩与评比活动中，笔者指导的一位青年教师以“等差数列的前n项和”为课题获一等奖的课堂教学片段，简述由具体到抽象，再由抽象上升到具体的教学与点评．

1 基于感性的具体到理性的抽象，讲述历史典故引入课题

·教学片断1

师：我国古代数学巨著《九章算术》中有这样一个故事:今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增十三里……故事中，有同学们熟悉的数学知识吗?

生1：根据等差数列的定义，良马的逐日行程数193,206,219,…，是一个以首项为193、公差为13的等差数列．

师：对！还可知道，良马每日的行程数，如第15日的行程数为193+(15-1)×13=375．根据你的生活经验，就这则故事中的良马问题，还想知道或研究什么？

生2：想知道良马的日行程和，如前15天良马总共走了多少路程？

师：很好！这是一个值得研究的问题，就是我们今天要研究学习的等差数列的前n项和Sn．(教师板书课题：等差数列的前n项和)

点评从讲述《九章算术》中历史数学故事开始，借助于感性具体的良马问题，引导发现良马问题中蕴涵着熟悉的等差数列等理性的抽象，将探求前15天良马日行程总和的具体实际，抽象为探求等差数列前n项和的理性问题，既回顾等差数列的定义、通项公式等旧知，又引发新的课题，设计巧妙自然，具有数学史、传统文化传承教育之意义．

2 基于感性的具体到理性的抽象，将不等转化为相等求和

·教学片断2

师：如何求良马前15日行程的总和S15．

生3：将良马前15日行程数逐个相加求和．

师：可以！好像繁冗了点．

师：这方法可以！但你知道高斯如何得到这种求和方法的吗？(学生集体沉思)其实，早在高斯之前500多年，我国古代数学家杨辉在《详解九章算法》书影中，给出了良马前15天行程总和的一种求和方法．图1中是用条形图表示良马每日的行程，每一个条形的长度表示良马每日的行程数，第1天的行程数用长为193的条形表示，第2天的行程数用长为193+13=206的条形表示，……依此类推，第15天的行程数用长为375的条形表示(图2)．

图1 图2

将图2中的“条形”合拼得图3，15个条形的长度之和则为S15．那么，如何利用图3求S15呢？请学生利用分发的“良马图”，小组讨论，合作探究、展示求S15的方法．

图3 图4

师：(通过动画展示先“割”，再“倒”，再“补”的过程)这种求和的方法就是杨辉在《详解九章算法》书影中给出的方法，图3为图1的横向表示．

图5

师：这组同学是将“良马图”整体先“倒”过来，然后再“补”上去，得到15个长度都为193+375的条形，是将“不等行程数”的求和转化成“相等行程数”倍数，达到求S15之目的．这种方法就是前面一位同学所说的数学家高斯的求和方法．

点评借助于我国古代数学家杨辉将“良马图”先“倒”再“补”通过几何直观求S15的思路，理性抽象出将“不等行程数”转化成“相等行程数”的倒序求和，这是从图形、数量关系中抽象的过程，也是发现“倒序求和”的数学思想方法的思维过程，更是一个沿着古人发现的足迹、传承历史先人们智慧的教育过程．

3 基于感性的具体到理性的抽象，归纳推证前n项和公式

·教学片断3

师：能利用“良马图”的几何求和的思想，推证等差数列{an}的前n项和公式吗？

生6：可以！设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则等差数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]．同时Sn=an+an-1+…+a1=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d]．两式相加，得2Sn= (a1+an) + (a1+an) + … + (a1+an) =n(a1+an)， 由此可得等差数列{an}的前n项和公式Sn=

图6

师：说说为什么有如此的想法？

师：很好！这样我们就得到等差数列{an}的两个前n项和公式，这两个求和公式可以用通项公式联系起来．

点评由“良马图”的先“倒”再“拼”几何直观求和，类比到代数中先“倒序”再“相加”，推证等差数列{an}的两个前n项和公式．从解决问题的思想看这是一致的，都用了“倒”的方法．

4 基于理性的抽象到理性的具体：应用求和公式知三求二

·教学片断4

例1请填写有关等差数列{an}的表格：

a1nanSnd3501013101232-15212

(师生集体分析与学生个性自主练习，教师黑板板书，解答填表)

师：根据等差数列{an}的两个前n项和公式，可建立关于a1,d,n,an,Sn这五个基本量的两个等式关系，较好地完成求解填表，很好！还有更进一步的感悟吗？说明理由．

生8：在等差数列{an}的a1,d,n,an,Sn这五个基本量中，已知其中三个，就可以求余下的两个——“知三求二”．因为虽然五个基本量有三个公式，可以列三个等式，但其实仅是两个“独立等式关系”，即只有两个独立的方程，所以已知其中的三个量，便能求得余下的两个量．

师：说得很好，也很到位！现在请同学们再看一道题．

例2在等差数列{an}中，已知前10项的和为310，前20项的和为1 220，求前30项的和．

师：若将题变为：(1)在等差数列{an}中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和．请用两种方法求解．

(2)请课后查阅、研究《九章算术》中这则有关良马的完整故事．

点评等差数列的两个前n项和公式是理性抽象的结果，而“知三求二”则是理性应用，是运用理性抽象的结果解决具体问题总结而得的规律，也是函数与方程思想在数列问题中的理性运用．

5 总结

2017版普通高中数学课程标准提出：数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．它反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中．

上述几个课堂教学片断正是循着古人的足迹，从《九章算术》中一则故事出发，引入学习与研究的课题，将探求的几何直观求和类比到代数中的倒序求和，归纳推证等差数列的两个前n项和公式，举例归纳“知三求二”思想的应用与巩固．呈现出的是能从历史故事等情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，是从感性具体到理性抽象的活动经验积累，也是在日常生活和实践中一般性思考问题习惯的养成，更是把握事物的本质，从感性的具体到理性的抽象，再从理性的抽象上升到理性具体的以简驭繁．