如何在高中数学例题教学中培养学生的思维品质

许德福

[摘  要] 例题教学的视角下进行思维能力的培养是高效的. 文章阐述了例题教学视角下，通过一题多解、正难则反、设置开放题、一题多变以及题后反思等方法，培养学生思维的逆向性、深刻性、求异性、发散性以及严谨性.

[关键词] 例题教学;解题;逆向性;深刻性;发散性;严谨性

思维品质，也就是思维的智力品质，它是通过思维的活动所展现出来的一种个体差异性，从而不同的人具有不同的思维特征.杨清教授曾在《心理学概论》中阐明思维品质的培养是发展思维的重要手段. 因此，教师在教学中，尤其是数学例题教学中，需努力培养学生好的思维品质，它不仅仅是学生智力发展的突破口，也是提升教学质量的有效途径，更是当下改进数学教学方法中需引起极度重视的问题.

那么，如何在优化例题和设计例题教学过程的顶层设计之下，积极探索思维品质在课堂落地的方法和路径，设计出一些思维品质统领下的数学例题教学案例，并通过合理的教学策略实施教学过程，是每一位数学教师需思考和实践的课题. 本文试图以例题教学为媒介，在培养学生的理性思维和创新精神方面进行阐述，通过数学实践实现思维品质的培养.

从“一题多解”中培养求异思维

在例题教学中，教师需从学生的实际和题目本身的特点出发，实施一题多解的训练，鼓励学生多角度、多方位去思考，运用自己擅长的方法去解答，并敢于求“异”，实现基础知识之间的有效沟通，让学生在训练中积极思考，从而有效克服学生思维狭隘性的特征，达到培养思维的求异性和创造力的目的[1].

例1：已知橢圆 + =1上有一动点P，试求出该动点P到其中一焦点F距离的取值范围.

学生经历独立思考和自主探究，呈现了以下多种解法的精彩场面：

解1：若设点F为右焦点，则有F（1，0）. 设P（2cosθ， sinθ），则有PF =  =2-cosθ.

因为cosθ∈[-1，1]，所以PF=2-cosθ∈[1，3].

解2：若设P（x，y），据F（1，0），可得PF= = = .

因为x∈[-2，2]，所以PF∈[1，3].

解3：设F′为左焦点，则有FF′=2，那么△PFF′中，则有PF′-PF≤FF′. 因为PF′+PF=4，所以4-2PF≤2，1≤PF≤3.

解4：过点P作椭圆右准线的垂线，P′为垂足，因为 = = ，

所以PP′=2PF. 又因为 -a≤PP′≤ +a，所以2≤PP′≤6，

所以2≤2PF≤6，1≤PF≤3.

本例题中将多个知识点融汇于一道题目之中，引导学生从多个定义出发，深化知识之间的纵横联系，大大拓宽学生的思维空间，从而达到殊途同归的效果，在提升应变能力的同时，发展思维的求异性.

从“正难则反”中培养逆向思维

实践证明，思维的发展是整体推进的，逆向思维与正向思维、发散思维总是交织存在的. 这就要求在例题教学中，如果有些题型正面入手较为困难，则可从其反面进行思考，借助“正难则反”的思维策略，进一步探究出解决问题的路径，促进逆向思维的发展.逆向思维作为数学学习中的一项综合能力，可以有效克服定向思维的保守性，开拓新的知识领域，提升数学学习的兴趣[2].

例2：已知x，y>0，且有x3+y3=2，求证：x+y≤2.

解：假设x+y>2，那么x>2-y.

不等式两边立方后，可得x3>8-12y+6y2-y3，即x3+y3>8-12y+6y2.

因为x3+y3=2，所以8-12y+6y2<2，即6（y-1）2<0，

以上不等式显然不成立，因此假设不成立，由此可得x+y≤2.

数学解题中对某些问题有意识地运用反证法，不仅丰富了不等式求解的方法，优化了求解过程，还可以训练学生的逆向思维能力，引领学生突破定向思维的束缚，对提高高中生的创造性思维和逆向思维能力有着十分重要的意义.

从“开发题”中培养发散思维

所谓的“思维的发散性”，顾名思义就是从众多知识领域和知识点着手去解决问题，是开阔性和全面性思维品质的体现. 高中生由于受年龄特征影响，往往容易受思维定式的负面效应影响，在解题时易墨守成规，思维不易发散. 这就要求教师在例题教学时需顺应高考新动向的需求，领悟新课程改革的理念，合理编制开放型例题，以数学例题这一载体而放飞、发展和升华学生的发散思维.

例3：已知⊙M过A（1，0），B（3，2）两点，________（请补充一个条件），试求出⊙M的方程.

依据“两点无法确定一圆”，所以这里条件的增添是必不可少的. 学生亲历思考、探究和讨论，补充的条件主要有：①还经过点……;②⊙M的半径长度为……;③圆心M在直线…….

这一例题的设置真可谓独具匠心，条件的开放可以启发学生学会提问和善于思考，培养发散思维;而要求解这一问题，还可以让学生发现问题，达到培养思维严密性的效果. 例如，在添加点的时候，直线AB：x-y-1=0必须除外;在设置半径长度时，半径需不小于 ;在设置圆心M所在的直线时，斜率不可以是-1，且圆心M在直线x+y-3=0上除外.

从“一题多变”中培养深刻思维

思维的深刻性表现为可以透过表象以及外因，揭示事物本质从而进一步深入思考问题，它是所有思维品质的基石，其发展程度对思维品质的其他方面有着极其重要的影响.若说数学是“思维的体操”，那显然变式教学就是培养“体操选手”的摇篮. 因此，我们需灵活运用好一题多变的教学方法，让学生的思维高度兴奋，从而提升思维的深刻性.

例4：已知数列{an}，有a1=1，an+1=an+1，试求出它的通项公式.

本例题的求解过程较为简单，而根本价值是可以通过对题目的引申扩展和变换条件，使之更具有探究性.在保证条件a1=1不变的基础上，去变更递推关系式，从而形成探求an的变式问题.

变式1：将条件中an+1=an+1变为an+1=an+n;

变式2：将条件中an+1=an+1变为an+1=an+2n-1;

变式3：将条件中an+1=an+1变为an+1=2an+1;

变式4：将条件中an+1=an+1变为an+1=2an-3n;

变式5：将条件中an+1=an+1变为 = +1;

变式6：将条件中an+1=an+1变为an+1= ;

变式7：将条件中an+1=an+1变为an+1= an;

变式8：将条件中an+1=an+1变为an+1=ca （c>0）.

通过对例4的变式，让题目更富有内涵，深化了已学知识，让学生在亲历思考、解題、归纳、提炼和反思后，达到学一题通一类的效果，有效防范了学生思维的表面性和绝对性，对思维深刻性的提升大有裨益.

从“题后反思”中培养严谨思维

在教学中，学生解题能力和思维严谨性的提升与良好的审题习惯是分不开的，也少不了条理性的解题方法和解题步骤的参与，更离不开解题后的反思.由于受高中学生的认知结构水平制约，主要表现于对知识的不求甚解和不善反思，故教师需引导学生在题后思考：解题的思路是否严密，可否存在漏洞？命题者有何意图？此题中考查的知识点是什么？本题的解法仅此一种吗？解决这类题型的通法是什么？……通过这一系列问题的反思，进行有的放矢地精解和拓宽，可以使思维具有严谨性和概括性.

例5：已知△ABC中，sinA= ，cosB= ，试求出cosC的值.

此为一道课本习题，学生的一般解题思路如下：

因为0

①当cosA= 时，cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB= × - × =- ;

②当cosA=- 时，cosC=-cos（A+B） =sinAsinB-cosAcosB= × -- × = ，综上所述，cosC=- 或 .

上述求解过程中映射出学生思维严密性的缺失. 在分析此题时，学生需进行如下题后反思：①对cosA是正值或是负值产生影响的主要因素是什么？②从题设出发，是否可以确定∠A是锐角还是钝角？学生通过反思易知sinB>sinA，而∠A和∠B均为三角形的内角，可得∠B>∠A，即∠A也为锐角，由此可得cosA= . 题后反思可以帮助学生验证解题的合理性、严密性和正确性，还可以发展学生的横向和纵向思维，使数学学习更富有创造性，使自身的解题能力更胜一筹.

总之，学生思维品质的提升不是一蹴而就的. 我们广大数学教师所期望的数学学科育人和思维提升，其实已经融合在以上解题教学的探究过程中. 我们若能合理运用多种教学策略，关注数学思想方法、注重数学探究活动，那么学生对数学的兴趣，学生思维的逆向性、深刻性、求异性、发散性以及严谨性，或许就可以逐渐形成[3].

参考文献：

[1]  罗增儒. 中学数学解题的理论与实践[M]. 南宁：广西教育出版社，2008.

[2]  杜四趁，武瑞雪. 在解题教学中培养学生的思维品质[J]. 数学通讯，2017（18）.

[3]  刘东生. 在例题教学中培养学生的良好思维品质[J]. 数学教学研究，1991（06）.