等差数列的一个性质及其应用

■陕西省武功县教育局教研室 李 歆(特级教师)

同学们知道在等差数列学习中,有一个重要的性质:

已知{an}是等差数列,若m+n=p+q,则有am+an=ap+aq。

这个性质反映了等差数列第m项am、第n项an、第p项ap、第q项aq之间的等量关系,由此可以联想,等差数列{an}前m项的和Sm、前n项的和Sn、前p项的和Sp、前q项的和Sq之间,是否也存在着某种等量关系呢?经过探究,得到如下一个性质:

性质：设Sm,Sn,Sp,Sq分别为等差数列{an}的前m项的和,前n项的和,前p项的和,前q项的和,且m+n=p+q,则有(p≠q)。

证明：设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则由等差数列的前n项和公式,可得

整理以上两式,即得结论。

用上述结论解题,关键在于合理地选择下标m,n,p,q。

例1 已知｛an｝为等差数列,a1=1,S5-S2=6,则S6=( )。

A.9 B.10 C.11 D.12

点评:由于a1=S1,且S1,S2,S5,S6的下标之间满足关系:1+6=2+5,所以可以用性质求解。

例2 已知{an}为等差数列,a3+a4=8,则S5-S1=( )。

A.8 B.16 C.24 D.32

点评:从已知条件中求不出a1和d的值,只能得到a1和d的某个关系式,最后还需要将S5-S1转化为含有这个关系,比较麻烦,但将已知条件a3+a4=8,转化为S4-S2=8,用性质求解却极为简便。

点评:已知条件和所求问题中,出现了S2,S3,S4,S5,下标之间满足关系式:2+5=3+4,可用性质解题。

点评:在此解法中,先引入了一个中间量S3,最后又联立方程消去S3,既体现了“设而不求”的解题方法,同时又渗透了“方程思想”。