例谈用公式法处理立几中的角问题

罗章军

求空间角的大小是立体几何中的一个重点，但无论是异面直线的夹角，直线与平面的夹角，还是平面与平面的夹角，都必须作出其平面角后再求解.有时由于已知的线面位置关系比较隐晦，所求平面角无法作出，使得解题夭折.为此，本文将利用三面角余弦定理推导出求上述三类空间角的公式，运用这些公式，可避开求作平面角的困难，简捷地求出要求的平面角.

一、用公式法处理二面角的平面角

三面角余弦定理：若记三面角O-ABC中的∠AOC=α,∠BOC=β,∠AOB=γ，二面角A-OC-B=θ，则cosθ=cosγ-cosαcosβsinαsinβ.

证明：在OC上取点C′，过C′作A′C′⊥OC′，B′C′⊥OC′，连A′B′，则∠A′C′B′即为A-OC-B的平面角.在Rt△OA′C′和Rt△OB′C′中，sinα=A′C′OA′,cosα=OC′OA′,sinβ=B′C′OB′,cosβ=OC′OB′,在△OA′B′中，由余弦定理cosγ=OA′2+OB′2-A′B′22OA′·OB′,

∴cosγ-cosαcosβsinαsinβ=OA′2+OB′2-A′B′2-2OC′22A′C′·B′C′=A′C′2+B′C′2-A′B′22A′C′·B′C′=cosθ.

例1 在正△ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连结A1B、A1P，求二面角B-A1P-F的大小.

解：设△ABC的边长为3，由题设知EF⊥BE，又A1-EF-B成直二面角，∴A1E⊥面BEP，CP=CF,∴PF∥BE,∴PF⊥平面A1EF，∴PF⊥A1F.∴cos∠A1PF=15,cos∠BPF