初中数学教材中数学文化的比较研究——以人教版和新加坡DM版为例*

邹明迪 林 婷 刘 云

(云南师范大学数学学院 650500)

1 问题提出

在TIMSS测试中，新加坡学生的成绩一直名列前茅．2016年的PISA 测试中，新加坡学生也以数学564分的成绩名列第一．不同国家的教育研究者、政策制定者及公众对新加坡的数学教育给予了极大的关注．中国与新加坡的数学教育具有鲜明而迥异的特点，跨国视角下的教材比较研究给数学教育研究者提供了独特的机会．本研究所选取的Discovering Mathematics (2nd Edition)(下称DM)版本是根据新加坡最新的2013年《数学教学大纲》编写的[1].我国的初中数学人教版教材是根据《义务教育数学课程标准(2011年版)》编写的，两版课程标准对于中新两国来说都是目前最新的版本．比较研究这两版教材中数学文化的重视差异的意义是：加强国际间的学术交流，深化数学文化的理论研究；拓宽国际视野，为数学文化的教材编写提供借鉴；为一线教师提供素材，促进学生数学素质的发展．有鉴于此，本研究将对中国人教版和新加坡DM版的初中数学教材中的“数学文化”栏目进行比较分析．

2 研究设计

2.1 研究对象

跨国视角下的教材比较研究有利于促进教育工作者理解不同的教育背景是如何影响学生思维的发展，同时有助于教育诊断和教育决策．本研究从人教版和新加坡DM版的初中数学教材中的数学文化内容出发，确立研究内容为：两版教材中显性数学文化、其他侧面之数学美的比较与分析．两版教材基本信息如表1所示．

表1 教材基本信息

其中，我国初中数学教育是三年制，分为三个年级：人教版共六册书(七年级上下册、八年级上下册、九年级上下册)，浙教版共六册书(七年级上下册、八年级上下册、九年级上下册)．而新加坡初中数学教育是四年制，分为四个年级(中一、中二、中三、中四)，共八册书(1A—1B，2A—2B，3A—3B，4A—4B)．

2.2 研究框架

本研究在参照国内外研究成果的基础上，采用内容分析法分别从两个版本的初中数学教材出发，借鉴沈春晖的显性数学文化研究框架对教材中数学文化表征内容进行各维度的统计分析，获得两个版本教材在数学文化相关内容的编写规律和特点，采用案例研究法选取适合案例对教材中数学文化偏隐性的侧面进行研究分析．

3 两版教材中的数学文化

本文将数学文化内容分为“数学史、数学与现实生活、数学与人文艺术、数学与科学技术”(借鉴于沈春辉)[2]，如表2所示．

表2 数学文化内容分类

3.1 数学文化内容栏目分布

结合两版教材的栏目分布特征，将栏目分为“非正文、引入、例题、习题”四种．非正文指章头、旁白、阅读材料等，引入指正文中除问题以外的其他内容，如情境活动等，例题指含有解答的题目，习题指课后练习等无解答的题目．

图1

由图1可见，两个版本中所蕴涵的数学文化内容都十分丰厚，尤其是新加坡DM版本，多达 1 779处，是人教版的4倍左右，人教版共有449处．从横向看，两版的习题栏目中数学文化的数量是四个栏目中最多的，非正文数量相对最少，从上至下数量呈增长的趋势．从纵向看，比较其数量特征，人教版中数学文化内容的总含量远低于新加坡DM版本.从均衡性上看，两版教材中数学文化在栏目分布上都不均匀．

3.2 数学文化内容分布

文中所指的数学文化是从显性角度出发而确立的广义数学文化，即数学史、数学与现实生活、数学与人文艺术和数学与科学技术．[2]统计结果见图2．

图2

从四个类别的数量来看，两版教材中的数学与现实生活、数学与科学技术这两部分的数量都比较突出，数学与现实生活是四类中数量最多的，新加坡DM版在这方面的数量远超过人教版，两版中数学史、数学与人文艺术的呈现均较少．可见数学文化与现实生活联系之紧密，也正体现了数学来源于生活，服务于生活．

3.3 数学文化课程内容及年级分布

《义务教育数学课程标准(2011年版)》中给初中数学安排了“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个部分的课程内容．[3]统计结果如图3所示．

图3

从图表整体上看，两版教材的数学文化在四个部分的分布是相对一致的，但每版教材在各个课程内容间相差的数量较大，两版教材中的数学文化大多数集中在数与代数部分，接着是统计与概率、图形与几何，综合与实践最少．从结果来看，综合与实践的数量还相对较少，教材中可以再扩充此内容.对于初中学段的学生来说，这类自主参与操作型的数学活动会更吸引学生，同时更能锻炼学生的综合应用能力，进而对学生数学核心素养的培养具有强有力的推动作用．

我国初中数学教育为三年制，分为三个年级，共六册书，而新加坡初中数学教育是四年制，分为四个年级，共八册书．为了研究更深入，从学段出发，对数学文化进行了统计(图4)．

图4

由图4可知，两版教材中的数学文化在三个年级中的数量都十分丰富，并且都呈现出低年级数量多、越向高年级数量越少的趋势．每个年级的数学文化数量中，都是人教版低于新加坡DM版，并且新加坡DM版在十年级的内容中除了一章新知识以外，其余就是总复习内容，总复习内容中又有许多前三个年级的知识及习题，所以呈现的数学文化数量也非常丰富．

4 两版教材中的数学文化运用水平

4.1 数学史运用水平

根据数学史运用特征，将其运用方式分为四类：点缀式、附加式、复制式、顺应式．[2]分类内容见 表3，统计结果见图6．

表3 数学史的运用方式内容

图5

图6

从图6中可以看出，两版教材中的数学史内容大部分都属于附加式，而顺应式、复制式次之，最少的是点缀式．新加坡DM版本中点缀式数量为0，说明新加坡教材中数学史运用水平还呈现单一、不均衡的特点，缺乏与数学相关的图片穿插．人教版在四个运用方式的数量上相差较小，且复制式、点缀式的内容较少，多数是附加式内容，进一步说明人教版主要以阅读材料呈现数学史．总体而言，新加坡DM版的数学史运用水平相对较低、均衡性相对较差．

4.2 其他数学文化的运用水平

其他数学文化包括数学与现实生活、数学与人文艺术、数学与科学技术．本文中其他数学文化的运用方式按照数学知识与数学文化内容的关联度分为外在型和内在型，其中内在型分为可分离型与不可分离型[2].分类标准如表4．

表4 其他数学文化内容的运用方式分类标准

图7

运用方式为外在型的内容如图7(1)所示，是以新加坡鱼尾狮公园开始的章头图.这一章节主要内容是三角函数，利用鱼尾狮喷水时所蕴含的三角学知识引入，但我们所寻找的数学文化本身是新加坡著名的雕塑——鱼尾狮，与数学知识无关．运用方式为内在型中可分离型的内容如图7(2)所示，描述的是不同容量的洗发水价格的差异，比较哪种洗发水更便宜，如果将洗发水换做饮料、洗衣液等也不会对问题的描述产生影响；不可分离型的内容如图7(3)所示，这个问题以美国犹他州拱门国家公园为背景，以拱门的跨度、高度为变量，描述其背后蕴含的二次函数模型，其中数学知识与数学文化是密不可分的．

统计结果如图8所示.从图8中可得，两个版本中关于其他数学文化内容的运用方式存在异同点．

图8

相同点是：两版教材以内在型为运用方式的文化内容数量占比都超过总数的80%，外在型的内容数量很少，数量在总数的11%～15%之间．进一步来看，占比最多的是可分离型，其次是不可分离型，最少的是外在型．这表明两版教材中的其他数学文化内容的运用方式的相似度很高，都侧重于如何将数学文化与教材的有机融合，同时增进数学知识、问题的文化背景，适当地介绍外在型的文化内容.总的来说，数学文化较好地融入了这两版初中数学教材．不同点是：人教版中三种运用方式的比例相对而言悬殊稍小，两者比例比较相似和均衡，而新加坡DM版中三种运用方式的比例悬殊较大，占比最多的可分离型与不可分离型相差31%，与外在型相差49%，这些比例差都超过了人教版．说明人教版中其他文化内容的运用方式较为均衡，新加坡DM版中并不均衡．

5 两版教材数学文化内容其他侧面的案例比较与分析

5.1 教材中的数学美

结合文献，我们对“数学美”的界定是：数学美作为一种科学美，是对包括数学概念、公式、定理、法则或数学体系、数学内部结构等的数学内容的一些适宜的感受．[4]数学美的表现形式具有多样性，具体外在表现为简洁美、对称美、统一美、奇异美，称为外在美，内在表现为数学内容中蕴含的思想、方法，称为内在美．教材作为承载数学艺术的重要载体，其审美价值是不容小觑的．结合对教材文本显性数学文化内容的比较分析以及数学文化含义的多样性，为了研究的深入全面，继续选取数学文化其他侧面内容进行案例的细致比较．本着重要性、典型性的原则，以数学美侧面为切入口，从数与代数模块选取了其中的“二次函数”作为案例．

文[5]认为数学命题包括数学中的定义、公理、定理、公式、性质和法则．性质虽属于定理的一种，但本节中把它单独归为一部分来进行考虑．经过对教材中的数学原理内容的梳理，为了表现更加直观需进行编码整理．编码方式为：(1)数学原理以六个类别的英文首字母进行编码；(2)数学美以四个类别的英文首字母进行编码；(3)在统计中对数学原理采用数学原理类别+数学原理出现顺序编号的双位编码方式进行编码．

5.2 “二次函数”案例

(1)数学原理比较

如表5所示，只保留有数量的类别．

表5 数学定义、性质和法则比较

在二次函数案例中，两版教材中的数学原理在定义的内容和数量上是一致的；在性质上，人教版中所包含的性质数量稍多，内容比较集中，新加坡版则分散在2A, 3A两本教材里；在法则上，人教版数量为1，新加坡数量为0．并且两版教材内容在公理、定理、公式类别上数量皆为0．

(2)数学原理所蕴含的数学美分布

数学美表现形式及含义如表6所示．

表6 数学美表现形式及含义

两版教材中数学原理所蕴含的数学美分布统计结果如表7所示．

表7 数学原理所蕴含的数学美分布

6 结论与启示

学科教育观在很大程度上决定了教学内容、教学方法乃至全部的教育过程．[6]从教育背景来说，中国和新加坡的教育背景十分相似，但反映在教材上，新加坡DM版中数学文化内容更多是和章节知识紧密联系，数学文化内容都是为了更好地服务于知识，并且例题和习题中会有大量重复的数学文化背景知识，这也是新加坡DM版数学文化数量多的主要原因之一，这样的优势在于可以让学生在熟悉的背景下更轻松地掌握数学知识．对比两国教材的异同， 不应该只是形式内容上的比较，而是希望通过对比“取长补短”．基于以上研究，提出以下可供参考的建议．

(1)人教版教材应考虑学生实际，多选取学生所熟知的现实生活题材，从生活实例中感受数学来源于生活.同时引导学生抽象提出数学问题，并付诸实践，多给学生创造与现实生活接触的机会．(2)两版教材中对数学史的内容与价值的挖掘不够充分，没有形成系统的数学史体系．因此，教材应有意识地加大我国古代优秀数学成果和著名数学家的介绍力度，同时引进国外数学史，在增强民族自豪感的同时，也能感受人类文明的发展之艰辛雄厚．(3)人教版教材编写应充分挖掘出数学美和美育因素，课堂中创设美的意境，捕捉美的观点，从而使学生领略到数学变化万千的美．比如数学习题可以从不同角度分析，得出不同的解题方法， 而各种不同解答方法所表现出的就是简洁美、奇异美．教材可以出示具有数学美的图案设计等阅读材料，让学生欣赏数学美的同时感受知识的力量，启发学生创造美的愿望．