四叶图距离矩阵2个最大特征值和的变化

吕哲 高玉斌

摘要：为了能够在任何情况下准确得到四叶图在2种图变换下距离特征值的极值，运用行列式的性质、韦达定理及不等式的放缩，给出了四叶图的2种图变换及上述问题的结果。首先分别给出变换前后3种四叶图距离矩阵、距离拉普拉斯矩阵及距离无符号拉普拉斯矩阵，利用行列式的性质计算得出其特征多项式，由韦达定理判断出3种距离特征多项式正负根的个数，通过不等式的放缩估计出特征值的范围，从而求出2个最大特征值和的范围;其次对变化前后四叶图的3种距离矩阵2个最大特征值的和进行比较。结果显示，四叶图在经过2种变换后2个最大特征值的和是增加的。所得结果为特殊图类距离特征值极值问题提供了研究方法，对分子稳定性问题的研究具有一定的借鉴价值。

关键词：图论;四叶图;距离矩阵;特征值;图变换

中图分类号：0157.5文献标识码：A doi：10.7535/hbkd.2020yx02000

1问题的提出

多年来，图距离矩阵特征值的研究一直是热点问题。GRAHAM等证明了树的距离矩阵的行列式仅是顶点数的函数，之后国内外学者对距离矩阵的谱进行了研究。HAKIMI等提出了距离矩阵的可实现性问题，RUZIEH等找到了路的所有特征值和特征向量，FOWLER等给出了圈Cn的所有距离特征值，文献[5]给出了萤火虫图距離矩阵2个最大特征值的下界，杨若松等得出了5类特殊图的距离矩阵的多项式。关于图的拉普拉斯矩阵特征值的研究有很多。文献[12]给出了距离拉普拉斯矩阵和无符号拉普拉斯矩阵的定义，文献[13]得到了简单图拉普拉斯矩阵第一大与第二大特征值和的上界及树的前k大特征值和的上界，文献[14]研究了单圈图距离拉普拉斯矩阵的2个最大特征值。对于特殊图类距离矩阵特征值的相关研究见文献。

若图G中有一块是树，其他块是圈，且所有圈都粘在这颗树的根节点上，则称G为仙人掌图，用G（n，r）表示含有r个圈的n阶仙人掌图。当r=4且每个圈为三角形时称为四叶图。笔者主要研究四叶图在2种变换下的距离矩阵、距离拉普拉斯矩阵和距离无符号拉普拉斯矩阵的2个最大特征值的和。由于确定上述矩阵的2个最大特征值和的问题比较困难，所以本文给出四叶图的2种变换，估计了变换前后四叶图的距离矩阵、距离拉普拉斯矩阵和距离无符号拉普拉斯矩阵的2个最大特征值的和，进而得出经过这2种变换，上述矩阵2个特征值的和是增加的。

鉴于四叶图结构的复杂性，确定矩阵的2个最大特征值和的问题是比较困难的。笔者只研究了四叶图的2种图变换下3种距离矩阵2个最大特征值和的变化。研究方法可为继续研究四叶图3种距离矩阵2个最大特征值和的极值问题开拓思路。