HPM视角下的复数序言课教学*

向 荣 卢成娴 沈中宇

(华东师范大学附属东昌中学 200120)(华东师范大学教师教育学院 200062)(华东师范大学数学科学学院 200241)

1 引言

现行教科书中每一章开头部分都有相应的章头语和章头图，简单介绍此章的主要内容及相关背景．这些内容与传统的数学教学内容不同，由此产生了一种新的课型：章节序言课．作为每一章的起始，序言课的教学要向学生揭示为什么要学习这一知识、其主要知识脉络和思想方法[1]，具有揭示知识起源、展现知识联系、理解研究方法、渗透数学文化、培养学习兴趣等价值[2-3]．但在教学中，教师对章节序言课的价值还认识不够，对如何进行序言课的设计也缺乏方法论的指导[4]．因此，在培养核心素养的背景下，如何发挥章节序言课的价值成为了大家关注的焦点[5]．已有研究表明，数学史融入数学教学具有“知识之谐”“方法之美”“探究之乐”“能力之助”“文化之魅”和“德育之效”等价值[6]，因此数学史融入序言课的教学有助于序言课价值的实现，为序言课的设计提供了独特的视角和丰富的资源[7]．翻开数学史的画卷，复数漫长的发展史生动地呈现了复数从发明到发展的全过程．将数学史料融入“复数”一章的教学之中可以还原复数的发生发展过程、展示复数不同知识点的联系、提供复数的研究方法、渗透复数知识背后的人文元素并激发学生学习复数的兴趣．但从目前来看，将数学史融入复数序言课的尝试还相对较少．

基于以上思考，我们拟定本节课的教学目标如下：了解数系的发展全过程、了解复数产生的历史原因，知道复数发生发展的过程；对复数的代数形式和几何表示有所了解，逐步理解“虚数不虚”的含义；对实系数一元二次方程的求解有完整的认识；经历复数代数形式抽象概括的过程，培养数学抽象的数学素养；通过数学史知识的渗透建立良好的数学观，培养浓厚的数学学习兴趣，激发问题探究意识．

2 历史材料及其运用

复数概念的历史发展经历了虚数概念的起源、复数理论的发展、复数理论的成熟三个阶段．本节课将以复数概念的形成为脉络，利用重构、复制、附加的方式将相关的历史素材融入到教学之中．

2.1 虚数概念的起源

2.2 复数理论的发展

2.3 复数理论的成熟

复数在其他领域中的应用是从18世纪开始的．法国数学家德朗贝尔(d’ Alembert, 1717-1783)将复变函数理论应用于流体动力学，瑞士数学家兰伯特(Lambert, 1728—1777)将复变函数应用于地图的制作．后来，复数又在电学和物理学的其他许多领域得到广泛应用[10]．虽然魏塞尔、阿甘德和高斯完成了复数的几何表示，但是哈密尔顿(Hamilton, 1805—1865)将复数建立在了更加完善和严密的数学理论之上． 1837年，哈密尔顿发表文章指出把复数a+bi看作一个有序实数对(a,b)，他把这样的有序实数对定义为一种新数，并给出了加减乘除的运算法则．哈密尔顿证明了这种二元数系是封闭的，且满足交换律、结合律和分配律，由此把复数建立在严格的实数基础之上．

3 教学设计与实施

本节课采取的是主体性教学模式，关注课前、课中、课后学生学习主体性的发挥，因此课前对学生有一定的学习要求．一方面，教师整理数系发展的资料，并将其作为阅读材料下发给学生进行学习；另一方面，学生自行上网搜集资料，课前以小组为单位进行交流．这样的课前准备既为学生学习新知打下了坚实的基础，又向学生说明需要用发展和联系的眼光进行学习．

3.1 情境创设，引出主题

师：今天这节课我们将开启一段数学文化之旅.同学们，你们认为数学美吗？

生：美．

师：数学不论其外在形式还是内容都有着丰富的美，让我们掌声有请一位同学为我们讲述数的发展过程．

师：讲得非常好！简单地介绍了数的发展．当数集发展到实数集的时候，是否就停止了脚步？不是．所以本节课的主题是“认识复数”.任何一本书都有序言，那我们在开启一章新的内容之前也需要有序言.今天我们上的是一节序言课，本节课我们将实现如下的学习目标：我们为什么要学习复数？这一章将讲授哪些具体的内容？在学习过程中我们将运用哪些重要的数学思想方法？

通过梳理数的发展过程，树立学生的问题意识，并为复数的学习作铺垫．

3.2 走进历史，探究缘由

师：同学们在课前观看了视频“虚数不虚”，应该收获了一些信息.这部视频中谈及了《大术》一书，谈到了一些人物，如卡丹和邦贝利．下面我们走进复数发展史，穿越时空，探究当时遇到的问题．

故事1邦贝利的故事

教师首先讲解卡丹的著名问题以及虚数的发现，接着讲解邦贝利与虚数的故事．

生：可能会放弃．

故事2欧拉的贡献

生：不存在，虚数与实数相对，虚无缥缈．

师：同学们能不能根据我们所写出的虚数归纳概括出其一般形式？

生：a+bi (b≠0)．

师：有了虚数的符号表示，是否就能够解释虚无缥缈的虚数到底是什么了呢？这个问题也困扰了数学家很长时间．

故事3虚数的几何表示

师：回顾数的发展，每一个实数都可以与数轴上一个点建立一一对应关系，那么虚数该如何表示呢？我们能否找到这些虚数的几何表示？

生：感觉有困难．

师：一维的数轴不能解决问题，让我们在二维的平面直角坐标系中找答案．

教师介绍阿甘德对虚数的几何表示，引导学生理解i的几何意义．

图1 阿甘德对虚数的几何表示

师：以上的研究帮助我们认识了数系发展的一个新的阶段，我们接受并认可了虚数的存在，理解了虚数不虚．

通过再现三个历史片段，让学生充分理解引入复数的必要性，理解虚数不虚的含义，解决本节课的难点问题．

3.3 层层推进，获取新知

图2 表示数集发展的文化图

教师引导学生用文氏图表示数集的扩充过程(图2)，理解数集之间的包含关系，为引出复数集做好铺垫．

师：实数集与虚数集之间是什么关系？

生：两个集合的交集应该是空集．

师：按照数集的发展规律，新的数集的产生既包含原有的数又会补充新的数，所以我们把新的数集称之为复数集，用C来表示．历史上，复数这一术语是由数学家高斯引入的．请问你们认为复数的一般表示形式是什么？

生：仍然是形如a+bi的形式．

师：很好，记作z=a+bi，特别强调a,b∈R．请同学们讨论一下复数的类别划分．

生：当b=0时复数z成为实数，当b≠0时复数z是一个虚数．

师：其中当b≠0时，我们可以就a的取值进行分类讨论，得到b≠0,a=0时复数为纯虚数；而b≠0且a≠0时复数为非纯虚数．

教师通过图示帮助学生强化理解复数的类别划分．

师：在平面直角坐标系中，一个点和一个有序实数对建立一一对应关系，那么一个复数在坐标系中该如何表示？比如2+i，在平面直角坐标系中会如何表示？

生L在黑板上进行板演，她取了一个点(2,1)，在坐标系中进行标记．

师：我们来分析一下生L的表示过程.根据复数z=2+i，确定了有序实数对(2,1)，再在坐标系中把这个点表示出来，这样就有了复数2+i的坐标表示．大家认可这样的表示方式吗？

生众：可以．

师：生L做得非常好，我们把其中的过程提炼一下.一个复数与一个有序实数对建立一一对应关系，而一个有序实数对与平面直角坐标系中的一个点建立一一对应关系，因此可以用平面直角坐标系内的点来表示复数，也可以用复数来描述平面直角坐标系中的点．建立了直角坐标系用来表示复数的平面称为复平面．历史上，在阿甘德给出虚数的几何解释之后，高斯进一步将复数与平面上的点一一对应，完善了复数的几何表示．

教师详细介绍了复平面的概念，强化学生对复数形的认识．

师：引入复平面概念后，我们可以继续研究复数的哪些问题呢？

生1：可以度量长度．

生2：好像复数与向量有联系．

教师给出了复数模的定义，并提出问题：如果已知|z|=1，你们会想到什么？

学生在教师的引导下知道了|z|=1对应的曲线是单位圆．

师：有了复数模的定义之后，通过数形结合思想，我们就可以研究复数所对应的动点的轨迹问题.以后，我们也将研究复数运算.这些(图3)都将是我们接下来着重学习的内容．

图3 复数内容的思维导图

通过师生之间的对话交流将知识层层推进，促使学生深入思考本章将学习的具体内容，让学生对接下来要学习的知识有一个大致了解．

3.4 总结提升，知识升华

教师带领学生针对本课的三个篇章、三个学习目标进行小结．首先将数学史料进行系统展示(图4)．

图4 复数的历史发展

师：实际上，在高斯完善了复数的几何表示之后，复数在流体动力学、地图的制作以及电学和物理学等领域都得到了应用．到了19世纪，哈密尔顿进一步将复数建立在更加完善和严密的数学理论之上．

接下来让学生谈谈学习体会．

生1：从数学发展的历程可以了解对未知领域的探索是无穷的，要想到、找到解决问题的方法，不要止步于此．

生2：最近我们在语文课上学了一篇文章，是著名物理学家沈致远先生写的《说数》，他在谈及数学文化之旅时写了这样一首小诗《零赞》，我想分享给大家——“你自己一无所有/却成十倍地赐予别人/难怪你这么美/像中秋夜的一轮明月．”虚数，在历史上本来是不被承认的，但后来数学家通过人类的理性将它证实了．数学不仅是一种美，背后还闪耀着理性的光辉．虚数作为一个里程碑，我觉得非常伟大，值得敬佩．

师：通过序言课的学习，我们知道了虚数产生的必要性，知道了数集由实数集扩充到复数集，因此求解方程的时候可能是实根也有可能存在虚根．我们需要着重认识复数的代数形式，理解复平面引入的意义．在知识的引入过程中运用到了常见的数学思想方法，如分类讨论、数形结合．课后请同学们继续思考“复数”这一章还有哪些内容需要研究、应该如何研究．

4 学生反馈

课后，我们收集了全班32名学生对本节课的反馈信息．所有学生都表示听懂了这节课的教学内容，其中68.8%的学生很喜欢这样将数学史融入课堂教学，31.2%的学生挺喜欢这样的数学史融入方式．由此可见，学生对本节课的接受度较高．对于问题“为什么要学习复数”，93.8%的学生认为是考试要考，78.1%的学生认为是因为解三次方程时发现实数可以写成含有负数开根的形式，62.5%的学生认为是要解决一元二次方程中无解的情况，59.4%的学生认为是由于复数在生活中有很多应用．说明本节课后，除了应试的目的之外，学生对于学习复数的原因有了更深的理解．对于问题“通过本节课的学习，你对复数一章所要学习的内容有哪些了解”，65.6%的学生能够写出数集间的关系(典型答案如图5(1))，25%的学生能够写出较全面的章节内容(典型答案如图5(2)),说明学生对于数集之间的关系以及复数这一章的学习有了一定的了解．

(1) (2)图5 学生对复数学习内容的了解

对于问题“在本节课中，我们学习了哪些数学思想方法”，学生的回答有数形结合、分类讨论、降次、抽象、理想建模等．说明学生对复数的研究方法有了一定的了解．

对于问题“这节课你印象最深的是什么，为什么它会让你印象深刻”，学生的回答主要有：

·数学史(24条).如以一种新奇的结合历史的方法令人更明白这堂课的内容，不枯燥、历史情节复现，使数学知识的教学更加生动、虚数是怎么被发现的，数学的进步是人们不断探索发现的．

·虚数(复数)的几何解释(5条).如本来认为虚数非常虚无缥缈，但当它放入直角坐标系中后，化无形为有形，对于虚数的理解有很大的帮助．

· 讲课老师的个人魅力(2条).如老师美丽的双眸以及犀利的解题思路．

· 数学方法(1条).降次的方法应用广泛．

另外，根据学生的课后作业发现，学生在复数的代数形、数集的扩充和各数集之间的关系、复数的类别判断、复数相等概念、对i的认识、复数的大小比较、复数的实部和虚部等知识点上的掌握较好，只是在一些符号和关系的表达上稍有错误．

在课后感想中，学生分享了他们对于序言课的看法．典型回答如下：

· 作为复数的启蒙课，它让我更有逻辑地认识了复数．复数的发展历史增强了我对复数的好奇心，提高了研究兴趣，课堂气氛活跃，消除了对数学中又一新知识学习的隐隐恐惧．同时，通过序言课循序渐进地引入复数比直接从它的概念讲起更加形象生动，易于理解．

· 序言课理清了整个章节的框架，为接下来的学习打下了基础，让我们的思路更清晰．

· 序言课让我们先系统地了解整个单元的大致框架，包括整个复数单元所要学习的内容，认识了学习复数中要用的数学思维方法，且序言课生动有趣．由数学史引入，开拓了我的知识面，也使我对知识点的记忆更深刻．

· 从虚数的历史开始学习，使我对复数的理解变得更容易，学习了复数的历史，增加了学习复数的趣味性和生动性，增加了学习复数的兴趣．

5 结语

序言课首先要解决的是“为何”的问题．对于复数的概念，教科书按照数系扩充的逻辑顺序，即无实根的一元二次方程的求根问题来引入.但早已接受“方程可以无解”这一事实的学生，面对“让无实数根的方程有解”的新要求，内心必然是缺乏动机的．数学史告诉我们，复数产生的真正动因不是解一元二次方程，而是解一元三次方程的需要．本节课再现了16世纪意大利数学家邦贝利解三次方程所遇到的“矛盾”，由此揭示引入复数、扩充数系的必要性，从而解决了“为何学习复数”的问题．在教科书中，复数章节主要涉及复数的概念、几何表征以及运算等内容．在课堂上，教师带领学生重历复数发展的过程，根据复数的历史将复数的概念、表征、运算、应用等知识点一一串连起来，巧妙地解决了“何为复数”的问题．教师首先借助“邦贝利问题”引出虚数概念．其次，通过 “欧拉引入符号i”以及“阿甘德用几何表示虚数”两个历史片段，呈现虚数的两种表征方式，使学生从代数和几何两个角度认识虚数i，解决“虚数不虚”．在此基础上，教师利用历史上“高斯对复平面的研究”，进一步引导学生构建复数的几何意义；利用“哈密尔顿对复数理论的完善”，介绍复数的简单运算以及广泛应用．

对于“如何”学习复数的问题，教师根据数学家研究复数的过程，总结出复数学习包含了数形结合的思想方法．从历史上来看，虽然复数早已诞生，但直到复数几何意义的出现，数学家才真正理解复数，复平面的建立有助于复数理论的完善．另外，复数的代数运算理论又丰富了其几何意义的发展．由此可见，复数的代数表征与几何表征相辅相成，数形结合对于研究复数是至关重要的．但在实际教学中，教师并未深入阐释“数”与“形”对于复数学习的意义，这是本节课有待改进的地方．