反思对中职生数学思维能力培养的重要性

摘 要：本文根据中职生数学学习现状，针对性的指出数学解题过程中教师引导学生反思的必要性，总结了解题过程中每个环节反思的方法以及能提高学生哪些思维能力。数学解题过程中，各个阶段的反思不仅能促使学生对问题不断地进行观察分析、归纳概括，而且能对其中所蕴含的数学思想和数学方法进行不断地思考推理并能做出新的判断，体会解题过程中的乐趣，享受探究带来的成就感。逐步培养学生的思维能力，使学生养成良好的独立思考、积极探究的习惯，并懂得如何学数学。

关键词：反思；思维能力；创新；逻辑；拓展；发散

中职数学教学的主要目的之一是培养学生的思维能力，而提高中职生思维能力应注重创新性、逻辑性、拓展性、发散性等方面，在中职课程改革中，新课程的理念是倡导把课堂还给学生，让每个学生都成为学习的主人，其关键就是让学生学会学习，学会思考，尤其是学会反思。而许多数学教师在课改的过程中，往往只注重了自身的反思，却忽视了对学生反思能力的培养。

美籍匈牙利数学家波利亚在《怎么解题》中给出了解答数学问题的四个阶段：弄清问题——拟定计划——实现计划——回顾反思。简言之，在数学解题中要有以下几个步骤：审题——探究——表达——反思。但是在很多人的眼中，无论教师还是学生，认为解题只是前面的三个步骤：理解题意，找到解题途径，写出解答过程。特别是学生，他們解题的兴奋点往往集中在答案上，一旦解出答案，就如释重负，对解题后反思置之不理。而我认为引导学生反思却是提高学生思维能力的一个重要环节，尤其是我所任教的中职学校，学生在初中时候所掌握的数学知识系统性、结构性就比较薄弱，在解题过程中又不善于纠正和找出自己的错误，能解出个答案就很开心，当完成任务了，根本上是缺乏解题后对解题方法、数学思维的概括。殊不知，题后的反思才是真正能沟通各个知识点之间相互联系，促进并深化对知识点的理解，只有这样才能在原有的基础知识点上建立更高层次的认知结构，进而深化认识并产生新的发现。因此，从某种程度上说解题后反思比前三步还要重要！

一、 反思题目特点 培养创新思维能力

在新教改后的中职数学基础模块课程中，有很多章节涉及数学在实际应用中的举例，而我们的学生在一拿到题目的时候就遇到了题意理解方面的困难，大部分情况下，学生都喜欢凭着自己初中解题的经验，采用习惯性的思维方式和熟悉的方法，将刚学到的公式硬套到题目中求解，采用盲目尝试的办法，刚想到一个念头就动手解题，当在继续解题中遇到更大的障碍时，他们是不管这个方法是否合理，还是义无反顾地继续硬算下去，直到走进死胡同碰壁了，算不出答案才死心，这时候也是最打击他们自信心的时候，因此为了不让他们在解题过程中走太多的弯路，教师在解题教学过程中，首先应当引导学生在认真审题之后对题目进行反思，培养学生创新能力，不要墨守成规，学会变通，举一反三，在反思的过程中获取知识外更重要的东西。

反思：在等差数列前n项和公式的应用例题中，当我们知道了a1、d、n、an、Sn五个量中的三个量，就可以求出其余的两个量。针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？

找对五个量中的已知量，并且找对对应的公式，对答案起着重要的作用，因此，引导学生积极思考、探讨，变换其中的已知量，从而加深对此题的理解，如：

生活实例：小明打算高三实习的时候到中国银行做一年的零存整取储蓄，即每月定时存入一笔相同数目的现金500元，一年后，再取出全部的本利和。经他去银行了解后得知一年期的零存整取年利率是2.85%，而且银行规定每次存入的钱不计复利（暂不考虑利息税）。请大家帮他算算一年后他将从银行取回多少钱？

此题首先考察的是学生在看完题目后能不能分析出题目中所隐藏的一个等差数列，这里教师就可以提示零存整取利息计算公式：利息=月存金额×累计月积数×月利率，引导学生得出每个月的利息其实就是一个等差数列，然后再去找出等差数列五个量a1、d、n、an、Sn中，题目给出的已知量，还有隐含的量，以及要我们求解的量，最后在选出我们该用哪个公式才能求解。从分析可算出的已知量有a1=500×1×0.2375%（倒数第一个月利息），d=500×0.2375%，还有隐藏的量n=12，而要我们求的量则是Sn，分析应该选用等差数列前n项和公式中的哪个公式计算？很显然应选用含有a1、d、n、Sn的第二个公式：Sn=na1+n（n-1）2d，解出n。

一变：若将题目的条件不变，结论改为两年后他可以取回多少钱？

二变：小明希望到第12个月末整取时取得本利和为2000元，那么每月初应存入的金额是多少？

教师应该在反思习题的过程中做到多问、多变，实现习题的横向、纵向拓展，从而培养学生善于观察题目的特点，快速抓住问题的主要矛盾，达到培养其创新思维能力的目的。

二、 反思解题过程 培养逻辑思维能力

解决了来自审题的头号问题后，学生又面临了寻找解题途径的第二道坎，中职生在解题过程中很喜欢“只问结果，不求过程”，在作业中经常出现一些逻辑不严密的过程，一旦解完题有了答案以后从来不去验证结果的正确性，没有习惯做任何的反思、总结工作，这样一些很容易解答的题目错误率却很高。因此，教师应在学生解题后，可以设计一些解题思路的提示让学生思考、选择，引导学生从不同角度、方向，按照不同的方法来启发学生思考，培养学生思维的灵活性，让学生在提示的指引下或对问题的思考过程中，不知不觉地提高逻辑推理水平。

在等差数列前n项和公式的实际应用例题中，要想捕捉解题信息，我们可以从不同角度、不同方向变换观察同一个问题，如：

（1）题中的条件是什么，有几个已知量？待求结论是什么，要求哪些量？

（2）探究应选取哪个前n项和公式来应用？

（3）解题方法怎样确定——是需要用一个公式还是几个公式一起应用？

（4）之前的等差数列通项公式应用中有无类似题型——有类似题型解法可供参考吗？

（5）能否利用数形结合的方法建模——画出图表的形式来表示题目？

例：校团委准备在一楼的阶梯教室举办校第十四届团代会，筹备小组的同学了解到，阶梯教室共有10排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有40个座位，问阶梯教室可容纳多少名学生代表？

解法1 由题意知，各排座位数成等差数列，设公差d=2，a10=40，由等差数列的通项公式先求出首项a1=22，然后再利用前n项和公式Sn=n（a1+an）2，算出S10=310

当学生在用这个方法的时候会涉及等差数列的两个常用公式an、Sn，而且有些繁杂的计算步骤会给本来计算能力就不强的中职生增加了一定的困难度，所以在这个基础上可以提示学生再仔细观察下题目，分析下有关等差数列的相关的几个量，有没有发现可以使用更加简便的方法。

解法2 将最后一排看作第一排，则a1=40，d=-2，n=10，因此只要一步，应用等差数列前n项和的公式Sn=na1+n（n-1）2d就可以得到S10=310

反思其过程，善于变化思维角度，摆脱常规、繁难或错误的思路寻找正确或较佳途径的解决问题。在解完一道题后，通过反思解题过程或题目的特殊因素，进行多角度的观察、联想，寻求新的解題途径，可以使学生思维的灵活性在变换和化归的训练中得到培养和发展。

三、 反思解题方法 培养拓展思维能力

正所谓“条条大路通罗马”，数学应用题的魅力还在于，我们可以通过寻找不同的方法来开拓自己的思路从而得到多种解法，不仅能拓展学生的思维能力，还能从中享受解题的乐趣。因此我们在解题之后还是要多角度思考是否还有其他解法，灵活变通，及时总结出解题技巧，让思维更具有创造性。

实例：在“汽车发动机拆装”实训课前，李老师从实训处领来一盒气缸密封垫圈打算上课的时候备用，总共是6个，其中3个一等品，2个二等品，1个三等品，他从中任取3个给上午实训的班级使用，请问其中没有三等品的概率？

分析：从6个中取3个出现的不同种类的次数为20计算公式是C36。

方法一：3个中没有出现三等品则可以看成在3个一等品，2个二等品中选出3个，则没有三等品的次数为的C35，则没有三等品的概率为P=C35C36=1020=12。

方法二：没有三等品则可以看成以下三种情况：3个一等品次数为C33=1种；2个一等品，1个二等品次数为C23·C12=6种；1个一等品，2个二等品次数为C13·C22=3种；则没有三等品的概率为P=C33+C23·C12+C13·C22C36=1020=12。

方法三：设A={没有三等品}，B={有三等品}，A和B为两个互斥事件，且P（A）+P（B）=1，即P（A）=1-P（B），又因为P（B）=C25·C11C36=1020=12，则P（A）=1-12=12。

通过反思解题方法的多样性，让学生从问题出发，从不用的角度入手，去寻找更简洁、更适合自己的解题方法，并在寻求的过程中对类似的题型进行归纳整理，形成解题技巧，这样的反思过程不仅拓展了学生的思维能力，还培养了学生归纳总结的能力。

四、 反思解题结果 培养发散思维能力

最后对解题结果的反思也是相当重要，在数学应用题中并不是你解出来的答案都符合现实条件，因此检验结果是否符合题意，符合实际尤为重要。在验证的过程中教师可以通过引导学生运用已掌握的知识和方法，进行多角度、多方位的验证，也可以采用特殊值或具体数值的带入验证，让学生在验证中打开思路、锻炼发散思维能力。

例如在对城市轨道专业的学生上分段函数的课程中，我们就可以针对各地地铁票制问题创设出这样的情境：我国的地铁票制有以下三种：单一票制、计程票制和混合票制，作为全球地铁里程数排名第二的上海地铁，它的票制为0-6公里3元；6-16公里4元；16-26公里5元；26-36公里6元；36-46公里7元；46-56公里8元；56公里以上9元。请问同学们它属于哪种票制呢？试用我们刚学过的分段函数来建立应付的票价y（元）与实际乘坐的公里数x（km）之间的函数关系，并作出函数图像。

解：设实际乘坐的公里数x（km），应付的票价y（元）。列出分段函数为：

y= 3，0

3+0.1×（x-6），6

9，x>56。学生误将6-56公里这段简单地认为每增加十公里票价就增加1元，则每公里的票价就可以算成0.1元，就得出了以上的分段函数。我们将6～56公里中任取一个x值代入验证一下就会发现其中的不妥，比如x=35公里，代入得到y=5.9元，首先我们地铁的票价都是整数，答案得到的5.9含有小数点这是很显然的错误，再来35公里对应的应该是26-36公里6元这个区间的票价也和我们算出的答案不符，这一验证我们就可以很快地将之前那个分段函数判断为错解。

通过对解题结果的反思，不仅能提高学生解题的正确率，同时让学生在尝试、探索、验证的过程中体会数学的严谨性，从而培养其发散思维能力。

总之，在中职数学教学中要重视培养学生在解题过程中反思的习惯。反思不仅可以帮助学生正确理解题意、寻求最佳途径、多角度思考问题、提高解题正确率，从而更好地帮助学生巩固知识点，减少盲目解题、无从下手、答不合题的毛病，提高学习效率，同时在反思的过程中能将运用知识解决实际问题的能力，转化为培养各项数学思维能力。所以反思如同一面镜子，能帮助学生更加清晰地认识自己的不足，只有通过不断地改进，才能实现真正的突破，取得更好的成绩。

参考文献：

[1]刘奇毅.浅谈初中数学课堂例题教学解后的反思[J/OL].百度文库.

作者简介：游洁，福建省福州市，福州机电工程职业技术学校（交通校区）。