柱锥面交线研究

胡志刚， 郑秋白

（1. 河南科技学院机电学院，河南 新乡453003；2. 驻马店市宇畅路桥养护工程有限公司，河南 驻马店 463000）

柱锥面交线研究

胡志刚1， 郑秋白2

（1. 河南科技学院机电学院，河南 新乡453003；2. 驻马店市宇畅路桥养护工程有限公司，河南 驻马店 463000）

论文就相交切面型回转面中的圆柱、圆锥面交线的计算进行详细探讨，对不同输入参数下交线产生的结果进行分析，为 CAD中锥柱求交的部分提供一种有效的算法基础。给出了圆柱、圆锥表面交线存在的判别式，对交线在特殊位置下存在的参数条件、不同交线数量及形态特点进行了解析和几何分析，对一般位置下圆柱、圆锥面存在交线的特殊情况，即表面切点的计算进行了方法讨论；提供了相交圆柱、圆锥表面及其交线参数化绘图的程序设计思路和所涉及到的一些关键问题的处理方法，应用程序以对话框输入初始参数，能实现自动绘制圆柱、圆锥面及其交线多面投影视图、尺寸标注及将主要尺寸、参数及交线的坐标数据写入数据文件。

回转面；交线；参数方程；绘图

在工程设计及开发 CAD/CAM应用程序的过程中，几何体模型设计是一个极其重要的基础设计环节之一，构成的几何体表面主要有规则曲面、非规则曲面和自由曲面等类型，规则曲面中的切面型回转曲面是工程设计中除了平曲面之外应用最多的曲面类型，锥面和柱面又是其典型的代表[1]。几何体表面交线的分析与表达是模型设计中比较难以处理的问题之一，相关文献对曲面之间交线的构建、实体建模中对回转面交线的分段取舍和特点分析已有较多的讨论，在组合两个包含切面型回转曲面为主要表面的基本实体模型时，如何根据其尺寸参数和相对位置参数判断有无交线产生，如何准确地绘制切面型回转曲面之间的交线，交线的数目和形态如何，如何处理形成封闭交线的两段曲线在起讫点的连接等问题，成为几何建模和视图表达的关键[2-11]，相关文献中涉及较少。建立基本几何形体表面和其交线的数学定义模型时，应分别在各自基本几何体上建立固连的坐标系，以一个基本几何体及其坐标系为主形体和主坐标系，其余几何体及其固连的坐标系可以通过平移、旋转等几何变换达到任意指定位置。当每个坐标系和其固连的几何体的相对位置不同，其数学描述也会不同，但结果是一致的，在文献[4,9-14]中已有相应地描述。在切面型回转面的建模过程中，根据特殊几何条件建模以及交线的产生条件、形态特点、演变及数目等在目前的文献中虽有所分析[4,10,12,15]，但缺乏较为全面地描述。本文以切面型曲面中最常见的圆柱面和圆锥面为例，对其交线的数学描述、初始参数与交线的形态特点，产生交线的临界参数及计算方法给出了特殊情况下的分析，并对一般位置下取得产生交线的临界参数从方法上进行了讨论，同时开发一个参数化建模与绘图的应用程序，实现形体与交线的正交投影视图的绘制，对通过输入不同参数后运行该程序可以显示不同的结果，对交线特点进行分析对比和结果验证，可为基于交线形态特点的几何形体的设计和创建提供依据。

1 回转曲面交线数学模型的建立

圆柱面与圆锥面相交，坐标系的选择及初始参数不同，圆柱、圆锥面及其交线的数学表达式也不同，相应的图形结果也会不一样；例如，圆锥定义的初始参数为底圆直径和顶点到底圆的高度，定义圆锥的坐标系坐标原点位于底圆中心点，Z轴通过顶点，可以得到其圆锥面及交线的表达式[13,15]；也可以锥顶角为初始参数，以锥顶点作为坐标原点，Z轴与圆锥面轴线共轴建立坐标系。如何选择要根据应用程序所达到的目标和实际应用而定，本设计以显示完整的交线为主要目的，故圆锥面定义的坐标系和初始参数设置选择后者。

分别在圆锥面Ⅰ和圆柱面Ⅱ上建立两个笛卡尔坐标系，设圆锥定义坐标系为O-XYZ，坐标原点位于圆锥顶点O，Z轴与圆锥轴线共轴，向上为正方向；圆柱定义坐标系为 O1-X1Y1Z1，原点在圆柱轴线上，Y1与圆柱轴线重合，右为正方向；当两者处于一般位置（即圆锥面和圆柱面轴线为异面直线）时，相当于将圆柱面及其O1-X1Y1Z1坐标系从与O-XYZ坐标系重合的位置，先围绕X1（或X）旋转β角度，再分别沿着X、Z轴移动Δx和Δz而得到，此时Δz一般应为负值，X和X1方向相同，圆柱面直径为d，圆锥面锥顶角为Φ，如图1所示。

图1 相交圆柱体、圆锥体、坐标系及基本参数

圆锥面Ⅰ的方程为：

其下半圆锥面参数方程为：

其中，θ为自O-XYZ坐标系原点O到圆锥面上任一点P在XY坐标面上的投影连线op与X轴的夹角如图1所示。且0≤θ≤3 60°，- ∞≤z≤0，0°＜Φ＜180°

圆柱面Ⅱ方程为：

其参数方程为：

其中，t为圆柱面上任一点的半径线在O1-X1Y1Z1坐标系 X1Z1坐标面上的投影与Z1轴的夹角，且0° ≤ t≤ 3 60°。

两个坐标系的坐标变换公式如下：

在O-XYZ坐标系中定义的交线参数方程为：

将式(1)解出的 x1和 z1代入式(2)可得出交线在O-XYZ坐标系中的表达式为：

其中：

是否存在表面交线要根据式(3)中z坐标是否存在，设 Δ =B2-4 AC，Δ ≥ 0 时，z有两个不相等的实值，有交线存在，即分别对应两段交线上的两个点，当Δ =0 时，两个点重合，即两段交线形成的一条封闭空间曲线的分界点。将式(4)代入Δ= B2-4 AC 得到：

可以看出，该式是一个关于θ 的高次三角函数多项式，对于Δ =0 的求解，可以采用数值解法求出对应的θ 值。对于β 处于特殊角度时可以直接求解。当β=0时，两切面型表面轴线垂直：

当β=90°时，两轴线平行或共线：

2 程序设计

用 Autolisp语言进行程序设计开发一个名为cone_cyl_intersection的参数化绘图命令。可以实现在指定的绘图起点绘制相交圆柱面、圆锥面的多面正投影视图、尺寸标注，还包括原始输入尺寸、参数和产生交线的关键参数、界定不同交线形态的参数及交线数据等自动写入一个Excel文件中[2,16]。绘图部分程序设计框图如图2所示。

图2 三视图绘制的程序框图

2.1 交线的完整显示方法

能否在视图中完整显示交线的投影与指定的圆锥面高度h有关，其必须大于交线上最低点的z坐标的绝对值，即。在本设计中，取h等于和圆柱直径d中的最大值。

2.2 绘制交线的坐标变换

根据式(3)可以计算出基于圆锥面坐标系O-XYZ的交线上点的坐标，但是，要实现在AutoCAD构造平面上绘制交线的多面投影视图，必须把三维坐标转换成当前用户坐标系的二维坐标。设交线上某一点的坐标为(x, y, z)，AutoCAD当前用户坐标系为O′-X′Y′Z′，指定绘图起始点（在主视图上）的坐标为，俯视图与绘图起始点的距离为 l，左视图与绘图起始点的距离为 m，其转换公式分别为：

2.3 消除圆锥顶点上方的交线方法

在绘制交线时，在一些情况下圆柱面会同时和上、下圆锥面相交，可同时显示分别位于锥顶点上、下两个交线，但在一般的工程设计中，只采用下方的圆锥面及其交线，因此，在计算交线上点的坐标时，要对该点的z坐标进行判断，只有z≤0时才执行绘图操作。

2.4 参数角θ步长Δθ的取值

在实际绘图时，因为z是一个多值函数式，因此一条封闭的交线是分两次绘制完成的，由于 Δθ不可能连续取值，造成交线起讫点不重合。虽然Δθ的取值越小，交线图形的分辨率越高，曲线越光滑，起讫点间隙变小，但命令执行的时间也越长，本设计取Δθ= 2°，当绘制交线接近起、讫端点时，程序自动取Δθ=0.1°，最后用直线连接起、讫端点。

3 参数初始化与回转面交线形态讨论

从式(5)、(6)和(7)中Δ值可以判断两切面型回转曲面的交线位置及形态，特别是，当 Δ=0时，从求解的cosθ的值可以判断交线的数量和交线存在的θ值域，cosθ为单值时，存在一条不包含锥顶点的封闭交线；cosθ为二值时，存在两条不包含锥顶点的封闭交线；Δ>0不随θ改变时，交线是两条包含锥顶点的封闭交线。由于两切面型回转面轴线处于一般位置时，Δ=0是关于cosθ的高次方程，只能通过数值计算的方法求解，故下面只对式(5)、(6)对应的特殊状况进行交线的分析，对一般位置给出分析方法和进行几何及实例分析。加载命令定义程序，并执行程序命令后，根据输入的参数不同，图形将反映出各种相对位置关系和对应的交线形状[4]，以此对几何和解析分析两方面进行程序结果的验证。

3.1 相交特殊情况

包括圆锥、圆柱面轴线共轴，平行与正交等。

3.1.1 共轴或轴线平行

图3 轴线平行时的交线

3.1.2 轴线正交

此时， β =0°。根据式(6)，当Δ≥0时存在交线，特别是，当 Δ = 0时，有：

以下从几何角度分析其交线情况：

图4 轴线正交时的交线

图5 圆柱面过锥顶点的交线

图6 圆柱面切于圆锥面素线的两条交线

图7 圆柱面切于圆锥面素线时的竖8字形交线

图8 圆柱面切于圆锥面素线时的横8字形交线

3.2 相交一般情况

两轴线以一般角度相交或者是异面直线时，可以无交线或者交于一条或两条封闭的交线。当两个回转面公切于一个平面，并处于切平面异侧时为外切，处于同侧时为内切。确定两个曲面内、外切点受圆柱面直径d、圆锥顶角Φ、x方向位移Δx 、z方向位移 Δ z 以及两轴线夹角等多个参数的影响，设前3个参数不变，当两曲面相切时，若给出Δx 的值时，β的数值也就确定了，且内、外切点所对应的θ 也将确定，此时设内、外切点所对应的β=βet，当时，0≤β＜βet或π-βet＜β≤π时则无交线；当时，βet＜β＜π-βet时有两条封闭的交线，特别是，当β=βet或 β=π-βet时，两条封闭交线有一个共点。计算βet可以通过求解一般位置下圆柱和圆锥表面的共切平面得到。以下是几种常见的交线实例：

图9 Δx=35, Δz=40, β=15°时的交线三视图

取较大数值时，交线是一条不包围锥顶点的封闭曲线或者无交线，取较小值时，交线是两条包围锥顶点的封闭曲线，如图 10所示，初始参数为：d=100，Φ=45°,Δ x= 10,Δz= 75,β=25°。

图10 Δx=10, Δz=75, β=25°时的交线三视图

图11 Δx=-10, Δz=150, β=150°时的交线三视图

通过详细分析交线状态创建圆柱、圆锥相交的形态图谱，并对每种形态图找到对应出初始输入尺寸和参数，以便设计和绘图时有针对性的应用[17]。

4 结 论

通过对交线产生、交线的分段点、数目及与锥顶点的位置关系相关的临界参数的分析，可以在建模中明确回转体的相对位置及表面交线的形态，准确地构造切面型回转体为基本形体的建模奠定基础，同时可以在应用程序中初始化参数数据，为应用程序的功能扩展提供依据。本文是以圆锥面及其固连的坐标系 O-XYZ为参照来定义圆柱面及其固连坐标系O1-X1Y1Z1的位置，其一般位置可以通过将圆柱及其固连坐标系围绕X轴旋转一定角度，并分别沿着Z轴和X轴移动一定距离而实现，因此不需要使其再围绕Y和Z轴旋转及沿着Y轴平移的变换，从而简化了坐标点的计算量和程序设计。

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Research on Intersections of Cone and Cylinder

Hu Zhigang1, Zheng Qiubai2
(1. School of Mechanical and Electrical Engineering, Henan Institute of Science and Technology, Xinxiang Henan 453003, China; 2. ZhuMadian Yuchang Road and Bridge Maintenance Corporation Ltd, Zhumadian Henan 463000, China)

This paper aims is to discuss the intersections determination of two plane tangent convolutes, a cylinder and a cone, and to analyze different intersection results under different parameters entry, so as to deliver a kind of effective mathematical basis for CAD intersection construction. For a cylinder and a cone, the existence-judgment equation of intersection lines is given. It is also analyzed that intersection existence conditions, numbers and shape properties in both parametric formulas and geometry at special spatial positions, while the method discussion was made of getting exact tangent point of two surfaces at normal spatial position. The structural diagram is delivered of parametric drawing program of multiview, some processing methods coping with several key problems of drawing intersection curve are listed, too. Different intersection lines resulting in connection with corresponding parameters entry are analyzed. The implementation has the functions of multiview drawing, dimensioning and writing main parameters and coordinate data to a data file for intersection lines.

surface of revolution; intersection line; parametric equations; drawing

TP 391.7

A

2095-302X(2015)05-0671-07

2015-04-01；定稿日期：2015-06-10

国家自然科学基金资助项目(51375149)

胡志刚(1962-)，男，江西进贤人，副教授，学士。主要研究方向为机械设计、CAD及工程图学。E-mail：huzhg62@sina.com