从模型构建的角度深度窥视空气阻力

应发宝

(北京市中关村中学，北京 100086)

1 问题的提出

2019年北京高考中一道有关“空气阻力”题在老师们之间引起了一场不小的争论。讨论的焦点聚焦在模型的建构及应用条件上。

真题：雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。

(1) 质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W。

(2) 将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f=kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系数。

a． 设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式；

b． 示意图(图1)中画出了半径为r1、r2(r1>r2)的雨滴在空气中无初速下落的v-t图线，其中________对应半径为r1的雨滴(选填①②)；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v-t图线。

图1 不同半径雨滴无初速下落的v-t图

(3)由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f∝v2(提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m0)。

2 理想气体模型

一般的落体运动速率远低于空气分子的平均速率。如图2所示，设圆盘下落方向为x正方向，这时圆盘下表面与沿-x方向运动的气体分子发生碰撞，物体上表面与沿+x方向运动的气体分子发生碰撞。当物体以速率v，沿+x方向运动时，可以认为，气体分子与物体两端面的碰撞是完全弹性的。

图2 圆盘下落与空气分子碰撞

设单个气体分子的质量为m，气体分子数密度为n，并考虑沿+x方向和沿-x方向运动的气体分子数占总分子数的1/6。

因此物体所受阻力为

(1) 不考虑气体分子间的相互碰撞(稀薄理想气体)及其自身重力；

(2) 不考虑空气分子的速度分布，分子沿空间各方向运动的分子数目相等；

(3) 分子与运动物体的碰撞是完全弹性碰撞，其运动遵守牛顿运动定律；

(4) 不考虑运动物体表面的摩擦及其尾部的涡流。

因此其计算结果与实际情况还是有差距的，如当物体运动接近于声速时，是不能用简单的函数确定f与v的关系的，只能用图解法或近似法求得。尽管如此，以上计算结果还是具有一定的指导意义。

3 密集粒子流模型

对于一个真实的物理情景，我们可以从不同的角度建立模型。但是所建立的模型是否能解释这一现象，需要从实验的角度来加以验证，但相对繁杂。若要判断所运用的阻力模型是否简单适用，只要比较生活中已有的客观事实和模型预言结果的一致性即可。因此，我们首先要了解真实的空气分子是如何分布的客观事实，然后再建立可行性模型去解决问题，而不是乱套模型。

图3 同种气体分子碰撞

3.1 动能定理

3.2 动量定理

设空气分子与圆盘碰撞前后相对速度大小不变。在Δt时间内，与圆盘碰撞的空气分子质量为Δm=SvΔtnm0，以F表示圆盘对气体分子的作用力，以Δm为研究对象，运用动量定理FΔt∝Δm·v，得F∝nm0Sv2，即圆盘所受空气阻力f∝nm0Sv2。

结论2：基于实际分子自由程视角的宏观静止密集粒子流模型可以在不计分子热运动条件下推导出下落雨滴所受空气阻力大小f∝v2。因此，题干“由于大量分子在各方向运动的几率相等”确为多余条件。

4 结语

模型构建是抽象思维和形象思维相结合、统一的结果，是在以科学知识和实验事实为依据，经过一系列科学方法(如分析与综合、抽象与概括、演绎与推理等)逻辑推理认证的基础上建立的，是知识与思维的产物。只有熟悉模型建构过程，才会知道模型的蕴涵；只有重视模型的深度理解才会深化概念规律的内涵。