回归教材 研究真题——让高三一轮复习回归理性*

胡震洪

(安徽省阜阳市第三中学 236000)

一轮复习在高考复习中起着举足轻重的作用，期间，既要对前期所学知识进行补差、补缺、补漏，又要对高中数学体系作进一步建构.同时，它也是二轮复习的起点．如果一轮复习后学生基础仍不扎实，二轮复习就如空中建楼阁．一轮复习课不像新授课那样教学方法多样、教学形式各异、课堂引人入胜，也不像二轮复习那样专题化明显、综合性强，所以一轮复习课容易让学生觉得索然无味，从而导致教学效果不佳，也容易陷入题海战术的误区．一轮复习课应该回归教材、研究真题，理性备考．下面通过一节高三一轮复习课“函数与方程”(第1课时)的案例分析来说明如何进行一轮备考．

1 案例呈现

问题1已知函数y=f(x)的图象如图1所示，请你从不同角度解释实数x1,x2,x3的意义．

生1：x1,x2,x3是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标．x1,x2,x3是方程f(x)=0的三个实数解．x1,x2,x3也是函数y=f(x)的零点．

设计意图概念复习可以帮助教师充分了解学生的学习基础．因为数学具有逻辑性强、系统性强的特点，学生学习基础不扎实，教学将很难开展．本节课通过问题复习函数零点概念，既理清了等价关系：函数y=f(x)的零点⟺ 函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标(形的角度)⟺ 方程f(x)=0的实数解(数的角度)，又说清了一个易错点：函数的零点是数，不是点．此处突出数形结合、等价转化、方程与函数的思想方法．

问题2判断下列函数是否有零点；如果有，有几个．(1)f(x)=x2-2；(2)f(x)=lnx+2x-6．

图2

生3：问题(2)可画出g(x) = lnx和h(x) = -2x+ 6的图象(图2)，这两个函数图象的交点个数就是函数f(x)=lnx+ 2x- 6的零点个数，由图2可知该函数有零点．

师(追问)：什么情况下你会想到将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题？转化的依据是什么？

生4：当函数模型较复杂且是两个基本初等函数组合而成时，可以将函数的零点问题通过分离，转化为两个函数图象的交点问题．

生5：转化的依据是函数f(x) = lnx+2x-6的零点就是方程lnx+ 2x- 6 = 0的解，也是方程lnx=-2x+ 6的解，可以看做函数g(x) = lnx和h(x)=-2x+ 6的图象交点的横坐标．

(板书)函数的零点 ⟺ 方程的解 ⟺ 两个函数图象的交点问题．

师：(追问)如何说明该函数只有一个零点呢？

生6：函数f(x) = lnx+ 2x- 6是增函数，因此它只能有一个零点．

(板书图3)

图3

设计意图通过两个小题复习了判断函数零点个数的三种常见方法——解方程法、图象法和转化法．也说明了解决函数零点个数的问题需要考虑两个方面：是否存在，是否唯一．前者可以借助函数图象直观感知，既能感知零点是否存在，也能大致判断出零点所在的区间；后者常常需要利用函数单调性说明零点的唯一性．

该问题可以进一步帮助学生熟悉研究新函数的一般思路方法：当遇到一个新的函数时，非常自然的做法是画出它的图象，观察图象的形状，挖掘图象特点，并借助图象研究函数性质．

图4

师：这是从形的角度做出的判断，你能用数的方法解决这个问题么？

师：怎么说明该函数在区间(e, e2)上只有一个零点？

师：你是怎么想到求f(e)和f(e2)的呢？

生9：因为函数中出现了lnx，只有x取e, e2, e3, e-1, …这样的数，lnx才能等于有理数，便于计算．

师：在区间(0, 1)内，你选择了哪两个数进行计算？

师：我们发现，通过画出函数图象，借此大致判断函数零点的个数和区间，再通过合理取值、计算，确定零点所在的区间．

(板书 形——确定方向，数——确定区间)

图5

师：刚才几位同学利用函数的单调性和函数图象，从形的角度明确了研究的方向，下一步应该从数的角度确定零点所在的区间．

师：(追问)零点所在区间的右端点找到了，左端点怎么处理呢？(学生讨论未果)

设计意图本题改编自2015年全国文科数学Ⅰ卷21题第(1)问：设函数f(x)=e2x-alnx，讨论f(x)的导函数f′(x)的零点的个数．本题有一定难度，在问题解决的过程中需要用到函数的有界性和极限思想，恰恰是这两个难点打开了学生的视野，将本节课推向高潮．

2 教学启示

2.1 回归教材是根本

教材是打好数学基础、形成基本技能的“蓝本”，所以高考复习必须重视教材这一宝贵资源，真正地回到教材中去.不少教师虽深知回归教材的重要性，却不知道该如何做．如果只是简单地再重复一次，学生必然会感到索然无味，激不起对教材再学习的兴趣，又谈何复习效果？学生在学习新课时，受知识能力的限制，学到的内容往往是零散的，既缺少系统系、整体性，又缺乏必要的深度和高度．而高三复习中回归教材需要站在整体的高度重新审视教材、架构知识体系，从而对于原来的知识点有新的理解、新的发现、新的感悟．

(1)回归基本概念.复习中常常会遇到这样的情况，学生已经能熟练地背诵出概念，能默写出公式，但遇到问题依旧束手无策．其原因主要是学生对概念的认识仅仅停留在接受和表面理解上，不清楚概念的产生，不重视概念的辨析，不理解概念的功能，从而把概念和数学问题割裂开，这种单纯地通过背诵进行概念复习是低效或无效的．同样，学生不关注公式的形式特点、不重视公式的价值，就会出现拿着公式不会用的情况！基础概念的复习中，“会背”和“会用”是两回事.本节课通过解决简单问题(问题1)复习概念，可以检验出学生对零点的概念是“真懂”还是仅停留在“会背”的层面上．

(2)回归例习题.问题2改编自人教版数学必修1第88页例1[1]：求函数f(x) = lnx+ 2x- 6的零点的个数．教材中利用信息技术作出x,f(x)的对应值表和函数图象，利用表(代数直观)和图(几何直观)引导学生直观感知到函数存在零点，通过计算f(2)·f(3)<0说明函数在区间(2, 3)内有零点，通过单调性说明零点的唯一性．利用该题明确了“直观感知、操作确认”是解决函数零点问题的一般流程．一轮复习再次选择这道题，没有了信息技术做支撑，需要学生有化归与转化的意识，能将非基本初等函数f(x)=lnx+2x-6转化为两个基本初等函数g(x)=lnx和h(x) =-2x+ 6．同一道题在不同的学习背景下可以具有不同的教育价值.高一时，该题的价值是巩固零点存在性定理；高三时，该题的价值是考查学生的直观感知素养和化归与转化的思想．一轮复习的选题要注意回归教材上的典型例题，形成学生解高考试题的关键能力．备课时要注重对教材中典型例题的挖掘，只有对一个题目不断地、多角度地审视，才能发现它所承载的核心素养，发挥它的最大价值．

2.2 研究真题明方向

高考是教学的指挥棒，这是一个不争的事实，所以高考的导向作用始终是高中数学教学最为关心的问题，无论从学生学的角度，还是从教师教的角度，高考都起到积极的导向作用．不少教师存在认识上的误区，认为高考题都是考过的试题，今后不可能再拿过来考查学生，况且受复习资料及模拟试卷的牵制，根本没有精力和时间研究高考题，于是教师整天就围绕资料、模拟试题转，这种只顾低头拉车、不抬头看路的做法带有很大的盲目性，缺乏针对性.为了提高复习的有效性、少走弯路，研究历年高考题实为必要.上述案例中的问题3和问题4都选自高考真题.研究高考题是教师备课的重要一环，脱离高考题的复习课犹如纸上谈兵，即使是前几年的高考题在一轮复习中也都很有参考价值.一轮复习中可以适当改编高考题，让老题发新芽，让高考题在高考复习中奏出华美的乐章．

近年来年的高考试题通过规避题型、强化概念、注重基础、着意思维的做法，旨在向一线教师宣示“题海战术可休矣”的教学理念，对有力推进“立德树人”的教育理念起到一定的导向作用，体现“以人为本”命题理念．笔者认为教师必须摒弃盲目题海战术模式，顺应课改潮流，改变落后的教学理念．不仅要深化基础知识的理解与应用，而且还要深化学生思维能力的培养，有意识地运用素质教育的方法去提升考生的应试水平，做到科学、高效、理性备考．