杨氏弹性模量测量实验综述

段 阳 杨浩林 伍泓锦 贾欣燕 樊代和

(1西南交通大学物理科学与技术学院，四川 成都 610031；2物理国家级实验教学示范中心(西南交通大学)，四川 成都 611756)

1 杨氏模量及其测量概述

弹性模量是描述固体材料抵抗形变能力的物理量[1]。其只取决于固体材料本身的物理性质，外界环境对其没有影响。弹性模量越大，固体材料越不容易形变。各项同性物体的弹性模量包括拉压弹性模量E、剪切弹性模量G、体积弹性模量K、泊松比μ以及拉梅弹性常数λ[2]等。

1727年，欧拉提出了类似弹性模量的“模高”ω和“模重”h的概念，分别定义为ω=EA和h=E/ρg，其中，E表示材料的弹性模量；A为杆件的横截面积；ρ为材料密度；g为重力加速度。1807年，托马斯·杨(Thomas Young)出版了《自然哲学与机械技术教程》一书，其中提到：“任一材料的弹性模量，是同一材料构成的一个柱体，在柱体底部能够产生一定的压力，该压力与引起柱体某一压缩度的重量之比，等于柱体长度与其缩短量之比”，这里提出的弹性模量概念与欧拉提出的“模重”类似。若将“柱体”理解为“单位底面积柱体的重量”，则他的论述就是现在的弹性模量定义,故而弹性模量又被称为“杨氏弹性模量”[3]，简称为杨氏模量。

一方面，杨氏模量是研究微机械材料[4]、石墨烯材料、金属复合材料[5]、混凝土[6]、纳米材料[7]、陶瓷[8]、橡胶[9]等材料力学性能的关键参数。随着工业材料的发展，杨氏模量的应用变得必不可少，同时对杨氏模量的测量精度要求也越来越高。另一方面，据不完全统计，杨氏弹性模量测量实验，国内约有87.8%的高校将其作为大学物理实验课程中的实验项目之一[10]。从2019年开始，该实验项目也成为了全国高等学校物理基础课程青年教师讲课比赛实验题目规范表中的20个题目之一。因此，杨氏弹性模量测量实验在当前国内高校大学物理实验课程中的重要性不言而喻。

目前，国内不同高校的物理实验教材，采用了不同的实验原理来进行固体材料杨氏模量测量实验，已报道的文献材料中也有很多关于杨氏模量的测量及改进方法。然而，对该实验测量的系统归纳整理还未见报道。因此，为了能够对这个具有重要应用价值的、开设范围较广的大学物理实验项目进行一个系统梳理，以期为国内高校的物理实验教学提供参考，并为后几届计划参加全国高等学校物理基础课程(实验)讲课培训的青年教师提供借鉴作用，本文系统地综述了目前已报道的杨氏模量实验测量的原理和方法，分析了这些方法的测量精度及优缺点等。

2 杨氏模量的测量方法

目前，杨氏模量的测量方法通常分为以下4种：静态拉伸法、动态共振法、梁弯曲法以及超声波测量法。其中，静态拉伸法又可分为光学测量和电学测量两大类。动态共振法又可分为普通共振法、负载动态法、激光双光栅法等几类。梁弯曲法可分为激光光杠杆放大测量、单缝衍射法、霍尔传感器测量法及光纤布拉格传感器法等。

2.1 静态拉伸法

静态拉伸法主要适用于金属丝、头发丝等可拉伸丝状材料，其测量原理是对被测材料施加一个使其产生伸长形变的力，通过测量材料受力后的微小伸长量，最终使用定义公式来计算杨氏模量。例如，在被测材料两端加上与杆平行的力F，杆的长度将由自然长度L变为L+ΔL，这种应变以长度的相对增量ΔL/L来表征。若被测材料的截面积为S，则根据胡克定律,在弹性限度内, 应力的大小与应变成正比，即：

(1)

式(1)中，E就是被测材料的杨氏模量值[11]。从式(1)可以看出，如果要测量得到杨氏模量E的值，只需要测量得出F、S、ΔL、L即可。其中，最难测的物理量就是ΔL，因为其量值范围非常小，在通常的实验条件下，仅为微米量级。因此，当采用静态拉伸法测量材料的杨氏模量时，如何精确测量ΔL，就成为实验测量的关键。

2.1.1 光学测量法

目前，针对ΔL的测量，光学测量法有光杠杆法[12-16]、莫尔条纹测量法[17]、等厚干涉法[18]、迈克耳孙干涉法[19,20]、双缝干涉法[21]、数字激光散斑法[22,23]、数字全息比较法[24]、光纤传感器法[25]、光栅衍射法[26]等。我们首先阐述光杠杆法的测量原理。

在杨氏模量的测量实验中，最普遍的测量ΔL的方法是光杠杆法。该方法同时也是目前国内高校大学物理实验中最常使用的测量方法[27]。其测量原理是通过光杠杆放大微小位移的特点，测出材料受力时的伸长量。光杠杆的测量原理图如图1所示[12]，当被测材料受力伸长导致的α角度很小时，可以得出如下近似：

(2)

其中，b为光杠杆前后足的垂直距离；D为标尺到光杠杆小平面镜中心的距离；Δn为望远镜中标尺读数的改变量。

图1 光杠杆法测材料杨氏模量示意图

从式(2)可以看出，光杠杆测量ΔL的原理，实际上就是通过D≫b这一实验设置，将微小伸长量ΔL进行光学放大后测量得出。

根据式(1)，若被测材料为一直径为d的圆柱体，则杨氏模量测量的理论公式可写为

(3)

将式(2)代入式(3)中可得光杠杆法测量杨氏模量的实际公式为

(4)

例如，文献[12]利用光杠杆法测得典型的钢丝的杨氏模量值为：E=2.10×1011Pa，相对不确定度为uE/E=5.7%。光杠杆法不仅可以测量金属丝材料，也可对其他可拉伸材料进行测量，例如，文献[13]中测得某头发丝的典型杨氏模量值为：E=4.40×1010Pa。

但是，利用光杠杆的测量原理，进行杨氏模量的测量时也有一些不利因素。基于此，有文献给出了如下的一些改进方法。

首先，在实验装置的调节方面，由于实验装置中望远镜的视角较小，需要调整光杠杆镜面法线与望远镜光轴重合，观察由光杠杆的镜面所反射的标尺的像比较费力，针对此问题目前有以下两种解决方案。例如，可将望远镜换为激光器，使其发出的光束照射到光杠杆的平面反射镜上，调节平面反射镜镜面使激光反射到标尺上，直接读取光斑在标尺上的位置读数即可[14]；或者，给标尺加一个发光装置，在标尺背面靠近测量者的一面安装可发某种光的光源，使其成为一个具有发光功能的LED标尺，如发红色的荧光管，红光透过标尺向外散射，使标尺变成有别于周围颜色的光源[15,16]。此时，在望远镜中便可轻而易举调节出标尺在光杠杆镜面里成的像，这样就使标尺读数变得简单，减少了实验过程中调节仪器的时间。

其次，在实验数据的测量方面，加减砝码时下夹头会随着钢丝晃动，导致下夹头上面的光杠杆会移位，有可能从支架平台上掉落。针对此问题的解决方案有以下两种。例如，在下夹头的适当位置处打一个大小、深度适中的小槽，让光杠杆的后支点刚好放在小槽里，这样就避免了光杠杆随着下夹头的晃动而移位[15]；或者，将砝码换为拉力测力计，并增设一个固定于底板的定滑轮，增加减震效果[16]。

由于光杠杆法在实验过程中测量步骤繁琐，读数时需要“两边跑”，因此介绍下面几种实验过程简便的测量方法。

图2 莫尔条纹测量ΔL原理图

第二种测量ΔL的方法是莫尔条纹法，图2就是一个典型的原理图[17]。其测量的原理是：莫尔条纹移动距离与光栅移动距离之间存在一定的线性关系，莫尔条纹的放大特性可以将物体的微小位移量转化成莫尔条纹的移动，从而便捷测量出材料的微小伸长量ΔL，由文献[17,28]知：微小伸长量ΔL可表示为ΔL=NW=(Δn/B屏)W。其中，B屏为显示屏上一个莫尔条纹对应的宽度；W为光栅栅距；N为条纹移动个数；Δn为被测材料受力时，莫尔条纹位移量。当利用莫尔条纹原理测量得到ΔL的值后，最终可以得出杨氏模量的测量公式为

(5)

例如，文献[17]就用这种方法测量了钢丝的杨氏模量值，其测量值为E=1.961×1011Pa，相对不确定度uE/E=8.16%。与光杠杆测量法相比，利用莫尔条纹法测量杨氏模量的优点是实验仪器装置简单、结构紧凑、占空间小 、便于观测 、实验过程操作简便、安全且不会造成视觉疲劳。

第三种测量ΔL的方法是等厚干涉测量法，其实验装置图由图3所示[18]。该实验装置将干涉仪两个反射镜(分别为M1、M2)的其中一片垂直固定到铝片AB上，垂直的反射镜经过分光镜所成的虚像与平行的镜片不严格平行时可形成空气楔形平板。铝片上有三枚螺丝，其中只有一枚螺丝的为动脚，将此螺丝放在杨氏模量测量仪测量钢丝长度变化的地方，当钢丝长度发生变化时，会使铝片角度发生改变，最终导致条纹的宽度也发生变化。

这种测量方法中，进行函数关系的辅助运算，即可得到材料受力时的微小伸长量：

(6)

其中，D是动脚到水平面的高度;l为定脚到动脚的距离;λn为实验使用单色光在空气中的波长;b1、b2分别为钢丝伸长前后从毛玻璃屏幕上测量到的两相邻明(暗)纹之间的距离。最后根据等厚条纹宽度变化，利用公式

(7)

即可求出杨氏模量。例如，文献[18]中，利用等厚干涉测量法实验测得钢丝的杨氏模量为E=1.8×1011Pa，相对不确定度uE/E=27.78%。尽管该测量方法的相对不确定度偏高，但其也有一定的优点，如测量方法更加简单，无需用到显微镜，不用考虑显微镜的回程差等问题，可以直接由肉眼进行观测。若需要更高精度的数据可选用电脑进行图像处理，也可作为一个综合性实验纳入大学物理实验。

第四种测量ΔL的方法是利用迈克耳孙干涉原理，其测量原理图如图4所示[19]。

当金属丝在外加拉力(装置中水杯的重力)的作用下，带动灵敏杠杆的一端，灵敏杠杆的另一端带动迈克耳孙干涉仪的动镜M1，产生微小的移动，进而引起干涉圆环数目的变化，利用光电传感器捕捉光信号进行自动记录干涉圆环的“冒出”与“淹没”，即可实现对微小位移的测量：

ΔL=h/n=kλ/2n

(8)

其中，k为条纹的条数；n=a/b为放大倍数(支点O将杠杆分为长度为a和b的两部分，AO=a，BO=b)，λ为He-Ne激光的波长。经过推导，杨氏模量的测量公式可写为

(9)

其中，F为拉力传感器测量到的水的重力。

文献[20]中对杨氏模量的测量也使用到了迈克耳孙干涉仪，不同的是其将经过扩束的半导体激光器更换为商用He-Ne激光器，使得干涉结果由同心圆环变成强度明暗变化的干涉，并将原本用于观察干涉圆环的毛玻璃屏更换为强度探测器，该实验的测量公式为

图4 迈克耳孙干涉仪法测量杨氏模量实验装置图

(10)

其中，λ为入射激光的波长；K=ΔN/F为单位拉力下探测到的干涉波峰(谷)的个数。实验所用的材料可能是黄铜的未知材料，其杨氏模量为E=1.588×1010Pa，相对不确定度uE/E=0.57%。该测量方法相对传统方法精度高、数据处理方便，同时将大学物理实验中常用的迈克耳孙干涉仪与杨氏模量的测量联系起来，启发学生的创新思维，锻炼学生的实验综合能力。

第五种测量ΔL的方法是双缝干涉法，其测量原理图如图5所示[21]。这种方法的测量原理是将活动双缝装置安装在杨氏模量实验仪器的平台上，钢丝受力伸长带动活动双缝下移，引起狭缝间宽度改变，干涉条纹发生变化。

图5 双缝干涉法测量杨氏模量原理图

文献[21]报道了ΔL的计算公式为

(11)

其中，s0、s1分别是加砝码前后狭缝的宽度；Δx0为相邻两明(暗)纹间的距离；Δx1为加上砝码后相邻两明(暗)纹间的距离；D为双缝到屏的距离；λ为激光的波长。利用如上所述的测量原理，最终得出杨氏模量的测量公式为

(12)

文献[21]中，利用该原理实验测得钢丝的杨氏模量为E=1.97×1011Pa，相对不确定度uE/E=0.20%，该方法相对不确定度低，精度高，克服了光杠杆法读数困难的缺点，简化了实验过程。

第六种测量ΔL的方法为数字激光散斑法，其测量原理图如图6所示[22]。

图6 数字激光散斑法测量杨氏模量原理图

其测量ΔL的原理为：利用激光照射被测物品，激光通过样品漫反射后在空间形成散斑图像，利用图像传感器检测散斑图像，分析材料形变时散斑图像的变化，从而计算出材料的杨氏模量，散斑测量系统被测物实际移动位移d与图像移动像素n之间的关系为

d=kn

(13)

其中，k=8.38×10-3mm/pix；这里的d就是钢丝伸长量ΔL。再根据式(3)即可计算出杨氏模量。例如，文献[22]利用此方法，实验测得钢丝杨氏模量为E=2.13×1011Pa，相对不确定度uE/E=8.92%。

另外，文献[23]也利用了散斑技术测量材料丝的杨氏模量，测量原理为：用光电成像器件记录待测物体做微小面内位移前后的散斑图，通过数模转换、Matlab叠加、傅里叶变换等过程，可观察到杨氏干涉条纹，再进行处理就可得到待测材料的位移信息，即数字散斑照相术。该文献测量得到的金属丝杨氏模量为E=2.1783×1011Pa，相对误差为Er=8.915%。

利用数字激光散斑法测量杨氏模量值的优点是测量精度高、光路简单、易于操作、数据处理速度快等。

第七种测量ΔL的方法是数字全息比较法，其测量原理图如图7所示[24]。

图7 数字全息法测量杨氏模量实验原理图

通过全息法对铝板在微小外力作用下所发生的微小形变量进行测量，从而计算出其杨氏模量的值。实验中分别拍摄铝板发生微小位移前后的图片，并将其干涉图样通过电脑再现出来。最终，杨氏模量的测量公式可写为

(14)

其中，L为铝板长度；b为铝板宽度；Fy为自由端所施加的力；x为不同级数干涉暗纹所在处沿x轴方向的位置；α为拍摄记录时入射光和反射光与位移方向的夹角。例如，文献[25]利用这种方法测量得到铝板的杨氏模量值为：E=7.48×1010Pa，相对不确定度uE/E=4.01%，相对误差为3.9%。该方法相对于传统光学全息法，不仅毋需化学试剂处理的繁琐过程，缩短了测量时间，而且减少了由于传统全息中曝光时间过长外界环境干扰因素对测量结果的影响，提高了测量结果的准确性。

第八种测量ΔL的方法是光纤传感器法。其测量原理图如图8所示[25]。

图8 光纤传感器测量微小位移原理图

由光纤传感实验仪发射光纤发出的光照射到反射面上，经反射面形成反射锥体，当接收光纤在反射锥体内，便能接收到反射光，因此一部分反射光由接收光纤传回到光纤传感实验仪的探测器上，经过光电转换元件将接收到的光信号转化为电信号，通过检测反射光的强度变化，就能测出反射体的位移。这种方法中，通过将金属丝作为反射体，则可测量出拉伸下的微小位移量，从而通过公式

(15)

来测量得到杨氏模量值。其中，L为金属丝长度；g为重力加速度。例如，文献[25]利用这种方法测量钢丝的杨氏模量值为E=1.97×1011Pa，相对不确定度uE/E=2.03%。该方法的优点是精确度高，实验过程简单方便，数字化仪器可使读数更精确，进而减小实验误差。

第九种测量ΔL的方法是光栅衍射法，其实验原理图如图9所示[26]，该实验将待测材料与光源相连接，初始时光栅第k级衍射光与望远镜平行，而待测材料产生微小伸长量ΔL的同时光源发生小角度Δθ的转动，要使光栅第k级衍射光再次与望远镜平行，则需要光栅转动α，可得到Δθ与α的关系：

图9 光栅衍射法测量杨氏模量原理图

(16)

其中，θ为初始入射光与水平方向的夹角。从而测出待测材料的微小伸长量ΔL：

(17)

该方法设计新颖，可行性较高，而且对于微小角的放大倍数很高，大大提高实验精确性。

以上，即为目前报道的9种利用光学测量原理实现的杨氏模量测量实验概况。结合部分已报道了测量精度的文献，表1给出了针对杨氏模量测量相对不确定度及其优缺点的比较汇总，由表中可看出拉伸法测量杨氏模量的普遍缺陷是其实验装置稳定性低，钢丝伸长存在延迟导致误差。

表1 光学方法测量杨氏模量的相对不确定度及优缺点对比

从表1中可以看出，文献[21]报道的双缝干涉法的相对不确定度uE/E最低，可达到0.20%，其次是文献[20]报道的迈克耳孙干涉法，为0.57%；文献[20]报道的等厚干涉法的相对不确定度最高，达到了27.78%。

从实验操作方面而言，双缝干涉法与光纤传感器法都较为简便，实验步骤清晰。在实验构想方面，除了光杠杆法，其他测量方法都将微小量的放大与其他光学技术(实验)结合在一起，在简化实验步骤的同时，又具有综合性，可进一步培养学生创新能力，增强学生综合素质。

2.1.2 电学测量法

电学测量法的主要原理是利用金属的导电性来进行ΔL的测量，因此电学测量法只适用于金属丝材料，目前报道的有直流双臂电桥法[29]、惠斯通电桥法[30]、RLC串联交流谐振法[31]、非平行板电容法[32]等。

第一种测量方法是直流双臂电桥法，其实验装置如图10所示[29]。

图10 直流双臂电桥测杨氏模量的实验装置图

将金属丝接入双臂电桥的一路桥臂中充当该桥臂的电阻，其他都接入已知电阻，则可以通过公式Rx=R1Rn/R2来计算出金属丝的电阻值，又由于“同一材料的导体，其电阻与导体的长度成正比，与导体的横截面积成反比”[33]，即公式ΔR=ρΔL/A， 当金属丝发生微小伸长时，其电阻也会改变，由于金属丝电阻已通过双臂电桥简单测出，进而其杨氏模量测量公式为

(18)

其中，ρ为导电系数；ΔR为电阻变化量。文献[29]中测得碳钢的杨氏模量值为E=2.00×1011Pa。

该测量方法的优点是实验方法简便，测量数据符合精度要求；将金属丝杨氏模量的测定实验与双臂电桥测微小值电阻实验综合成一个实验，保证了实验质量，提高了实验效率,丰富了实验内容，开阔了学生的视野。但其缺点是，实际上金属丝伸长时其长度和横截面积均改变，而该实验中假设其伸长前后面积不变，会造成一定误差。

第二种测量ΔL的方法是惠斯通电桥法，其电路原理如图11所示[30]：

图11 惠斯通电桥示意图

其原理是将金属丝接入电路作为惠斯通电桥的一路桥臂，根据电阻的微小变化测得金属丝的微小伸长，该方法下的杨氏模量计算公式为

(19)

其中，KS为应变片丝栅的灵敏系数；R10是钢丝的初始电阻；US是电源初始电压；R2为电桥中钢丝的相邻桥臂；ΔUBD为电桥两端点间的电压变化量。

该实验引入了应变片，使得钢丝的形变转换成应变片的电阻值，从而将电阻的变化放大，待测电压的值变大，文献[30]测出的实验结果为E=2.13×1011Pa。利用该原理测量杨氏模量的优点是：(1)实验考虑到金属丝拉长后长度、面积对电阻都有影响，数据精确，误差小；(2)实验使用应变片来放大电阻变化，提高精确度。

第三种测量ΔL的方法是采用RLC串联谐振法， 其实验装置如图12所示[31]。

图12 RLC串联谐振法测量杨氏模量实验装置图

将RLC串联交流谐振电路的电感替换成自制的密绕长螺线管，将待测金属丝穿过磁棒，并用夹子将磁棒固定在金属丝适当位置，并保持磁棒在螺线管中下部位置，且将螺线管竖直放置。当金属受外力时，金属丝会产生细微伸长，进而带动磁棒在长螺线管内伸长，文献[34]报道了电感变化量与螺线长度变化量的关系：

ΔL0=μ0n02(μr-1)SΔL

(20)

其中，ΔL0为电感变化量；ΔL为螺线长度变化；Δf0为谐振频率变化量；μ0为真空磁导率；μr为相对磁导率；n0为螺线管线圈匝数；S为磁棒的截面积。利用该原理测量杨氏模量的公式可写为

(21)

其优点是原理简单、精度高；有较强的抗干扰能力，稳定性好。

第四种测量ΔL的方法为非平行板电容器法，其实验装置如图13所示[32]。

图13 非平行板电容器法测量杨氏模量实验装置图

其原理是使用3个电容器板构成两个电容器，其中上下两板平行且固定，中间板可绕中心转动些许角度，初始位置与上下板平行，将钢丝下端与中间板端点连接，钢丝发生微小伸长时，电容板会有小角度转动，测量电容改变量即可计算出钢丝的伸长量：

ΔL=Dθ

(22)

其中，D为电容器转轴到钢丝的距离；θ为平行板转动角度。最终利用该原理测量杨氏模量的公式可写为

(23)

文献[32]中对钢丝的测量结果为E=1.98×1011Pa，相对不确定度uE/E=21.72%。尽管测量得到的相对不确定度较高，但其优点是测量方法新颖，结合了非平行板电容器，知识涉及广泛，较有综合性。

以上为目前利用电学测量原理进行杨氏模量测量的方法概况，上述4种方法中，只有非平行板电容器法[32]给出了相对不确定度：uE/E=21.72%，其相对不确定度偏高，值得继续研究改进。其余3种方法都利用了常用的电桥、电感原理，适合作为教学实验开展。在实验操作方面，电学测量法比光学测量法更加简便，尤其是在数据处理方面，不需要处理过多数据，且电学测量稳定性更好。

2.2 动态共振法

除了静态拉伸法测量杨氏模量值外，动态共振法也是一种普遍使用的杨氏模量测量法，多适用于棒状材料等难以拉伸的脆性材料，文献[35]根据固体材料的动力学方程推导出动力学下杨氏模量的测量公式：

(24)

其中，L为材料丝的长度；d为材料丝的直径；m为质量；f为固体材料的固有频率。

根据式(24)可知，材料的固有频率和杨氏模量有关。由于固有频率与共振频率数值相等，因而利用动态共振法测量杨氏模量的关键为用各种不同方法测量材料的共振频率，进而实现材料杨氏模量的测量。

一般动态共振法的实验装置如图14所示[35]。

图14 动态共振法测量杨氏模量实验装置图

其实验原理为：给试样加机械振动，当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有信号波形或波形很小。当信号发生器的频率等于试样的共振频率时，试样发生共振，示波器上的波形突然增大，这时读出的频率就是试样在该温度下的共振频率[35]。改变支撑点位置，记录不同位置的共振频率，用外延法或内插法找出节点处共振频率，利用式(24)便可计算出试样的杨氏模量。

例如，文献[36]利用智能手机上的Spectrum Analyzer软件来进行共振频率的读数，测得铜棒的杨氏模量E=10.45×1010Pa，相对不确定度uE/E=3.83%，该方法增加了实验的可操作性和趣味性，简化实验仪器，减小实验操作的难度。

除了如上所述一般的测量方法，还有几种较为创新的动态测量法。

首先是激光双光栅法测固体材料的共振频率，其实验装置如图15所示[37]，主要原理是使激光器与铜棒产生共振，激光通过一固定光栅和与铜棒相连的动光栅，发生衍射，用示波器接收并处理衍射光，示波器的光拍数则对应输出频率，一个周期内拍频数目最多时的频率，即为共振频率，再通过式(24)计算出黄铜棒的杨氏模量E=1.109×1011Pa，相对不确定度uE/E=5.6%。

图15 激光双光栅法测量杨氏模量实验装置图

其次是负载动态法，其直接提出了细杆横振动普适的定解问题，通过建立理想振动模型，导出了杨氏模量的计算公式[38]：

E=38.32l2ρf2/h2

(25)

其中，l是细杆的长度；ρ是杆的体密度；f是固有频率；h是杆的厚度。

该方法通过在杆上不同位置加载砝码或同一位置加载不同质量的砝码来改变杆的共振频率，通过光电门输出信号到示波器来测量共振频率，从而根据式(25)求出杆的杨氏模量。例如，文献[38]中测得铁杆的杨氏模量E=1.75×1011Pa，相对不确定度uE/E=1.14%。

利用负载动态法测量杨氏模量的优点是测量精度较高，相比传统动态法测量杨氏模量，该方法不需要改变样品长度，只需要改变负载的位置和质量，在测量大型杆或不易改变杆的长度时具有较大的优势。但其也有缺点，例如该方法的推导过程比较复杂且专业性过高，不太适合大多数大学生在物理实验中理解使用。

以上为目前利用动态法测量杨氏模量的方法概况，表2为数据汇总，从数据精确度方面，负载动态法[38]精确度最高，相对不确定度为1.14%；实验方法上，手机软件记录数据[36]十分新颖，数据精确度也较高。相比于静态拉伸法，动态共振法可以避免载荷大、存在弛豫过程等情况，且测量稳定性更高，实验仪器更简化。

2.3 梁弯曲法

对于片状或块状材料，可采用梁弯曲法来进行杨氏模量的测量。目前，已报道的弯曲法测量杨氏模量的方法主要有光纤布拉格光栅测量法[39]、激光光杠杆测量法[40]、霍尔位置传感器法[41]、单缝衍射法[42,43]等。

光纤布拉格光栅测量法主要使用到了FBG(纤芯折射率沿光纤轴向呈周期变化的光栅)，实验原理如图16所示[39]。将FBG传感器粘到待测金属片下面，使用三点弯曲法使待测材料产生微小形变，从而通过测量该形变进行杨氏模量的测量：

(26)

其中，a、b为压力施加点与金属片两端的距离，a、b可取任意值；λB为布拉格中心反射波长；s为应变片粘贴位置到左端点的距离；k为光栅的应力灵敏系数。

图16 光纤光栅传感器测量杨氏模量实验装置图

文献[39]使用该方法测得铜梁的杨氏模量E=1.10676×1011Pa，相对误差约为Er=0.6%。采用这种方法测量杨氏模量的优点是测量精度高，且具有普适性，可测量任意刚性固体材料的杨氏模量。

激光光杠杆测量法是用光杠杆的放大原理将材料的微小形变放大进行测量，实验装置可如图17所示[40]，通过添加砝码使测试材料发生弯曲，从而带动平面镜支点下移，使原本与水平光束垂直的平面镜发生倾斜，则镜面反射到墙上的激光光斑将随之上移，通过光斑的位置变化计算实际的微小位移量，从而推导出杨氏模量的测量公式为

(27)

其中，a为梁的厚度；b为梁的宽度；d为刀口间距离；k是利用y=A+kM拟合而成的，M为砝码质量。

图17 激光光杠杆法测量杨氏模量实验装置图

文献[40]使用该方法测得铸铁的杨氏模量E=1.874×1011Pa。该实验运用了激光器，比传统测量方法简便，操作直观、准确、实验率高。

图18(a) 梁弯曲法示意图; (b) 霍尔位置传感器测量杨氏模量实验装置图

霍尔位置传感器测量法运用了霍尔位置器测量微小位移的原理，实验装置如图18(b)所示[41]，将厚为a、宽为b的金属板放在相距为d的二刀口上(如图18(a)所示)，在金属板上二刀口的中点处挂上质量为m的砝码，板被压弯，假设砝码处下降ΔZ，即金属板的微小形变量，使用霍尔位置传感器来测量：

(28)

若dB/dZ为常数，ΔUH与ΔZ成正比。即当位移量较小(<2mm)时，霍尔电势差与位移量之间存在一一对应的线性关系。

结合梁弯曲的力学推导公式，待测材料弯曲后的杨氏模量公式可写为

(29)

文献[41]使用该方法的测得铸铁的杨氏模量E=1.846×1011Pa，相对误差为Er=1.7%。利用该方法测量杨氏模量的优点是，精确度较高，并且将杨氏模量的测量与霍尔位置传感器结合起来，可提高学生的知识综合能力。

图19 单缝衍射法测量杨氏模量实验装置图

将单缝衍射法和梁弯曲法相结合也是测量材料杨氏模量的方法之一，其实验装置如图19所示[42]，测量原理是利用自制单缝装置将梁弯曲产生的微小形变转化为狭缝的缝宽变化，通过测量衍射条纹的变化得到负载不同时的玻璃板的微小形变，进而得出样品的杨氏模量：

(30)

其中，a、b分别为待测材料的厚度和宽度；ΔZ为玻璃板中心的挠度；d为玻璃板两支撑点之间的距离。

文献[42]通过该方法测得玻璃板的杨氏模量为E=6.69×1010Pa，其相对误差为Er=6.69%。另外，文献[43]也利用该种方法测量了金属棒的杨氏模量E=1.008×1011Pa，相对误差Er=4.45%，实验较为准确地测量了材料的杨氏模量，拓展丰富了测量杨氏模量的方法，培养学生利用所学知识自主创新的思维。

以上为目前利用梁弯曲法测量杨氏模量的方法概况，由于这几篇文献中都未提及相对不确定度，则用相对误差来进行数据精确度分析(如表3所示)，可看出光纤布拉格光栅法的相对误差最低，仅有0.6%；在实验操作方面，激光光杠杆的操作最为简便。

表3 梁弯曲法测量杨氏模量的相对误差及优缺点对比

2.4 超声波测量法

由于超声波在软组织中的传播速度与软组织的杨氏模量之间存在一定的关系，因此利用超声波测量杨氏模量也是一种很好的方法。超声压缩波在试块中的传播速度与试块杨氏模量之间的关系为[44]

(31)

其中，ν是被测材料的泊松比;ρ是被测材料的密度;cL是纵波波速。

例如，文献[44]通过超声波法测得到猪肌肉组织和猪肝脏组织的杨氏模量分别为1.84×107Pa和2.08×107Pa，实验结果与预期值接近。

对于金属材料，超声波法也可有效测量其杨氏模量，其测量原理如图20所示[45]。

图20 回振法测超声波示意图

这种测量方法中，利用高频脉冲发生器通过发射换能器产生超声脉冲，试样传播一段时间后，被接收换能器接收，经放大、整形和鉴别后重新触发高频脉冲发生器，产生下一个超声脉冲，使整个系统变成一个振荡器。通过测量多次循环的传播时间，用频率计测得脉冲的重复频率，从而计算出超声波的传播速度，进一步根据公式

(32)

来测得杨氏模量的值。其中，ρ为各同向性材料的密度；VT和VL分别为横波波速和纵波波速。例如，文献[45]就利用回振法测量超声波在试样中的传播时间，然后计算出传播速度从而得出杨氏模量的值。其测量得到密度7.837×103kg/m3的钢的杨氏模量为E=2.0996×1011Pa(纵波法)和E=2.00039×1011Pa(横波法)，测量值十分接近理论值。

由于超声波具有穿透性强、无创性等特点，使用超声波测量杨氏模量可以简化实验过程，节省时间，其多应用于医学等专业领域相关杨氏模量的测量。

3 总结

本文对目前国内报道的杨氏模量测量实验进行了详细的综述。通过调研和总结发现，国内报道的杨氏模量测量原理可分为4大类，分别为静态拉伸法、动态共振法、梁弯曲法，以及超声波测量法等。其中，静态拉伸法大类里，又可分光学测量法和电学测量法两小类。针对光学测量法，其可包含9种不同的测量杨氏模量的原理，分别为光杠杆法、莫尔条纹测量法、等厚干涉法、迈克耳孙干涉法、双缝干涉法、数字激光散斑法、数字全息比较法、光纤传感器法、光栅衍射法等。针对电学测量法，其可包含直流双臂电桥法、惠斯通电桥法、RLC串联交流谐振法、非平行板电容法等4种测量原理。动态共振法大类里，包含了传统测量法、激光双光栅法、负载动态法等3种测量原理。梁弯曲法大类中，包含了光纤布拉格光栅测量法、激光光杠杆测量法、霍尔位置传感器法、单缝衍射法等4种测量原理。同时，超声波速法也是一种通过测量超声波在介质中的速度进而测量出杨氏模量值的一类方法。通过系统总结并详细阐述上述提到的各种不同测量杨氏模量的原理及测量精度，本文还对部分实验方法的优缺点进行了总结。希望本文的综述结果，一方面为国内高校中学习本实验的学生提供一个全面的参考资料，另一方面也为国内高校从事大学物理实验教学的教师和对讲课比赛感兴趣的青年教师提供借鉴作用。