探索微专题教学 提高课堂精准度——以“形如条件的应用”为例

周秋斓

(浙江省湖州市双林中学 313000)

1 设计背景

平面向量是有效沟通代数和几何的桥梁，向量也是人们解决数学问题的一种重要数学工具.在高考数学中向量既是一个必考知识点，也是一个创新命题的切入点，常考常新.而且在近几年的考题中，对知识的综合性和灵活性考查增强，难度相应有所提升.因此，教师在指导学生对平面向量进行复习时，要重视回归教材，指导学生对教材中向量的定理、例题、习题展开适当的探究与思考，以拓展知识和能力.其中从平面向量基本定理探究出的向量等和线就是一个重要例子，利用向量等和线求解向量线性运算中系数和问题，比建系转化为代数问题求解更显自然和流畅，有效降低了知识综合性要求与运算能力要求．

2 教学过程

2.1 引例点拨

图1

生1：建系，扇形是圆的一部分，x+y是线性关系，用直线和圆的一部分相交求解.

师：这种方法非常不错，建系是解决向量问题的一种常用方法.

生2：还可以由圆到三角函数，将x+y转化为∠AOC的三角函数.

师：转化为三角函数也是非常精彩的一种解法，求三角函数的最值我们还可采用求导方法.

生3：记OC与AB交点为D，用两次三点共线，找到两次等量关系.

教学反思通过引例让学生体会不同方法的优劣，开拓学生的发散思维，完善学生的数学认知结构，提高学生解决问题和分析问题的能力.

2.2 追本溯源

图2

推论 ①当等和线A1B1在点O和直线AB之间时，k∈(0,1)；②当直线AB在点O和等和线A1B1之间时，k∈(1,+∞)；③当等和线A1B1在点O上时，k=0；④当等和线A1B1和直线AB在点O两侧时，k<0.

教学反思等和线是平面向量三点共线的扩展，并没有增加知识，它不过是共线定理和向量平行相结合的简单推论，将复杂的范围问题转化为图形关系问题,将具体的代数式的运算转换为距离的比例关系，非常直观地体现了数形结合的数学思想．

2.3 思维萌芽

下面通过一个例题来内化等和线的概念.

图3

生1：我发现点P在直线AB上时，由共线定理可知x+y=1，故可以先将选项A排除.

生2：结合图形，再利用等和线定理不难发现，等和线在点O和直线AB之间，所以x+y∈(0,1)，排除选项B,D，故答案选C.

师：等和线其实就是过点P与直线AB平行的直线，同学们对此概念理解得非常到位，再接再厉哦！

教学反思概念的初步认知需要典型的例题加以深化，通过讲练结合，体会概念的形成与运用，学生才能真正理解，并内化进自己的知识模块.

2.4 能力提升

题型1 求共起点向量线性运算的系数和

生1：我们可以先找出过点P与BD平行的等和线l，而点P在圆上，等和线应该与圆有交点，则λ+μ=k.

师：非常好，利用等和线定理，借助数形结合的思想，我们可以更快速地找到解题思路.

图4

师：这位两位同学快速找准了解题目标，而且利用几何图形知识秒杀了此题，解得非常漂亮！

题型2 求非共起点向量线性运算的系数和

高中阶段所学向量均为自由向量，向量平移后得到相等向量，所以在用等和线求解问题时，平面向量共线定理表达式中的三个向量的起点一致，若两向量的起点不同，可以将向量平移实现起点重合．

图5

师：这位同学利用了等和线定理中共起点的特征，再结合图形的特点把一道高考题秒杀了.

题型3 求向量线性运算系数的线性关系式

有时候所要求解的量是系数的一般线性关系式，而非系数和，考虑到可以通过数乘运算将向量进行同向或者反向伸长、压缩，所以从理论上讲， 所有系数的线性关系式都可以通过改变向量的基底，将所求系数的线性关系式变为两个新的基向量的系数和．

图6

师：同学们可以发现x+4y并不是所知基底向量的系数和，所以不能直接用等和线定理.那么，我们可以怎样转化呢？

题型4 求基底为变化向量的系数线性系式

当基向量的终点是变化的，使系数和λ+μ=1的等和线也是变化的，所以满足条件的等和线也相应保持平行变化，从而求解问题的关键在于探求保持平行变化中满足条件的等和线位置．

图7

生：当点P在EQ与半圆切点时，系数和最小，最小值为1.

教学反思向量的等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数式运算转化为了距离的比例运算，数形结合思想得到了有效直接的体现．向量的等和线法将复杂的不等式问题、范围问题、数量积问题转化为简单、直接、操作方便的点到直线距离问题，很多时候用相似即可迅速解决，既提高了做题时间效率和正确率，又提升了学生的学习热情和学习兴趣，还提高了课堂教学的有效性和精准度.

2.5 陌上花开

事实上，对于平面向量基本定理系数问题，与向量等和线相对应的还有等差线、等积线、等商线和等平方和线等.如果进一步把平面向量推广到空间向量，则可以产生等和面.

图8

图9

图10

2.6 课堂小结(略)

3 教学反思

数学家波利亚说过：“良好的组织使得所提供的知识容易用上，这甚至比知识的广泛更为重要，至少在有些情况下，知识太多可能反而成了累赘，它可能会妨碍解题者去看出一条简单的途径，而良好的组织则有利而无弊.”既然我们能将不同的问题作为一个专题集中起来进行复习，那么这些问题之间必然存在内在的联系，解决问题的方法也必定存在某种统一性.因此，我们要把握好微专题教学，提高课堂教学精准度，就必须要做到以下几点.

(2)构“路线图”，促完整性.微专题复习课的重点应放在让学生生成解决本专题问题的基本“路线图”及专题所反映的一般数学思想方法上，而不只是关注单个题目的具体解法.要防止复习的碎片化，避免就题论题.将专题教学异化为同类题的综合训练，起不到专题复习的效果.

(3)讲练结合，注重感悟.在微专题教学中，提升学生思维能力的重要路径是通过讲解、练习引导学生对认知结构中已有的一些解法进行反思与提炼，让学生认识到知识方法之间的联系，从而帮助学生感悟技巧，建立起对一类问题的整体认知，进而生成处理一类问题的基本方法.这样才能让学生做到举一反三，触类旁通.