利用“降阶法”求解欧拉方程
2017-03-27刘庆辉
刘庆辉
【摘要】本文通过“降阶法”研究了三阶非齐次欧拉方程的求解问题,给出了通解的积分形式,并通过具体例题来说明求解的方法和步骤.
【关键词】欧拉方程;降阶法;特征方程;特征值
【基金项目】2015年唐山师范学院教育教学改革研究项目——《常微分方程》课程教学改革的研究与实践(2015001018).
欧拉方程是一类很重要的变系数微分方程,对于它的求解一直是研究的重点.可以发现,对于非齐次欧拉方程的求解主要有两种方法,但计算步骤较烦琐,而且计算量也很大,本文以三阶非齐次欧拉方程为例,通过对未知函数进行合适的变换,进而降低方程的阶数,并得到其通解的积分形式,而且此方法可以推广到更高阶的非齐次欧拉方程.
定义1形如
x3y+ax2y″+bxy′+cy=f(x)(1)
的方程称为三阶非齐次欧拉方程,其中a,b,c∈R,f(x)是连续函数.
定义2形如
x3y+ax2y″+bxy′+cy=0(2)
的方程称为三阶齐次欧拉方程,且方程(2)称为对应于方程(1)的齐次欧拉方程.通过对比可以发现,当方程(1)中的自由项f(x)≡0时,便为方程(2).
定义3称方程
k(k-1)(k-2)+ak(k-1)+bk+c=0(3)
为方程(2)的特征方程,方程(3)的根称为方程(2)的特征根.方程(2)的特征根对应它的某个特解.
定理1若在方程(1)中c=0,且k1,k2满足方程:k(k-1)+ak+b=0,則方程(1)的通解为
y=∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-2f(x)dxdxdx,
其中通解中的三个相互独立的常数包含在三个不定积分中.
证明当c=0时,方程(1)变为
x3y+ax2y″+bxy′=f(x),
上式为可降阶的三阶方程,做函数变换,令z=y′,则上述方程等价于
x2z″+axz′+bz=x-1f(x),(4)
方程(4)的通解为z=xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-2f(x)dxdx,
因此,方程(1)的通解为
y=∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-2f(x)dxdxdx,
其中通解中的三个相互独立的常数包含在三个不定积分中.
定理2若在方程(1)中c≠0且y0(x)=xk0是满足方程(2)的非零实特解,k1,k2满足方程k(k-1)+(3k0+a)k+[3k20+(2a-3)k0+b]=0,则方程(1)的通解为
y=xk0∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-k0-2f(x)dxdxdx,
其中通解中的三个相互独立的常数包含在三个不定积分中.
证明因为y0(x)=xk0是方程(1)的非零特解,做函数变换y=xk0∫udx,并代入方程(1)中,整理后可得:
x2u″+(3k0+a)xu′+[3k20+(2a-3)k0+b]u=x-k0-1f(x),
显然方程(1)降低一阶,且上式为关于u的二阶非齐次欧拉方程,结合已知条件与定理1的证明可知,
u=xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-k0-2f(x)dxdx,
即方程(1)的通解为:
y=xk0∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-k0-2f(x)dxdxdx,
其中通解中的三个相互独立的常数包含在三个不定积分中.
下面通过具体例题来说明如何利用定理1和定理2来求解非齐次欧拉方程.
例1求方程x3y-x2y″+2xy′-2y=2x3的通解.
解显然,y=x是对应的齐次欧拉方程的非零实特解,即k0=1,将各系数代入
k(k-1)+(3k0+a)k+[3k20+(2a-3)k0+b]=0,
得到k(k-1)+2k=0,
解得k1=0,k2=-1,又f(x)=2x3,则根据定理2,原方程的通解为y=x∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-3f(x)dxdxdx=
x12x2-c1ln|x|+c2x+c3.
例2求方程x3y+2xy′-2x=x(x>0)的通解.
解显然,y=x是对应的齐次欧拉方程的非零实特解,即k0=1,将各系数代入
k(k-1)+(3k0+a)k+[3k20+(2a-3)k0+b]=0,
解得k1=-1+i,k2=-1-i,又f(x)=x,则由定理2,原方程的通解为
y=xk0k2-k1∫xk2∫x-k2-k0-2f(x)dx-xk1∫x-k1-k0-2f(x)dxdx,(5)
再根据欧拉公式eα+iβ=eα(cosβ+isinβ),得到
xk2=x-1+i=x-1[cos(lnx)+isin(lnx)],
xk3=x-1-i=x-1[cos(lnx)-isin(lnx)],
并将其代入(5)式中,则原方程的通解为
y=x(lnx-c1cos(lnx)+c2sin(lnx)+c3).