实现数学课堂教学有效性的思考

[摘  要] “再创造”是弗赖登塔尔关于数学课堂教学的重要思想，体现于“与其说引导学生学习数学，不如说引导学生学习‘数学化;与其说引导学生学习公理系统，不如说引导学生学习‘公理化;与其说引导学生学习形式体系，不如说引导学生学习‘形式化”内涵中. 这里，阐述“再创造”教学原则在课堂教学中的实施条件、所要注意事项与“发现法”教学的关系等要素，目的在于利用“再创造”思想，最大限度地实现数学课堂教学有效性.

[关键词] 数学课堂教学;弗赖登塔尔;“再创造”

数学教学所要传授的数学知识相对固定，其最低要求的限度，已经写入了相应的数学课程标准. 但是，通过何种手段来传授已经设定了的数学知识，却非固定不变，它随着教师所持有数学教学观念不同，挖掘出的数学知识的教学价值不同，预设的课堂教学目标不同，获得的教学经验不同;对数学知识性质的理解不同，对学生发生具体数学知识的认识心理活动过程揣测的拟合程度不同，存在着多种选择余地. 不同的教学设计对发挥数学知识的教学价值、实现教学目标，即促成学生发展的结果大相径庭、迥然有别[1]. 弗赖登塔尔（以下简称“弗氏”）认为最为有效的数学教学就是“再创造”形式的课堂教学活动，笔者通过仔细阅读弗赖登塔尔的数学教育著作，结合自己多年的数学课堂教学经验，由此认识到，“再创造”形式的数学教学是提高课堂教学有效性的特别重要的途径.

实施“再创造”数学教学原则的主客观基础

“再创造”形式课堂教学的客观基础是数学知识形成过程的本身. 弗氏认为，数学是最为古老的学科，在数学知识的起源处，都是来源于实际生活与生产中的问题，比如尼罗河的定期泛滥，引起了田界的划分，产生了测地术，最终形成平面几何知识. 由此可知，数学是在与生活联系中创造的一门学科，数学知识实际上是人们常识的系统化. 因此，一个具有数学头脑的聪明学生在用心学习揣测客观事物的数量关系与空间形式的活动中，就可以“再创造”出许多具有数学特点的知识;一般学生在教师或其他同学的帮助或影响下，也可以与那些聪明的同学一样地做到这一点.

数学史料所展现的另一面是，抽象性、结构性的原创数学知识的发现主要是数学家，这些数学知识都是数学家独立钻研数学化信息的联系而创造出来的，并非是经由教科书或数学知识的传递取得的;因此，每个主体都可以如数学家一样，在自己处理外在數学化信息中，凭借自己的数学现实、依靠自己的认知结构、根据自己的学习经验、使用自己思维方式，重新走一遍原创者的那个具体数学知识的数学家的心路历程中的那几个关键性环节，从而“再创造”出这个具体的数学知识.

“再创造”形式课堂教学的主观基础是学生所拥有的智力活动及其形成了的数学现实. 弗氏以为，数学教学应当依据学生所存有的具体数学现实而进行，不应该只靠教师或教科书（课程标准）所安排的教学内容为依据. 弗氏强烈地反对在数学教学中，绝对地以教科书或者教师所安排的教学内容为数学教学的中心的那种教学途径，反对在数学教学中无视学生的具体心理特点或个性心理前提而进行抽象地教学活动. 弗氏认为，数学教学活动应该是将教师使用教科书按部就班地教，转化为学生依据自己具体的数学现实地学.

弗氏还特别重视教师与学生组成的集体的作用，强调数学教学必须要依靠社会的具体活动，必须联系学生日常生活的现实实际的背景，注意培养与发展学生从社会需要、生产实践的现象中的数学化信息里提出具有数学背景的问题，从而在这些问题的刺激下，将数学化信息组织成高一级数学背景的材料，从而提出高一级的数学问题. 弗氏经由此设想充分地证明了数学教师必须将数学“再创造”作为一项重要的数学课堂教学原则，并将这一原则贯穿于整个数学教学过程中去[2].

如此，就从主观与客观这两个对立的方面论述了数学教学必须依据“再创造”的途径展开，这既是作为客观的数学知识结构扩展的需要，同时又是作为学生发生数学知识认识时的心理结构扩展的需要，而两项需要的联系就构成了利用数学知识促使学生数学认知结构发展的最佳途径，“再创造”的数学教学原则是实现这种途径的最佳体现. 利用弗氏自己的话说，“（这就是）促使学生从被动的感觉效应转变为思维活动的主动的运动效应”过程的实现.

实施“再创造”数学教学原则的条件

从前述的分析中，我们认识到，从主客观及其联系上来说，“再创造”数学教学原则对于提高数学教学的有效性都非常重要，这是毋庸置疑的. 然后，理论上的构想是一回事，实践中的趋近却又是一回事. 对此，弗氏对此也非常清晰地认识到了. 他说，“通常的数学教学活动，数学常常被作为一个已经完成了的形式理论来实现，开始时是定义、公理、符号，接着是各种规律与算法、分析具体问题的途径导向问题的解决，教师在课堂教学中的任务就是举出合适的例题、给予合理的讲解;学生的学习任务就是模仿、复制、记诵. ”弗氏说，“这正好是数学教学法的颠倒”，即正好形成与“再创造”数学教学原则相反的方向，一定会泯灭学生学习数学的聪明才智的，进而导致学生数学学习难以为继的后果.

首先，弗氏（其他的教育家，如布鲁纳、奥苏贝尔、波利亚也都是如此）认为，数学知识的发生过程应该是依凭学生的数学现实与学生直觉思维的整合，从面临的外在数学化信息进行选择，找出支点信息，再由支点信息将外围信息吸附到支点信息的周围，从而形成有层次的信息，基于信息轮廓作出猜想，然后再证实这种猜想[3]. 如果正确就形成了数学知识，如果不正确，就会重新再走一次上述的过程. 如此，这就与数学教科书的编制，与不少数学教师的设计的教学途径的真实过程是相反的，因此，数学教师必须与这种类型的教科书的提示、与自己平时所养成的教学习惯进行决裂，这是实现“再创造”数学教学原则的一项非常重要的条件.

其次，为了传递数学知识，数学家使用了数学标准语言（主要是文辞语言、符号语言与图形语言，当然，这些标准语言的实现有一个漫长的选择与抛弃的过程，然而，数学教科书与数学教师都不可能在自己的数学教学中叙述这种关于数学语言的选择过程）进行相应的表达. 然而，这些表达的结论恰恰是数学家通过直觉思维的逻辑表达的结果，是为了使数学知识系统化与说服同行而引进的字斟句酌的形式. 如果数学教师在自己的教学活动过程中，也就是不加更改地使用这样的语言进行教学活动，那么学生不会领悟到，不仅数学定理、公理、性质、法则、规律等，而且就是数学定义也可以包括在学生能够重新创造的范围以内. 这就会极大地损失数学课堂教学的有效性. 于是，数学教师应该做出合适地处理，力图将这种观念颠倒过来，这是实现“再创造”数学教学原则的另一项非常重要的条件.

再次，实现“再创造”数学教学原则的第三项条件是，弗氏写道，“把数学教育作为一个活动过程来加以分析，在整个班级活动中，学生应该处于一种积极的创造的心理状态. ”教师一定要发挥自己的课堂教学的主导作用，教师要想方设法地调动学生的学习积极性、学习热情，促使学生首先对这个过程产生兴趣，从而愿意参与这个学习过程，感受到这个创造过程就是展示自己的能力的场所，是自己所需要的. 然后，启发学生全方位地接触优化了的数学化信息，通过自己的思维活动，形成数学概念等数学知识，发现数学规律.

行文至此，我们可以对于施行“再创造”数学教学原则的条件进行相关的总结了，这里还是以弗氏自己的语言来结束提高数学课堂教学有效性的条件的讨论，弗氏写道，“（教师选择数学化信息的方式提出了合适的初始问题以后）教师就已经为学生创造出了自由广阔的学习天地，接下来就可以不动声色地听任各种不同的思维、不同的探究方法自由产生、选择，从而发挥发生知识认识的作用. 对此，教师绝不可对于关于这个知识点的教学内容设置限制，更不应该对学生的发现过程中的环节与途径设计任何预制的‘圈套. ”[4]

“再创造”教学原则与“发现法”教学方法的区别与联系

为了探究“再创造”数学教学原则的特点，以达到认识这种教学原则对于教学设计的指导作用，我们将基于“再创造”的数学教学设计与目前数学课程与教育专家所倡议的、具有时代优势的教学方法——“发现法”数学教学设计进行比较认识. 由于前述的分析得到了结论，我们认识到，“再创造”不仅是一种有价值的数學教学方法，更是一条重要的数学教学原则，利用这条教学原则，既可以实现一个知识点的具体教学，又可以在这条原则的指导下，实现某一个知识链条上的结构性教学;而“发现法”只是一种数学教学方法，它只能指导作为具有某种特点的数学知识点的教学活动. 因此，在格局上，“再创造”与“发现法”这两者具有很大差别.

基于“再创造”教学原则的数学教学设计是一种宏观上的设计，在这种设计过程中，应该结合具体教学内容的结构性，引入学生生活现实中或数学现实中的各种各样的具体的例子，鼓励学生使用自己数学现实中已经存有的数学知识、学习经验、思维方式、认知习惯分析数学化信息，从中提出问题、分析问题、解决问题，形成数学知识，从而保证从数学化信息到数学知识的发生过程中，主体能够领悟其中的一些活的灵魂. 关于这一点，弗氏说道，“与其说引导学生学习数学，不如说引导学生学习‘数学化;与其说引导学生学习公理系统，不如说引导学生学习‘公理化;与其说引导学生学习形式体系，不如说引导学生学习‘形式化.”[5]

弗氏所说的这三项“与其……不如……”的要义正是“再创造”数学教学原则的主旨之所在，因此，实现“再创造”数学教学原则的过程是一种宏观整体的结构性过程，它需要教师从一门数学知识的学科整体上加以考虑. 这门数学学科的基础结构性（最好是现实生活中的）问题是什么？从这个结构性问题中寻找解决问题的具体方法，在这种方法下可以产生怎样的新的数学知识，这就是一种“数学化”过程;当这个新知识产生之后，学生就会利用自己在数学现实中已经掌握了的数学知识、数学经验，使用相关数学（文辞、符号或图形）语言来加以表达，这就会促使学生形成“公理化”或“形式化”的过程.

关于“再创造”的说明，弗氏使用了“巨人的手”的例子，向学生提出的生活问题是，“昨晚外星巨人访问我校，留下了一个巨大的手印. 今晚他还要来，我们给他坐的椅子应该有多高？他用的新铅笔应该要多长？”学生在这个问题情境的刺激下，将会自行地开拓一系列的方法来解决问题，最终可以促使学生形成数学（几何）知识——相关的比例理论及据此产生的相似形的成比例线段的关系. 学生发生的认识结论及其方法的产生为进一步与他们自己数学现实中的数学知识结合起来，为“公理化”与“形式化”奠定了基础. 由此可以看到，弗氏的“再创造”数学教学原则，是从数学知识的结构及其与学生发生数学知识认识的心理结构这两个整体上联系互动进行考虑的结果，而不是知识结构中的某个环节上着眼的.

关于知识结构某个环节上着眼的数学教学活动，设计得比较好的教学过程，应该是“发现法”所能承载的问题. 因此，“发现法”数学教学需要数学教师瞄准每个知识结构中的每个有发现价值的关键性环节，然后，考虑设计合适的初始问题，引导学生对这个初始问题进行探究，形成猜想，论证这个猜想是真命题，形成数学知识，将这个知识纳入学生的数学现实的知识结构中去. 这就是“发现法”数学教学的完整过程.

因此，我们认识到，“发现法”时常只限于某种有价值的狭隘的数学题材，它往往只是需要学生的某种具体数学方法的介入就可以解决问题. 在探究发现解决问题的过程中，学生未必发生其中所必需的数学思想，并且这种数学方法可能是教师课前设计好了的一个个问题构成的“问题链”. 如此，教师就像是设置好了的“圈套”引导着学生的思维往里钻，因此，在这种情况下，这样的教学活动中学生的学习是被动的.

由此分析比较，我们认识到，一方面，“再创造”数学教学原则下的教学活动与“发现法”教学活动是不可同日而语的. “再创造”数学教学最终可以实现弗氏的三个“与其……不如……”的结果，它是数学某门学科整体上有计划、有目的、有步骤地设计问题，在解决问题建立知识结构的一整套过程中，发生知识、形成方法、萌生观念、建构思想;而“发现法”只是在“再创造”的某个环节上设计问题，引导发现，教师在使用“发现法”时稍有不慎，就会弄巧成拙，就会使数学课堂教学走向灌输知识的道路.

另一方面，在实际数学课堂教学活动中，我们应该将“再创造”教学原则下的数学教学与“发现法”数学教学这两种途径整合起来，发挥这两者的优势，克服它们的缺点，既从宏观上使用“再创造”做好教学的结构性设计，又从微观上使用“发现法”做好具体知识点的教学设计，从而促进这两者相互扶助、相互为用、取长补短，才能最大限度地提高数学课堂教学的有效性.

简要结语

揣测与掌握学生发生数学知识认识的心理过程是数学教师趋近解决如何实施教学设计问题的第一步，数学学习理论应该建立在现实数学课堂教学实践中所取得的证据，而不是建立在一些思辨的形而上学的基础之上. 这些证据应该通过教师针对具体的数学知识情况观察所施教的学生、分析学生真实学习数学时的心理过程，才能掌握第一手资料，获得真知灼见. 学生学习数学的心理过程包括两方面：其一，整个教育教学系统中的学习过程，包括各级学生、小组、班级、教师以及观察者自己的学习过程;其二，人类的学习过程，即人类整体数学知识的发展历史[6]. “再创造”数学教学原则与“发现法”数学教学活动的优势组合是实现数学课堂有效性的可靠保证.

参考文献：

[1]  张昆. 整合数学教学设计的取向——基于知识发生的逻辑取向与心理取向研究[J]. 中国教育学刊，2011（06）：42-46.

[2]  [荷兰]弗赖登塔尔. 作为教学任务的数学[M]. 陈昌平，唐瑞芬，等译. 上海：上海教育出版社，1995.

[3]  张昆. 数学解题教学设计的创新实践研究——基于“美学”的视点[J]. 数学教育学报，2015（05）：41-45.

[4]  梅全雄. 弗赖登塔尔的数学教育思想[M]. 数学教师，1993（7）：30-34.

[5]  Hans Freudenthal. Didactical Phenomenology of Mathematical Structures[M].D. Reidel Publishing Company， 1983.

[6]  张昆. 指向以学定教的数学教学设计示例——透过弗赖登塔尔的数学“再创造”教学思想的视点[J].  中学数学（初中版），2018（06）：61-64.