剖解立体几何，探究解题方法

☉江苏省扬州市邗江区公道中学 葛 艳

☉江苏省扬州市邗江区公道中学 王 雷

立体几何是高中数学的重难点内容，在历年高考中均占有一定的分值，学习和掌握立体几何问题的解法对于学生空间思维的培养与逻辑运算的强化有着一定的帮助，本文将以一道立体几何压轴题为例，开展试题解读及多解探析.

一、真题再现，试题解读

考题（2018年全国卷Ⅲ第19题）如图1所示，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧C（D所在的平面互相垂直，M是CD上异于C，D的点.

图1

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）当三棱锥M-ABC的体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.

解读：本考题是高考典型的立体几何压轴题，考题有两问：第（1）问求证面面垂直，第（2）问求解在特定条件下二面角的正弦值.均属于立体几何的常见问题，主要考查学生识别空间几何的结构特征、理解面面垂直的证明定理以及二面角等相关知识.考虑到立体几何问题的求解过程需要学生提炼图形特征，推理几何条件，开展问题的综合计算分析，因此对学生的空间想象、逻辑推理和数学运算能力要求较高.同时求解该类问题需要学生采用一些数学思想方法，合理利用数形结合、化归与转化思想来简化分析过程.

二、试题剖析，多解呈现

考题的两问均属于立体几何的代表性问题，问题的求解具有一定的思路：需要根据几何特征选取不同的解题视角，从定理出发来构建具体的模型，基于模型来探寻解题条件，并最终完成证明或求解.

1.几何法破解面面垂直

第（1）问求证面面垂直，可以采用常规的几何法，且有以下两种解题思路.

思路一：提取相关面中的线线垂直条件，基于线面垂直的判定定理来完成线面垂直的证明，然后基于面面垂直的判定定理来构建面面垂直，思维导图如图2所示.该思路的难点在于如何证明问题中的线面垂直，证明时需要充分挖掘问题中所隐含的垂直关系，由平面几何的线线垂直入手来完成证明.

图2

解题步骤：由已知条件可知平面CDM⊥底面ABCD，由于DM⊂平面CDM，在平面ABCD上的射影在线段CD上，且CD⊥BC，所以DM⊥BC.如图3所示，连接CM，由于CD为半圆的直径，点M位于圆弧上，则∠DMC=90°，即DM⊥CM.由即可证DM⊥平面BMC.而，DM⊂平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC，证毕.

图3

思路二：基于面面垂直的定义：若两个平面的二面角为直二面角，则这两个平面互相垂直.因此可以根据上述面面垂直的定义来构建解题模型，首先确定二面角的平面角，然后分析其平面角的角度，进而完成证明.该思路的难点在于构建二面角的平面角，可通过绘制平面的交线来获得.

图4

解题步骤：如图4所示，过点M作直线m，使得m∥AD，根据线面平行的性质可知线m是平面ADM与平面BMC的交线，即平面ADM∩平面BMC=m.进一步分析可知MC⊥m，DM⊥m，所以∠DMC就是二面角D-m-C的平面角，根据定理“直径所对的圆周角为直角”可得∠DMC=90°，所以平面AMD⊥平面BMC，证毕.

2.多视角构建二面角

第（2）问求解三棱锥M-ABC的体积最大时，平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值，实际上该问可以拆分为两问：①三棱锥M-ABC的体积最大时的情形；②两平面所成二面角的正弦值（“无”棱二面角）.根据第①问的体积最大的条件可以确定圆上点M的位置，然后采用几何中对应的方法来构建二面角.

需要分两步进行：第一步三棱锥M-ABC的体积等于△ABC的面积与点M到底面距离乘积的三分之一，即×h，其中S为固定值，因此三棱锥M-△ABCABC的体积大小仅受h大小的影响，直接体现在点M到直线CD的距离上，因此当点M与圆心O的连线MO⊥CD时，h取得最大值，此时三棱锥的体积最大.对于第二步的二面角的构建可以采用不同的解题方法，主要有几何法、向量法和射影面积法三种，对于不同的方法存在不同的难点和转化思路，下面对几何法与射影面积法进行具体探究.

方法一：几何法.

利用几何法求解二面角问题，考虑到面MAB与面MCD不存在交线，因此所成的二面角属于“无”棱二面角，对于该类二面角，解题的关键是确定两个平面所成的交线，后续在构建二面角的平面角时，具体为“四字”步骤——“作，指，证，求”，即首先作辅助线，然后指出二面角并加以证明，最后求解二面角.

解题步骤：MO⊥CD时三棱锥M-ABC的体积最大.过点M作直线EF，使得EF∥DC，则有OM⊥CD，由线面平行的性质可确定EF就为面MAB与面MCD的交线，即EF是二面角的棱，取AB的中点P，连接PM、OP，则PM⊥EF，可证得∠PMO就为所求二面角的平面角.在Rt△MOP中，MO=1，OP=2，MP=，所以sin∠PMO即三棱锥M-ABC的体积最大时，面MAB与面MCD所成二面角的正弦值为

方法二：射影面积法.

求解二面角的正弦值时可以考虑先求其余弦值，然后再转化，而求解余弦值时可以借助求图形的射影面积的方式，具体公式为S′=S·cosθ，其中S′为图形在另一平面上的射影面积，S为该图形的原面积，θ为原图形所在平面与射影平面所成二面角的平面角.在求解时可以利用垂直、平行的方法构建射影图形，进而求出射影图形的面积，然后根据面积的比值，求解出所成二面角的余弦值.

解题步骤：由于AD∥BC，平面DMC⊥平面ABCD，则△MCD就为△MAB在平面MCD上的投影.设二面角的平面角为θ，则cos，故sin，即面MAB与面MCD所成二面角的正弦值为

三、解后反思，教学建议

本考题是高中数学常见的立体几何压轴题，上述所呈现的解法是求解该类问题最常见的方法，总体上可以归结为几何与代数两类解题视角，其解题过程中策略的构建思路具有一定的启示意义，下面将进一步开展反思总结.

1.关注问题特点，总结解题规律

上述考题中的两问具有一定的难度梯度，第（1）问求证面面垂直只需要结合几何定义，利用对应的几何定理来完成即可，相对而言较为简单.考题的难度主要集中在第（2）问的二面角的分析上，所给的两平面之间没有明显的交线，属于“无”棱二面角问题.上述对于该特殊问题呈现了三种解法思路，其中的几何法、向量法和射影面积法也是求解“无”棱二面角问题最为有效的方法.几何法需要化“无棱”为“有棱”；而向量法则需要充分利用图形中的面面垂直的关系来构建空间坐标系，从而简化求解过程；而射影面积法中的射影图形的构建可以结合两线平行或垂直的特性完成.教学中需要教师引导学生关注图形特点，领悟方法，并形成知识规律，从本质上掌握立体几何探究突破的策略.

2.关注思想方法，开展思想教学

高考立体几何问题肩负着知识考查和能力考查的双重使命，其中能力考查最为重要的一项是对学生的解题思维和数学思想的考查，这也是数学解题的精华所在.实际上数学的解题过程就是问题转化、思路构建的过程，在这个过程中需要学生充分调动数学思维，结合对应的思想方法开展问题分析.如上述考题涉及数形结合和转化化归思想，正是在这两种思想的融合下完成了问题的拆解和对应的剖析，因此可以说数学思想是指导解题的灵魂，也是开展解题教学需要重视的内容.在实际教学中，需要教师结合具体的教学内容，渗透数学的思想方法，指导学生掌握数学思想的解题内涵及技巧，通过学习解题来发展数学思想，进而拓展解题思维.