由一道课堂练习题引发的探究

摘 要：由一道课堂练习题引发的探究，利用初等数学的知识推导出三角形面积公式的坐标表示，并分享解题的心路历程。

关键词：探究；三角形面积公式；坐标表示

通性通法的难点是化简7-43，部分学生望而生畏，甚至怀疑此法是否可行。老师刚讲完，就有学生提出新的解法，并上台演板，利用面积割补法顺利解决问题，赢得了大家的掌声。学生的生成超出了老师的预设，回避了向量和三角函数的相关知识点，从图形的角度解决问题，以形辅数简化运算。师生互动的教学情境、思想方法相互生成的过程给笔者留下了深刻的印象。笔者在自己班上课时也把这个问题交给学生回答，有两位平时阅读广泛、能力强的学生提出利用向量的叉乘的几何意义和坐标公式，可以快速解决问题。解法如下：

点评：解题思路简单，用到三角形的面积公式、同角三角函数基本关系式和余弦定理，但是代数式看着复杂，令人望而生畏不敢动笔演算，这是学生目前存在的普遍现象。因此，通过本题的训练，帮助学生观察代数的结构特点，运用平方差公式将代数式转化，真正帮助学生战胜内心的恐惧，抓住代数运算的特点与规律，不怕算，算不怕。

这两个问题都是书本上的问题，问题1是人教A版必修4第82页的探究题，问题2是人教A版必修5第20页的练习题。通过思维导图（下图所示）：

笔者得到了问题1的四种解法：方法一、利用三角形法则的几何意义解题；方法二、模取平方，将线性运算转化为数量积运算；方法三、利用坐标运算，设而不求，整体代换，加强代数求解；方法四、利用坐标运算，结合三角函数的定义将坐标特殊化，简化运算。问题2是推导海伦公式，知识明了，思路清晰。这两个问题的解题方法都体现出运算推理难度较大，但都是提高学生运算能力的好素材。这些解题的心路历程，可以帮助老师和学生共同成长，也能让学生清晰地认识到理解知识的来龙去脉的重要性，要知其然，知其所以然。下面这道高三复习题，能够体现本文通过探究所起到的作用，真正做到触类旁通的效果。

正是因为学生提出的问题，推动老师进一步地探究，在教师专业化发展的方向上起到了助推作用。正是因为平时的积累才会有思维的火花，才能触类旁通，举一反三。高三复习要将课堂适度交给学生，通过老师的预设和学生的生成，达到教学相长的目的。高三复习要回归课本，通过思维导图多探究，建立知识网络，将方法融会贯通，逐步提高运算推理求解的能力，落实数学的核心素养。高三复习要精选题组，通过题组训练题的强化演练，帮助学生掌握解题的通性通法，真正实现熟能生巧的效果。

参考文献：

[1]A版数学必修4教师教学用书.人民教育出版社.

[2]A版數学必修5教师教学用书.人民教育出版社.

作者简介：陈辛清，福建省福州市，福建省罗源第一中学。