把握数学本质 启发学生思考 改进教学过程——苏教版“两角和与差的余弦”的教学设计与思考

徐茂炳

(江苏省溧水高级中学 211200)

“两角差的余弦公式”是苏教版必修4第10章的章节起始课，研究的是两角，有别于“同角三角函数的基本关系”“诱导公式”(研究的是同角)，思维角度由单一向复杂转化，思维的广度与难度在拓宽并加深．两角差的余弦公式是全部和、差、倍角公式的基础，是本章公式推导体系的“源”，为后续内容的学习奠定基础．基于“新课标、旧教材”的背景，笔者认真研读新课标的教学建议并对几种版本的教材进行了对比，秉承“把握数学本质，落实核心素养”的理念，为南京市溧水区名师班教师开设了一节示范课.现将这节课的设计意图和教后反思形成文字，与同行交流探讨．

1 基于数学学科核心素养的教学设计和实施

1.1 教学目标的制定要突出数学核心素养

数学教学目标的拟定必须依据三个要素：数学课程标准、数学教学内容、学生的学习状况．三角函数内容在修订过程中特别注意改进了原教科书在内容衔接上的缺陷，把三角函数研究编排在幂函数、指数函数、对数函数之后，一方面引导学生自主构建三角函数的研究过程，另一方面丰富和完善函数的性质(周期性)，特别是强调单位圆的作用，为证明两角和与差的余弦公式进行了预设和铺垫．同时新课标在知识生成顺序上也进行了调整，把本节内容放在向量学习之前.为此，在设计本节课教学目标时笔者进行了认真的分析和思考，为了让公式的证明更加自然和谐，引入了数学史的相关内容．本节课的教学目标设计如下：

教学目标 (1)通过角的旋转变换回顾诱导公式的推导，培养学生从特殊到一般提出问题(两角和与差的三角函数值)，通过数学史发现问题，提升数学抽象素养．(2)通过之前研究三角函数的方法，分析证明两角和与差的余弦公式的策略，感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系，提升直观想象和数学建模素养．(3)从余弦的差角公式推出余弦的和角公式中理解化归思想在三角变换中的作用，提升逻辑推理素养．(4)能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值，提升数学运算素养．

李尚志教授提出：数学核心素养具有连续性、阶段性和整合性等特点，基于数学核心素养的教学设计要突出其特点，以教学目标为指向，结合教学任务设计教学过程，促进学生核心素养的连续性和阶段性发展，使学生会用现成的套路解决不现成的问题．总之，教学目标的确定既要在宏观上整体把握，又要在微观上有所体现；既要注意核心素养之间的联系与交融，还要根据不同的学习内容有所侧重．教学目标的完成需要踏实且科学地执行，要做成、做实.学会用“数学的眼睛看”“数学的思维想”“数学的语言说”，是学生个体在一个一个具体而细化的教学目标中内化得到的收获．

1.2 情境创设、问题设计要有利于发展数学学科核心素养

上课前两位学生分别用大提琴和长笛合奏《欢迎你远方的朋友》，上课铃响时，演奏结束，起立上课．学生、包括听课的教师都以为这仅仅是一种学生才艺表演．在课堂小结环节，笔者让学生思考为什么设置合奏节目.有些学生能回答出是同周期的声波的叠加，也就是sin(ωx+φ)与sin(ωx+θ)相加，其实就是本节课的实际应用．因为这个情境是综合情境，属于水平三，对学生的要求较高，因此放在最后总结时提出问题，没有影响整节课的教学安排，但是能体现出本节课较高的达成率．设置数学教学情境既要紧扣教学目标，适合学生的认知水平，靠近他们的最近发展区，又要具有较丰富的数学信息，形式尽可能的生动直观，易于理解，以便学生提出数学问题，自己去解决自己提出的数学问题，在获取数学知识的同时体验数学知识的形成过程．新数学知识的获得以数学问题的提出为基础，这是为数学的产生与发展的历程所证明的客观事实．

本节课前的知识储备：利用单位圆解释和分析三角函数的概念、性质，以及运用单位圆的直观模型解决三角函数问题的能力．由单位圆结合预设的学习过程，通过归纳推理，利用变化中的不变因素设置如下的情境和问题.

·问题情境

问题1前面我们是如何研究同角三角函数关系和诱导公式的？(目的是复习单位圆)

设计分析从旋转角的角度研究，利用几何直观的方法，探究三角函数式的关系，起点是诱导公式(单角与轴线角的和差三角函数)，终点是两角差的三角函数．从特殊到一般的设计，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模素养．

情境旋转角α-β统一关系式旋转整圈±2kπcos α cos β+sin α sin β=cos(±2kπ)逆(顺)时针半圈±πcos α cos β+sin α sin β=cos(±π)逆时针14圈π2cos α cos β+sin α sin β=cosπ2顺时针14圈-π2cos α cos β+sin α sin β=cos-π2()逆时针旋转π3π3cos α cos β+sin α sin β=cosπ3

通过以上的情境和问题设计猜想：cosαcosβ+ sinαsinβ=cos(α-β)．正如史宁中教授所说：数学结果是看出来的．数学问题情境是学生展开学习活动的环境载体，指向关键数学问题，关注数学本质，具有兴趣特征，能激发学生学习兴趣，引发学生自主探究.具有恰当的情境自然和情境梯度，有利于学生挑战问题，培养科学精神．

1.3 整体把握教学内容，促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展

数学探究活动是综合提升数学学科核心素养的载体．在教学活动中，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养；将数学文化融入教学，还有利于激发学生的数学学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于开拓学生视野、提升数学学科核心素养． 针对本节课的特殊位置，如果按照新课标中教学顺序安排，向量放在之后学习，那么公式的证明方法需要进行一定的调整和补充，一方面结合传统的坐标距离证明，另一方面可以参照数学史给出证明，是对课本中“向量数量积+单位圆”证法的一种补充.因此，本节课教学过程进行如下的设计.

·教学过程

猜想：由任意角β的终边绕原点逆时针旋转得到α的终边，那么α，β间的函数关系如何？

活动2 如何证明？

问题4推导过程是否严谨？为什么？

图1 图2

微视频展示“麦克肖恩证明法”：考虑到学生的实际情况，本节课通过微视频简单介绍这些证明方法．这是附加式地使用数学史．1941年美国数学家麦克肖恩对萨吕斯的证明做了改进．他在《美国数学月刊》上发表文章，避开弦长公式，重新推导了两角差的余弦公式．如图2所示，在单位圆O中，构造∠AOB=α，∠AOC=β，将△BOC顺时针旋转，使得OC与OA重合，OB与OD重合，由AD=CB，利用两点间的距离公式即得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ．这一证明方法是以前教材给出的方法，它适用于任意角的情形．本节课通过微视频介绍麦克肖恩方法的历史背景，再让学生就这一证明方法谈谈感受．

图3

图片展示“无字证明法”：“无字证明”起源于20世纪90年代末美国《数学杂志》开辟的专栏．利用矩形的高作为中间量，算两次即可得两角差的余弦 (图3)．通过这样的设计带领学生一起欣赏“无字证明”所展示的数学美，在欣赏的过程中，巧妙“发现”两角差的正弦公式，为后续教学做了非常好的铺垫．

1.4 重视教更要重视学，促进学生学会学习

本节课采用师生、生生合作交流和以学生为主体的探究式学习展开教学．核心素养方面尤其侧重于数学抽象、逻辑推理、直观想象等素养的提升，主要引导学生通过自主学习和合作探究实现从熟悉的生活情境中抽象出两角和与差的余弦公式的猜想、证明和应用．通过合作交流，明确两角和与差余弦公式的结构特点和记忆方法，从而达到灵活应用公式解决相关的数学问题．

·教学难点的突破 在公式的证明过程中，很快有学生发现，刚才的研究过程仅能说明当α-β∈[0,π]时结论是正确的．但是我们研究的α-β为任意角，如何证明[0,π]范围以外的角研究过程也是正确的呢？在思考交流之后，学生给出了他们的想法：余弦函数的周期为2π并且为偶函数，其他范围的角均可以用这两个性质将其转化为 [0,π]范围之内．当α-β∈[0,π]时，利用cos(θ±2kπ)=cosθ转化为α-β∈(-π,π]；当α-β∈ (-π,0)时，利用cos(-θ)=cosθ转化为α-β∈[0,π]，所以α-β为任意角．

注重公式的推导过程，学生主动对公式进行推导，不仅可以提高其运算能力，还能增强其发散思维能力；其次,在课堂教学中要注重对公式的正用、逆用、变用，对课本中公式的理解可以从字母和式子两个角度进行．课前合奏的情境目的是前后呼应：纯音可以用正弦函数来表达，音高与正弦函数的频率有关，响度和正弦函数的振幅有关，和声、音色与正弦函数的叠加有关．

1.5 重视信息技术运用，实现信息技术与数学课程的深度融合

设计分析:公式的记忆是本节课的重点，为了突出重点帮助学生准确记忆和运用公式，在课件制作过程中笔者用“○”框住α，用“□”框住β，用颜色的改变突出公式的同名三角函数名，用“◇”突出正负号的规律.这样处理在突出重点的同时突破了难点，“○”和“□”可以是一个单角也可以是一个复角，为后续角变换思想的学习做铺垫.

只有正确认识现代教育技术与数学课堂教学的特点，教师才能真正探索出行之有效的现代教育技术的内容、途径和方法.目前数学教材中对几何画板、超级画板、GGB都有专门的介绍，对一些抽象的、含参的、动态的代数和几何问题，充分运用现代教育技术优化教学过程，引导学生改变学习方式，使学生乐于投入到现实的、探索性的课堂教学活动中去，提高自身信息技术素养和数学学习能力.

2 把握本质、启发思考、改进教学的课堂教学反思

(1)公式证明方法，引入数学史的位置和必要性.两角和与差的正余弦公式被称为平面三角学的基本公式．笔者梳理了公式的产生与发展历史过程，从学生的认知基础出发,选择了麦克肖恩方法和无字证明法，既激发了学生学习的兴趣，又让学生感受知识的数学本质．通过前面的情境与问题，学生猜想出公式cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ．“向量法—麦克肖恩法—无字证明法”的方式是这堂课最终的课堂组织形式，通过引入铺垫从数学上给出严格的证明，然后给出数学史中的两种方法，呈现公式发现和证明最原始的形态，提升逻辑推理和直观想象素养．“无字证明—麦克肖恩法—向量法”的组织方式是笔者课前曾犹豫过的，先利用无字证明可以把猜想的结果“做实”，然后再想办法证明，从历史时间上由远及近．从自己的理解来看，对于新教材，如果向量知识后置则可能选用后者更合适．任何数学公式都不是凭空产生的，都蕴含着精彩的思想方法和漫长的发现过程．从历史的视角来呈现公式可以赋予公式鲜活的生命，让学生“穿越时空与数学家对话”，不同时空的研究者对两角和与差的余弦公式给出的不同证明方法揭示了数学文化的多元性以及数学家追求真善美的人文精神．

(2)课本的引入是否可删？章建跃教授曾在全国优质课点评时说：“有些课堂引入可以联系实际，不够自然，或者引入后高于学生的认知水平，学生不能建立有效的数学模型．”由于在进行必修4教学时，物理中的简谐振动学生还没有学到，所以在讲到简谐振动这一模型时，学生的理解总是不到位，处于一知半解的状态．教科书的引入是利用周期运动的叠加，猜想它仍是一个简谐振动．若本节课直接采用课本上两个周期的运动叠加引入教学，笔者认为学生会觉得突兀，并且不能联系生活实际，不能带动学生对课堂教学做有效的探究．因此采用声波的叠加，先设置情境和悬念，通过本节课的学习最终由学生自己解释问题，通过学生自己的才艺，来源于生活高于生活．

(3)板书设计对教学的促进.板书设计是教师的“微型教案”，是一种高浓缩的提炼艺术，它要求教材内容与教师讲授达到合拍共振．匠心独具的板书既能激发学生的思维，又能陶冶学生的情操、诱发学生的美感体验．数学教学中书写大量的数学符号，以及要进行严密的逻辑推理的证明等，都必须借助于板书．笔者认为，数学教学的板书设计主要有提要、示范、深化、美观作用．本节课的猜想结果就是通过“特殊情况”的板书让学生观察、发现、猜想，起到了很好的效果．