重视数学阅读材料，探寻多维立体的数学教育

张鹏

[摘  要] 在新时代的背景下，高中数学教师应当具备先进的教育理念和扎实精湛的教学技能. 高中数学教材中的“阅读材料”内容丰富、功能全面，教师应当认真学习和研究，以它为参考进行数学活动，并引导学生主动学习. 教师不但应更新理念，培养全面的教学技能，还应从不同的层次让学生获得多维立体的数学教育，让学生感悟到数学的价值、文化和精神.

[关键词] 数学教育;数学素养;阅读材料;HPM教学

近几年来，笔者通过调查发现，许多教师在备课过程中，常常忽略了数学教材中的“小字部分”，即数学阅读材料.他们认为这些内容“不重要”“不会考”，也“没有时间讲”，学生不必学，教师自然也不重视这些内容，甚至从来没有仔细研究过. 其实，许多教师在备课过程中对教材上的考点下足了功夫，设计了各种教学提问，讨论了各种教学方式，就应对考试而言，课程的重难点突破了，学生能牢记知识并应用于解题了，但是就核心素养的全面培育及数学课程的教育功能而言，目标是没有达到的. 这样的数学课堂和数学教育是应试的，是孤立片面的，未能对学生的可持续发展和终身学习创造条件. 笔者认为，重视数学教材上的阅读材料，探尋多维立体的数学教育势在必行.

数学课程的教育目标是多维的

《普通高中数学课程标准（2017版）》明确指出了数学课程的目标应当是多维的：第一维度，要让学生获得“四基”，提高“四能”;第二维度，要能让学生发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养;第三维度，更长远地，通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，发展自主学习的能力，不断提高实践能力，提升创新意识，认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.

不难理解，在“应试教育”固化思想的影响下，不少教师对数学教材的理解比较狭隘，他们研读教材的重点只放在概念、公式和习题上，因此对数学课程目标的认识也比较局限，教学目标常常只能够达到第一维度和第二维度，能上升到第三维度的数学教学并不多见. 事实上，全面认真地研究数学教材的所有知识内容后不难发现，数学阅读材料上的许多教学资源，能够让数学课程教育的多维目标得以实现.

要在数学教学活动中实现多维的教育目标，教师应当仔细研究数学教材上的阅读材料，这能让教师打开思路，从更系统、更广阔的角度理解数学知识，能用更高效、更直观的技术手段制作教学资源，能以更加多样和科学的方式来进行数学教学活动，这样的数学教育对学生才是多维立体的.

数学阅读材料的德育功能

立德树人是教育的根本任务，数学教材上的许多阅读材料能够发挥数学德育教育的功能.

《普通高中数学课程标准（2017版）》中指出，数学课程要注重数学文化的渗透.在阅读材料中，不少有关数学家克服重重困难取得数学成就造福人类的史料.如《必修2》中的“欧几里得《原本》与公理化方法”和“笛卡尔与解析几何”，《选修4-4》中的“笛卡尔、费马与坐标方法”，《选修4-5》中的“法国科学家柯西”，等等. 需要注意的是，阅读材料中也特别介绍了许多中国自古以来的数学家为人类科学发展所做的贡献，如《必修5》中的“海伦与秦九韶”，《必修2》中的“祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积”和“坐标法与机器证明”，《必修3》中的“割圆术”，《选修2-3》中的“‘杨辉三角中的一些秘密”，等等. 学生通过对材料的阅读，在增长知识见识的同时，能够感悟数学的历史文化，能够从数学家身上学习不屈不挠的科学奋斗精神，能够看到中国数学的发展在人类科学发展史中的重要地位，能够大大增强文化自信心. 另外，通过延伸阅读，学生还能了解老一辈数学家和科学工作者为祖国的建设和发展而不懈奋斗的故事，激发学生的爱国热情，从而树立坚定的理想信念，立志肩负起民族复兴的时代重任.

数学阅读材料的教学功能

笔者通过统计发现，在人教A版普通高中数学教材中，数学阅读材料主要分为“阅读与思考”“信息技术应用”“探究与发现”“实习作业”等栏目.在高考考纲范围内的必修与选修教材中，数学阅读材料有80余项，内容涉及数学史与数学文化、信息技术在数学教学中的应用、数学建模与数学实验、研究性学习等方面.

1. 拓展和深化知识内容

在教材中，许多阅读材料就数学知识点作了补充和进一步深化，并引导学生对所学内容进行更深层次的思考和探索.

例如，在《必修5》的“正弦定理和余弦定理”这一节中，学生已经知道正弦定理和余弦定理分别从定量的角度确定一个三角形的四种条件. 同时学生在计算过程中又发现，在已知三角形两边及其中一边对角的情况下，用正弦定理解出来的三角形可能不唯一，有时有两解，有时只有一解，有时却无解. 那么什么时候是两解，什么时候是一解，什么时候是无解呢？这一节末尾的“解三角形的进一步讨论中”，阅读材料引导学生探索和总结了这三种情况发生的条件：

已知三角形的a，b，A，那么：

（1）如果已知的A是钝角或直角，有一个解;

（2）如果已知的A是锐角，并且a>b或者a=b，有一个解;

（3）如果已知的A是锐角，并且a

①如果a>bsinA，有两个解;

②如果a=bsinA，有一个解;

③如果a

通过细致的分析，使得学生在解三角形的过程中条理更加清晰，运算更加有效.

诸如此类的数学阅读材料在教材中还有很多，如《必修1》的“集合中元素的个数”，《必修3》的“相关关系的强与弱”，等等. 事实证明，在教师的积极引导和鼓励下，数学阅读材料中的许多内容学生是可以自行学习和探究的. 在这个过程中，学生的“四基”得到了进一步巩固，“四能”获得了进一步提升，学生的数学阅读能力、理解能力和自学能力可以得到很大的提高，能够大大帮助学生树立学习自信心.

2. 培养数学建模素养和数学应用能力

实际生活中，在工业设计、经济设计或任何其他设计中会运用到数学的语言和方法，就是数学建模. 《普通高中数学课程标准（2017版）》明确指出，数学建模活动与数学探究活动是高中数学课程内容的四条主线之一. 在人教A版高中数学教材中，不少阅读材料从多个角度培养学生的建模素养、应用能力和创新意识.

首先，教材中的许多阅读材料介绍了学生所学数学知识在实际生活中的应用，例如，《必修4》中的“三角学与天文学”，《选修2-1》中的“圆锥曲线的光学性质及其应用”，等等. 这些材料使学生深切体会数学的科学价值和应用价值.

其次，数学建模需要信息技术的辅助. 在“信息技术应用”和“探索与发现”等阅读材料中，常常使用几何画板与Excel等软件进行绘图、建模、计算和分析. 笔者发现，尽管现代教育技术是教师教学活动的必备技能，但是阅读材料也十分鼓励学生参与信息技术活动. 如果学校有条件的话，不只要学生“看数学”，更要学生“做数学”. 例如，在《必修1》的“借助信息技术探究指数函数的性质”中，学生可以在教师指导下制作教学资源，观察和展示当底数a变化时的函数图像变化，总结出指数函数的性质，从而成为课堂真正的主人翁.

另外，教材中的许多“探索与发现”和“实习作业”，都鼓励学生参与实际的数学建模和研究性学习，引导学生应用数学解决实际问题. 例如，《必修1》中“物体在常温环境下温度变化的冷却模型”是一个很好的数学研究性学习活动.材料给出了牛顿提出的冷却模型函数θ=θ0+（θ1-θ0）·e-kt，但没有给出常数k的值. 学生可以通过动手测量，利用函数模型求出k的值. 若利用信息技术建模，研究过程会更加高效，数据会更加可靠.在整个研究过程中，学生完善和验证了函数模型，体会了函数模型在生活中的真切应用，进而提出更多的问题. 例如，“这个函数模型同样适用于固体、液体和气体吗？”“这个函数模型适用的温度范围是多少？”等等. 从而引发更深层的思考和研究.

3. 培育数学史观

在现代数学教育理论中，HPM已经发展成为一个十分活跃的国际数学教育研究领域. 教材中的许多阅读材料都渗透了厚重的数学历史文化.

例如，在人教A版《必修1》的“对数函数”一节中，对数概念是用指数幂的运算给出的，这样的设计固然简洁而便于学生记忆，但是在此基础上介绍常用对数和自然对数这两个“特殊”的对数，对学生而言也显得突兀了，常用对数“常用”在哪儿？e是怎么来的？为什么以e为底的对数比较特殊？这一系列问题都会在学生的脑海中盘旋. 此时，若教师能够引导学生阅读和研究本节末尾的“阅读与思考”，学生会惊奇地发现数学史上对数的发明并没有利用指数与对数的互逆关系. 对数的发明，其实是在天文、航海、工程等领域的发展中为了将大数化小数的简便运算，在这种“化小”和“化简”的思想影响下，常用对数和自然对数的地位才显得尤为“尊贵”. 当然，为了让学生在数学史和数学文化的熏陶下获得多元的发展，教师可以开设趣味小讲座，介绍e的由来和它的广泛应用，带领学生制作簡易的计算尺（如图1），等等.

教材中的许多阅读材料都涉及数学知识的发生和发展，或用文字材料加以介绍，或鼓励学生通过实习作业的方式去查阅和收集资料，引导学生站在数学史观和数学文化观的新高度认识数学，如《《选修1-1》的“走进微积分”，《选修2-2》的“代数基本定理”，等等. 这些材料不但适合高中生阅读，也适合广大的数学爱好者们阅读，是数学普及的优质资源.

合理利用数学教材的阅读材料，探寻多维立体的数学教育

数学教材上的阅读材料内容丰富，功能强大，教师既要重视研究，更要合理利用. 平时既有备考任务，教学课时数量也有限，那应当怎样发挥数学阅读材料的积极作用呢？笔者有一些建议，如：

1. 鼓励HPM视角下的教学设计，将数学历史文化教育融入教学过程中.这需要教师不拘泥于传统，多思考，多探讨，敢于创新，敢于重构.

2. 适当开设数学实验课，使学生感受“做数学”的快乐. 在有条件的情况下，教师多钻研现代教育技术在数学课堂中的应用，引入或者开发数学小实验，让学生参与互动，领略直观的、动态的数学.

3. 将数学阅读材料作为校本课程开发的一部分. 若要充分地、系统地利用数学阅读材料，可集合教师的集体智慧，将其制作成为校本课程，有计划、有特色地实施和推广，既可开设小讲座、小课堂普惠于学生，也可制作资源库普惠于教师.

4. 可借助研究性学习活动或创客比赛等契机推广数学阅读材料. 数学阅读材料中有很多探究性的学术问题，也有很多数学知识在解决实际问题中的应用. 学生在探究性学习活动或创客比赛中可以此为基础参考选题，既锻炼了学生的实践能力，也培养了他们的创新意识.

在党的十九大报告中，习近平总书记指出，“建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，加快教育现代化，办好人民满意的教育”. 在新时代深化教育改革的背景下，教师应当具有现代化的教育理念，赋有现代化的教育技术，切勿犯经验主义错误，这就需要教师多思考、多学习和多研究. 高中数学教材中的阅读材料兼具科学性、教育性和趣味性，无论数学教材的版本怎样更新，数学阅读材料的内容怎样改变，它都是教师提升教学能力的好帮手，也是学生培养综合素质的好资源.教师应当认真研究，合理利用，主动创新，给予学生多维立体的数学教育. 在此基础上，教师还可以开发更多的数学阅读资源，让学生领略数学王国的精彩与奇妙！