考虑畸变影响的箱梁横向弯矩计算方法

2020-05-23王兆南张元海

计算力学学报 2020年2期

王兆南，张元海

(兰州交通大学土木工程学院，兰州 730070)

1 引言

垂向偏心荷载作用下，由于箱梁畸变的影响，准确计算箱梁的横向弯矩是桥梁设计中需要关注的重点问题，国内外学者对此作了不少研究。研究方法可分两种，一种为框架分析法[1-6]，通过叠加施加了刚性支承和解除刚性支承且考虑了畸变影响的框架弯矩，得出箱梁的横向弯矩；一种为能量变分法[3]，通过对取出的单位长度框架以施加刚性支承和解除刚性支承的方式计算箱梁的横向弯矩，但基本计算模型和框架分析法不同，通过能量变分法解出箱梁顶板上的剪力差，最后得到箱梁的横向弯矩。对于箱梁横向内力的研究，Chithra等[7]采用SFA(Simple Frame Analysis)法分析单箱双室箱梁的横向内力，并对结果采用三维有限元程序进行了计算对比。Kurian等[8,9]分析了SFA法的不足，并分析了腹板和悬臂板厚度的比值变化及车辆荷载对横向弯矩的影响。文献[10，11]对弯箱梁桥的横向内力进行了研究。钟新谷等[12]采用有限元对箱梁横向内力进行了计算和分析。由于箱梁畸变对横向弯矩的影响不容忽视，无论采用类似于研究扭转的方法[13]还是采用广义坐标法[14]，或采用HSA(Hamiltonian Structural Analysis Method)法[15-18]都涉及到畸变微分方程的求解，得到箱梁畸变角或畸变位移。

采用框架分析法计算箱梁的横向弯矩，公式简单，但方程个数较多，求解较为繁琐[1-6]；能量变分法目前仅用于矩形截面箱梁的分析。本文根据需要优化框架分析法的方程，在刚性支承法的基础上，考虑箱梁畸变角和横向弯矩的关系，给出了更加简单的求解横向弯矩的方法；之后，用能量变分法分析了梯形截面箱梁的横向弯矩；最后，结合算例对这几种计算方法进行验证。

2 基本假定

等高度梯形截面简支箱梁，顶板上作用有垂向偏心均布荷载p(z)，记为p，单位为kN/m。从跨中截取单位长度的梁段，其顶板、底板和腹板等板件形成一个闭合框架如图1所示，并假定

(1) 组成框架各板件的横向变形忽略不计，箱形截面的周边不可压缩，横向应变为0。

(2) 箱梁发生畸变翘曲时，组成箱形截面的各板件作为各纵向板梁的横截面，分别满足平截面假定。

(3) 忽略箱梁各板件厚度对翘曲的影响，剪应力和翘曲正应力沿壁厚均匀分布。

箱梁横向弯矩分析模型，根据框架B点是否施加侧向水平支承分为两种，如图2所示。横向弯矩最简化的方法为刚性支承法，一般取图2(a)的分析模型，由于不考虑畸变，计算结果较为粗略。箱梁顶板上的垂向偏心荷载使箱梁产生畸变，因此通常采用框架分析法计算横向弯矩。

3 框架分析法

用框架分析法进行箱梁横向弯矩分析一般会有9个方程[1-6]。在图2(a)虚设了刚性支承分析模型的计算基础上，解除刚性支承，代之以反向支承力进行畸变横向弯矩的计算，将求得的解除刚性支承的框架横向弯矩和施加了刚性支承的横向弯矩叠加可得箱梁的最终横向弯矩。虚设刚性支承的框架横向弯矩和支承力可采用结构力学的方法或有限元进行计算。将得到的支承力反向加在框架上，并分解为正对称荷载和反对称荷载qh=(R1-R2)/2和qs=-R3=R4，其中R1和R2为箱梁点D和C的竖向支承力，R3和R4为箱梁点D和B的水平支承力。正对称荷载作用下框架的横向弯矩较小，可忽略，反对称荷载qh和qs作用下箱梁将发生畸变并产生畸变横向弯矩。此时，箱梁顶板、底板和腹板上存在着扭转剪力差ts，tx和th及畸变剪力差Ts，Tx和Th，剪力差和反对称荷载分布如图3所示。

图1 箱梁横截面

Fig.1 Cross section of box girder

图2 横向弯矩分析模型

Fig.2 Analysis model of transverse bending moment

图3 框架剪力差及反对称荷载

Fig.3 Shear increments and dissymmetric load

箱梁各角点弯矩的计算点和正负值的规定如图4所示，各角点的畸变横向弯矩值可采用各板件跨中的剪力Qs，Qh和Qx来表示，由此可得式(1，2)，其中ηm为腹板上畸变弯矩反弯点高度的比值。

Qh=Qs(1+ηm)a4/(2a1)

(1)

Qx=Qsηma4/a2

(2)

根据假定，箱梁发生畸变变形时，截面上的畸变正应力在各板件上的分布为线性，并合成各板件上的力矩，如图5所示。顶板、腹板和底板上的力矩为Mo，Mc和Mu。其中σA和σD为框架A和D两点的畸变正应力，令β=σD/σA，α0=1+2d/a4，β可根据各板件畸变力矩对y轴的平衡得出。

图4 箱梁畸变横向弯矩

Fig.4 Distortion transverse moment of box girder

图5 畸变正应力及力矩

Fig.5 Distortion warping stress and moments

图6 箱梁各板件板端位移

Fig.6 Displacement of plate of box girder

根据箱梁畸变位移协调原理，有γ01+γ02+2γh=2γ1-γ2，将γ01，γ02，γh，γ1和γ2代入得到，

(3)

(4)

式中Γ3=1+a4ηm/a2。通过式(4)可求得板件上的剪力Qs，并换算求得解除刚性支承的框架畸变横向弯矩，将其和施加了刚性支承的横向弯矩叠加可得箱梁的最终横向弯矩。本文根据需要将方程优化至4个，简化了计算过程。

4 本文方法

框架分析法得出的方程形式简单，适用于工程设计人员使用，但方程个数较多，推导过程较为复杂。事实上，考虑到箱梁畸变角和畸变横向弯矩的直接关系，在刚性支承法计算的基础上，通过求解畸变角，再换算得出箱梁的畸变横向弯矩，经叠加则可求得箱梁最终的横向弯矩。以框架角点D的畸变角γ为未知量的箱梁四阶畸变控制微分方程为

γ″″+4λ4γ=pΩ/(EIω d)

(5)

式中λ=[IR/(4Iω d)]1/4，EIω d为箱梁的抗畸变翘曲刚度，Iω d的单位为m6。

EIR为箱梁横向框架刚度，IR的单位为m2，其中Ω=a1(a2+a4)/(2h)，E为各板件弹性模量。

图7 箱梁顶板的侧移

Fig.7 Lateral displacement of top slab of box girder

根据箱梁畸变微分方程和弹性地基梁挠曲微分方程的相似关系，可得箱梁跨中作用单位畸变荷载时箱梁畸变角的影响线。当箱梁跨中作用单位畸变荷载时，畸变微分方程的初参数解如式(6，7)。设梁长为L，若λL>2π，微分方程可用式(6)求解；若λL≤2π，可用式(7)求解，其中γ0，Bω d 0和Qω d 0分别为坐标原点的畸变角、畸变双力矩及畸变矩，其值可由相应的边界条件确定[13]。式中z为箱梁各截面距跨中坐标原点的距离。

(6)

[sin(λz)cosh(λz)-cos(λz)sinh(λz)]

(7)

畸变角γ和各板元横向板端弯矩之间的关系可采用图乘法导出。如图7的框架，当顶板点B作用单位水平力时，顶板的侧移值为δh，顶板跨中剪力值为X，δh和X可采用图乘法求出。由于γ2较小，可认为γ1为畸变角γ，所以角点D的夹角改变为γ时，顶板的水平位移为γa1sinθ，顶板点B作用的水平力为γa1sinθ/δh，有a1sinθ=h，顶板跨中剪力值为γhX/δh，对点A取矩有mA B=mA D=γa4hX/(2δh)，同理可得mD C=mD A=γ(2h2-a2hX)/(2δh)。

令k1=a4hX/(2δh)，k2=(2h2-a2hX)/(2δh)，

则有

mA B=k1γ,mD C=k2γ

(8,9)

畸变横向弯矩关于y轴对称，和刚性支承法计算的弯矩叠加就得到箱梁最终的横向弯矩。该方法借助于成熟的以畸变角为未知量的畸变微分方程，求出畸变角，并通过式(8,9)得出畸变横向弯矩，与框架分析法相比过程简单，理论明确，能直接反映箱梁畸变对横向弯矩的影响。

5 能量变分法

箱梁横向弯矩的计算可采用能量变分法，以图2(b)的分析模型进行分析。将箱梁顶板上作用的垂向偏心荷载分解为正反对称荷载，如图8所示，a为荷载与顶板边缘的距离，e为荷载作用在顶板上的间距。

框架在正对称荷载作用下的横向弯矩可采用先加支承，再解除支承，代之以反向支承力的方法计算，最后将二者叠加形成正对称荷载作用下框架的横向弯矩。正对称荷载产生的横向弯矩采用有限元或结构力学的方法就可简单求得。

框架在反对称荷载作用下的横向弯矩也采用先加支承，后解除支承，代之以反向支承力的方法分析。加支承的框架上除了反对称荷载外，各板件上还有未知的剪力差T(z)，记为T，如图9所示。框架弯矩将由反对称荷载p/2和剪力差T共同产生。其中Ts 2,Tx 2和Th 2分别为顶板、底板和腹板上的剪力差，在剪力差单独作用下，导致框架侧移并产生的内力为Ts 2，所以本文的未知剪力差T指Ts 2。

剪力差T可采用能量变分原理构建一个以T为未知量的微分方程求出，再用结构力学的方法得出顶板剪力差引起的框架弯矩，反对称荷载p/2引起的框架弯矩可用结构力学的方法或有限元法求出。

5.1 框架总势能

反对称荷载p/2引起图9框架的水平位移为ΔP(z)=pKP，剪力差T引起的框架水平位移为ΔT(z)=TKT，则框架的总位移Δ(z)=pKP+TKT，微分两次可得式(10)，其中KP和KT的表达式见附录。

(10)

5.1.1 框架横向弯曲应变能Πw

单位长梁段在反对称荷载p/2和剪力差T共同作用下的横向弯曲应变能为

图8 框架上荷载的分解

Fig.8 Loads decomposition of frame

图9 反对称荷载作用下加支承的框架

Fig.9 Supported frame under dissymmetric loads

(11)

式中MP和MT分别为加支承框架在反对称荷载p/2和剪力差T作用下框架的弯矩，I为各板件面外惯性矩，对s的积分路径为箱形截面的周长。式(11)的运算可通过对图9框架的弯矩图乘得到，则框架的横向弯曲应变能为

Πw=p2Km P+T2Km T+TpKm P T

(12)

式中Km P，Km T和Km P T的表达式见附录。

5.1.2 框架上外部荷载势能ΠP

反对称荷载作用下箱梁截面将有转角θ(z)，记为θ，则箱梁截面的转角θ为

(13)

式中Mθ为框架顶板跨中作用单位力矩产生的框架弯矩，同理可通过相应弯矩图的图乘对式(13)进行运算，得到θ=pKθ P+TKθ T。其中，Kθ P和Kθ T的表达式见附录，则框架上的外荷载势能为

Πp=-(p2Kθ P+pTKθ T)e/2

(14)

5.1.3 框架纵向翘曲应变能Πq

Πq=Kq[Δ″(z)]2

(15)

式中Kq的表达式见附录，将式(10)代入后得到Πq为

(16)

通过以上分析，计入框架横向弯曲应变能、翘曲应变能和外荷载势能的框架总势能为

Π=Πw+Πq+ΠP

(17)

5.2 微分方程的建立及求解

代入相应的项并根据欧拉方程，运算可得微分方程为

T″″KqKT+TKm T+pKm P T/2-peKθ T/4=0

(18)

(19)

该微分方程和弹性地基梁挠曲微分方程相似，可采用比拟的弹性地基梁解法求解，当p(eKθ T-2Km P T)/(4KT)为单位荷载时，其弹性地基梁解为式(20)，其中k=Km T/KT。由式(20)可解得单位荷载作用下框架的剪力差，将结果乘以p(eKθ T-2Km P T)/(4KT)可得反对称荷载作用下加支承框架的剪力差T。

(20)

箱梁在固定端、设置了刚性横隔板的简支端和自由端，有T(z)=0。求出剪力差T后，可得剪力差作用下的框架横向弯矩，并和反对称荷载p/2作用下的框架横向弯矩叠加得到反对称荷载作用下加支承框架的横向弯矩。

在计算反对称荷载作用下的框架横向弯矩时，当支承力反向加在解除支承的框架上时，该部分的箱梁畸变横向弯矩可通过求解畸变角γ后换算得出。求出框架的畸变横向弯矩后与反对称荷载作用下加支承的框架横向弯矩以及正对称荷载作用下加支承的框架横向弯矩叠加，得到框架的最终横向弯矩。

能量变分法分析过程较为复杂，但可用于变截面箱梁的横向弯矩计算；框架分析法公式较为简单，但方程个数较多；本文给出的方法在考虑畸变对横向弯矩的影响时较为直观，公式较少。现给出数值算例说明各横向弯矩计算方法结果的差异。

6 数值算例

算例1梯形截面简支箱梁，其上作用有均布线荷载p=1 kN/m，计算跨径L=1.2 m，材料弹性模量E=2.8 GPa，泊松比μ=0.37，截面尺寸如图10所示，荷载p作用位置离点A为50 mm。通过本文箱梁横向弯矩计算方法，计算各角点的横向弯矩，列入表1。

图10 算例1的箱梁截面尺寸(单位:mm)

Fig.10 Cross section of example 1 (unit:mm)

表1 不同方法求解算例1框架横向弯矩对比

Tab.1 Transverse bending moment comparison of example 1 for different methods

角点ABCD刚性支承法弯矩①-26.120-9.5180.082-3.441框架分析法弯矩[5]②-22.897-12.741-7.7634.404能量变分法弯矩③-23.118-12.344-9.1155.710本文方法弯矩④-22.753-12.563-8.2584.935有限元法弯矩[5]⑤-22.068-12.108-8.7865.206误差1/%3.765.23-11.64-15.41误差2/%4.761.953.749.68误差3/%3.103.76-6.01-5.21注:弯矩单位为10N·m/m,误差1=(②-⑤)/⑤×100,误差2=(③-⑤)/⑤×100,误差3=(④-⑤)/⑤×100。

刚性支承法由于不考虑畸变产生的弯矩所以误差较大；框架分析法考虑了畸变横向弯矩，使计算精度有了很大的提高，但角点C和D的弯矩依然存在较大的误差，其误差分别为-11.64%和 -15.41%；能量变分法得出的结果将点C和D的弯矩误差降到了3.74%和9.68%，相比框架分析法，虽角点A弯矩的误差略微增大，但其余角点误差较小；本文方法弯矩误差绝对值最大为6.01%。相比框架分析法，本文方法和能量变分法使点C和D的弯矩误差有所减小，精度得到提高。

算例2铁路双线无砟轨道简支箱梁，计算跨径L=31.5 m，C50混凝土，弹性模量E= 34.5 GPa，泊松比μ=0.17，结构自重为25 kN/m3，活载换算为箱梁的横向荷载p=27.28 kN/m2，其横向分布宽度为2.8 m。箱梁截面及荷载分布如图11所示,计算结果列入表2。

有限元采用壳单元计算，由表2可以看出，通过文中横向弯矩计算结果的比较，框架分析法结果在角点D的误差为8.26%，能量变分法的点D误差为3.10%，本文方法得出的点D误差为 4.56%。能量变分法和本文方法降低了箱梁底板的弯矩误差。

图11 算例2的箱梁截面尺寸(单位：cm)

Fig.11 Cross section of example 2(unit：cm)

表2 不同方法求解算例2框架横向弯矩对比

Tab.2 Transverse bending moment comparison of example 2 for different methods

角点ABCD刚性支承法弯矩①-316.220-293.090-157.340-157.340框架分析法弯矩②-296.090-313.220-181.550-133.130能量变分法弯矩③-291.726-311.644-180.456-126.786本文方法弯矩④-293.457-312.254-180.874-128.578有限元法弯矩⑤-287.210-306.050-171.670-122.970误差1/%3.092.345.768.26误差2/%1.571.835.123.10误差3/%2.182.035.364.56注:弯矩单位为kN·m/m,误差1=(②-⑤)/⑤×100,误差2=(③-⑤)/⑤×100,误差3=(④-⑤)/⑤×100。