高阶思维培养视角下“做数学”的探究*

☉广东省广州市第一中学 贺小意

高阶思维能力包括分析能力、评价能力、创造能力、批判性思维能力等四大能力.“做数学”是学习个体在实践操作中实施数学问题解决的一种数学学习活动.在高阶思维培养视角下数学教育开展有针对性的“做数学”活动可以促进高中生的高阶思维发展.

一、高阶思维概述

目前，高阶思维的研究理论基础多源自布鲁姆（B.S.Bloom）的认知目标分类理论.国内外大多数学者赞同布鲁姆（Bloom）认知目标分类当中的分析、综合、评价能力等为高阶思维能力.为此笔者做出相应的理解，提出高阶思维能力包括的四大能力为：分析能力、评价能力、创造能力、批判性思维能力.《普通高中数学课程标准》（2017年版）（以下简称《标准》）提出，“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质”，“数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必须的数学知识、技能、思想和方法；提升学生的数学素养，引导用数学语言表达世界；促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展”.《标准》提出的核心素养的关键的能力要求与培养学生的“高阶思维能力”是一致的.

二、“做数学”的界定

“做数学”是指学习个体在实践操作中使数学问题得以解决的数学学习活动.“做数学”不能等同于“做数学习题”，它的表征是“实践”、“操作”、“探究”“体验”、“参与”.“做数学”与“说数学”有区别但又紧密联系.钟进均对“说数学”深有研究，他认为：“说数学”是指个体用口头表达的具体认识、理解，解决数学问题的思路、思想、方法和数学学习情感、体会等数学学习活动.笔者认为“说数学”可以理解为“做数学”的部分活动，但是“做数学”更注重动手操作，动脑探究.新课程标准提出数学学科教学要注重学生的实践参与，“评价既要关注学生的学习结果，更要重视学生的学习过程.”

三、高阶思维视角下“做数学”的活动探究

杜威认为思维不是自然发生的，而是由一些“难题和疑问”或者是“困惑、混淆或怀疑”所“引发”的，思维离不开“训练”.同样高阶思维也不是自然产生的，也需要经过培养和训练.在我国，钟志贤教授对高阶思维的培养研究比较深入.钟志贤教授深刻反思并剖析了传统教学设计模型的局限性，他认为“要发展高阶思维能力，必须有高阶学习的支持.”哈佛大学著名的心理学教授戴维·珀金斯（David Perkins）认为良好的思维能力的培养需要相应的教学资源的支持，并通过教育工作者进行一系列有针对性的训练.对于教育工作者而言，高阶思维的培养则应在学科教学中进行.笔者从教以来一直注重学生的思维培养，关注如何在学科教学中发展学生的高阶思维.笔者在发展学生的高阶思维方面做了以下探究.

1.“做改编数学”培养创造性思维

创造性思维是高阶思维的重要形式.“创造性思维是人类在探索未知领域和开展创造创新活动的过程中，充分发挥认识的能动作用，不断以新颖的方式和多角度的思维转化来寻求获得新成果的思维活动.”创造性思维是可以通过训练培育出来的.笔者在“做数学”中尝试“做改编数学”活动等方式来培育学生的创造性思维.

在上完人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学5.必修》（以下简称必修5）第三章“不等式”后，笔者开设了一堂章节小结课（以下用“课例1”表述）.课例1中笔者选用了人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学5.必修》中104页“复习参考题”B组第5题作为例题.原题如下：

最大值、最小值各是多少？

课堂上老师引导学生“小导师”（笔者所教班级设有学生小教员和学生小导师的角色）在课堂上分析讲解.在讲解过程中，发现学生对x2+y2理解不到位，通过思想的碰撞后完成了此题的讲解，并最终解决问题.讲解完此题后笔者并没有停下，而是让学生在课堂上改编此题.

改编问题比完成一个问题需要的能力更高.在改编过程中教师可以发现学生是否理解、掌握此问题的关键点和易错点，同时还可以培养学生的创造性思维.下面是部分同学比较成功的问题改编：

从上述的改编中可以发现，学生对目标函数z=x2+y2有了较好的理解，并能区分z=x2+y2和z=的不同.当我对这些同学的成功改编进行表扬和鼓励后，班上同学甲站起来说：“老师，我有一个改编，不知是否可以？”我鼓励他大胆地写出来进行展示.甲同学的改编是：

题4：已知2x+y-2≥0，当x，y取何值时，x2+y2取得最小值，最小值是多少？

这位同学在课堂展示时有些羞涩，但这位同学的改编确实是十分成功的，他简洁明了地突出了教材习题考查的关键之处.我非常高兴地表扬了这位同学，效果非常好.课堂上全班同学对这些改编问题进行了完整的解答.学生自己对数学问题进行改编，然后完成自己改编的问题.学生学习的迫切心更强了，学习的兴趣也更浓了.课堂即时展示，培养了学生的实践意识和竞争意识.课堂上学生即时改编教师提出的问题不仅培养了自己的创造性思维，同时在这种竞争过程也激发了全班学生创造性思维的培养.

2.“做多解数学”培养发散性思维

发散性思维是思维过程中从一方面向多方面展开，通过知识、观念的重新组合，找出更多更新的可能答案、设想、或解决办法，是高阶思维的一种.

“多解数学”指的是一个问题可能有多种答案、多种解法、多种思路.我把“开放性问题”、“一题多解问题”归类到“多解问题”.在数学学科教学中教师开展“做数学”实践活动时经常策划一些“做多解数学”，这样可以培养学生的发散性思维.

在课例1的最后，我在课堂上抛出一个问题，甲同学改编的这个问题除了利用线性规划思想解决外还有没有其他方法？请同学们课后思考并用多种方法完成下一题：

题5：已知x+y-1≥0，当x，y取何值时，x2+y2取得最小值，最小值是多少？

学生交上来的作业，居然出现了近7种方法.

解法1：线性规划思想解题，转化为原点到直线x+y-1=0的距离的平方问题.

以下方法先是通过图形理解将问题转化为：

已知x+y-1=0（x≥0，y≥0），当x，y取何值时，x2+y2取得最小值，最小值是多少？

解法2：基本不等式法

解法3：三角换元法之一

令x=cos2θ，y=sin2θ，则x2+y2=cos4θ+sin4θ，然后转化为三角函数中的最值问题.

解法4：三角换元法之二

x2+y2=t，令x=cosθ，y=sinθ，x+y=cosθ+sinθ转化为三角函数中的最值问题.

解法5：二次函数法

因为y=1-x，则z=（1-x）2+x2=2x2-2x+1转化成二次函数中的最值问题.

解法6：判别式法

x2+y2=t，把y=1-x代入得x2+（1-x）2=t，利用Δ≥0得到答案.

解法7：解析几何法

转化为圆x2+y2=t与直线y=1-x相切的问题.

限于篇幅就不一一给出学生们的详细解答过程.课例1是我在开展“做数学”活动时比较典型的“做多解数学”的课例.

3.“做质疑数学”培养批判性思维

质疑在传统的教学中已经难以觅见.在传统教学中，学生对教师、书本给出的知识点或答案一般被动接受，这对当前学生的发展是极其不利的.《标准》（2017年版）明确要求：通过高中数学课程的学习，学生能“树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；不断提高实践能力，提升创新意”.当前教师应该教会学生辩证地接受新知识，学会求异质疑.迟维东认为“批判性思维是思维创新的催化剂、原动力.可以说，创新性思维是广义的批判性思维.”他认为批判性思维是一种“摆脱旧观念的束缚、冲破旧知识的传统作用”的思维过程.批判性思维实际上也是一种求异质疑的思维过程.笔者在开展“做数学”活动中不时地开展“做质疑数学活动”，旨在培育学生的批判性思维.

下面是高考数学题中存在争议的两个数学题，笔者在数学必修1和必修5的教学中展示给学生，同时公布当年高考的标准答案.

题6：（2005年福建理12）f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

题7：（2003年江苏1）如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为（ ）.

4.“做操作数学”培养综合性思维

综合思维是多种思维方法在思维活动中的全息式整合，是人脑综合运用多种思维方法的思维过程和思维方式.

皮亚杰在《发生认识论原理》中这样阐述逻辑思维、数学等认识的：认识都是不断建构的产物，其建构过程则依赖于主体的不断活动.皮亚杰认为：“我们可以越过那些可观察到的东西来尝试着建构结构，并不是从主体有意识地说或想的什么来形成结构，而是以当他解决对他来说是新问题时，他依靠他的运演所‘做’的什么来建构结构”.从行为主义理论来看，多让学生操作、动手实践，在亲历中更容易产生顿悟.“做操作数学”活动可以给学生多方面信息的刺激，易促进学生综合思维的发展.

三、结束语

在数学学科教育中，教师通过开展“做数学”活动，可以使学生发现数学过程，亲历数学思维锤炼的过程.任何学习内容都可以设计成不同思维层次的任务要求.在高阶思维视角下开展有针对性的“做数学”活动可以激发学生进行分析、评价、创造等高阶思维的形成，并促进学生高阶思维的发展.《标准》中“探索”所描述的数学活动的过程就是定位在高阶思维水平.对照“探索”的内容要求，教师可以设计开展不同形式的“做数学”活动，从而培养高中生的高阶思维能力.

高阶思维视角下的学科教学并非设计数学难题，而是开展有效的“做数学”活动；高阶思维能力是基于学生主体参与，设计探究性任务，驱动学生自主探究的“做数学”活动.