等差数列前n项和公式的拓宽及应用

卜佳文

(河北省唐山市第二中学 063000)

求和问题是数列中的重点和难点，对于等差数列的前n项和Sn来说，可以进一步将其拓宽，从而得到很好的结论，这样更有利于我们进一步加深对它的理解、掌握和运用.

结论1 在等差数列{an}中，前n项和为Sn，公差为d，k∈N*.则S2k=k(ak+ak+1)，S2k+1=(2k+1)ak+1.

证明：当n=2k时，a1+a2k=a2+a2k-1=…=ak+ak+1，所以Sn=k(ak+ak+1)；

当n=2k+1时，a1+a2k+1=a2+a2k=…=ak+ak+2=2ak+1，所以Sn=(2k+1)ak+1.

所以Sm=Am2+Bm，Sn=An2+Bn，

=A(m+n)2+B(m+n)=Sm+n，

同理可证：Sm+n=Sm+Sn+mnd.

推论1 在等差数列{an}中，前n项和为Sn，m、n∈N*，m≠n，若Sm=n，Sn=m，则Sm+n=-(m+n).

推论2 在等差数列{an}中，前n项和为Sn，m、n∈N*，m≠n，若Sm=Sn，则有Sm+n=0.

证明：

所以Sp=Ap2+Bp，Sq=Aqn2+Bq，Sm=Am2+Bm，Sm=Am2+Bm.

∵p+q=m+n，

应用举例练习：

1.在等差数列{an}中，若a6+a9+a12+a15=20，求S20.

2.等差数列{an}的前10项的和为150， 其中项数为奇数的各项和为120，求第六项.

3.一等差数列的前10项之和为100，前100项的和为10，则前110项的和为( ).

A.-90 B.90 C.-110 D. 110

4.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( ).

A.130 B.170 C.210 D.260

5.如果等差数列{an}的前4项和是2，前9项和是-6，求其前n项的和Sn.

6.已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，设k∈N*，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等差数列吗？