运用模型思想，有效建构初中数学模型

王月梅

[摘 要] 数学模型是表征一类事物的特征和数量关系的一种模型，具有抽象性、概括性等特点. 在初中数学教学中，教师要引领学生从生活、经验和实践出发，积极主动地建构数学模型，在模型建构的过程中，感悟数学模型建构的思想与方法.

[关键词] 初中数学；数学模型；模型思想；有效建构

模型思想是《义务教育数学课程标准》（2011版）中新增加的一个核心概念，有专家将其称之为学生数学核心素养之一. 东北师范大学史宁中教授认为，模型思想是数学的基本思想. 广义地说，一切的数学概念、定理、公理等都是数学模型. 狭义地讲，所谓“数学模型”，是指“用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构”. 在初中数学教学中，数学模型体现为运用数字、符号等建立起来的关系式、代数式、方程式、不等式、函数式以及各种图表、图形等. 运用模型思想，可以有效地建构初中数学模型，提高学生的数学创新精神和实践能力，以及数学核心素养，让学生的数学学习走向深刻和智慧.

从生活出发，找寻模型建构原型

應当说，初等数学模型的建构材料都来源于生活，都能在生活中找到原型. 从某种意义上来说，数学模型是对一类生活对象特征的数学反映，因此，教学中教师要从生活出发，找寻模型建构原型；通过引入生活原型，深化学生对数学模型的理解；链接生活原型，关照学生的兴趣、爱好，激发学生建构模型的积极性、主动性和创造性；要让学生从多维度、多侧面、多视角、多方位感知生活原型的特征，为学生建构数学模型奠定坚实的基础.

例如“二次函数”在整个初中数学教学体系中占有十分重要的地位，具有高度的抽象性、变式性和应用性. 传统的“二次函数”教学，教师往往不重视对生活原型的发掘，而是通过对不同类型抽象的二次函数进行重复讲解、多次练习让学生进行记忆，如“顶点式”“一般式”“坐标式”等. 尽管学生也能准确甚至熟练解题，但着眼于学生数学素养的提升和发展，这种教学是没有生命力的. 教学中，教师要有意识地将“二次函数”知识与学生的生活原型结合起来，如与生活中最常见的例子——生活中的物体运动联系起来：王大爷用12 m长的绳子围成一个长方形，怎样围面积最大？如果一边靠墙，要求长方形的面积是18 m2，长和宽应各是多少？如果面积是16 m2，长和宽又分别是多少？如果面积是10 m2，长和宽又分别是多少？来自生活的具体事例，能让学生知道数学其实并不枯燥，而是充满了探究味道.

再如教学“二次函数”图像时，教师可以联系学生喜欢的投篮运动来教学“抛物线”. 教学中，教师可以向学生提供篮球运动员投篮过程中三点的数据，让学生求抛物线方程. 由于这样的教学契合学生的兴趣、爱好，所以学生很乐意探究. 有的学生还会主动思考投篮过程中球的走向，此时教师可以给学生提供一些现实数据，如篮筐的高度、学生与篮筐的距离等，让学生建构投篮的抛物线方程. 在这个过程中，学生会积极探究用手投球的高度. 由于这样的问题契合学生的生活实际，因而能激发学生主动思考、探究. 在这个过程中，不仅能深化学生对二次函数及其图像的理解，而且能让学生解决现实问题的能力得到培养和提升.

《义务教育数学课程标准》（2011版）明确指出，要“从学生已有的生活经验出发，让他们亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”. 一般地，数学模型源于生活原型，同时生活原型有助于理解数学模型. 学生只有在生活原型与数学模型之间来回穿行，才能真正理解、感悟、运用数学模型.

■ 从经验出发，丰富模型建构表象

学生数学模型的建构需要丰富的表象支撑. 从学生的经验出发，可以丰富数学模型建构的表象. 在教学中，教师要让学生借助经验，充分地活动，充分地经历“数学化”的过程，只有这样，数学模型才能获得经验的支撑. 可以这样说，表象越丰富，学生的数学辨析力、判别力就会越强，学生就能主动舍弃事物的非本质属性、特征，而提取事物的本质属性和特征，进而用抽象化、符号化、形式化的符号表征，建构数学意义上的模型.

数学模型的建构需要学生经历模型准备、模型假设、模型建构、模型运用与检验的全过程. 其中，模型假设是建构模型的关键. 而模型假设依靠什么呢？依靠学生的数学知识经验、探究经验等. 例如一次函数是学生整个初中函数教学的起点，深刻理解和把握这部分内容，对学生后续学习与研究反比例函数、二次函数及其他相关知识等很有帮助. 学生的经验（含知识经验、探究经验、生活经验等）非常丰富，其中行程问题、分段计费问题、方案优化问题、利润最大化问题等都涉及一次函数，都是建构一次函数模型良好的经验性素材. 如登山大本营所在地的气温为5 ℃，而山体海拔每升高1 km，气温就下降6 ℃，登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ℃，那么怎样表示y与x的关系？又如某市市内电话的月收费额y（单位：元）包括月租费12元和拨打电话x分钟的计时费（按0.1元/分收取），怎样表示y和x的关系？数学模型具有“类”的特征，将众多学生的经验材料、数量关系等进行数学化抽象、概括，形成具有本质属性的数学模型，是学生数学学习的一般方式. 由此可见，在数学学习中，借助学生的经验能够丰富学生的表象，能够为培育学生的数学模型建构能力奠定坚实的基础.

只有联系学生的经验建构数学模型，才能让学生理性认识数学模型的意义、作用，如上述一次函数模型“y=kx+b”，只有在学生的经验中，学生才能深刻地理解一次函数的符号表达式，才会对下述问题有深刻的洞察：一次函数模型有什么作用？在“一次函数符号表达式”中，k，b的作用是什么？谁决定函数图像直线的倾斜方向？谁决定函数的增减性？谁决定直线与y轴的交点位置？谁决定直线经过的象限？通过对模型的理性认知，学生才能真正有效地参与到数学模型建构、数学模型运用的过程中，进而深化学生对数学模型的本质理解.

■ 从实践出发，形成模型建构方法

数学建模就是用数学语言、符号描述实际现象，用数学知识解决实际问题. 数学模型的建构需要经历数学猜想、模型建构、模型检验等过程. 学生建构数学模型不能只停留在数学思维、数学想象的层面，而必须在模型建构的实践过程中经历从现实问题到数学模型的数学化过程，这样才能掌握模型建构的思想、方法. 在教学中，教师要激发学生的模型建构兴趣，引导学生积极主动地投入到数学模型建构中. 只有学生真正参与到数学模型的建构过程中，才能真正理解数学模型所表征的具體的数学知识、数学问题. 数学建模既要体现“来龙”，也要体现“去脉”，而不能“掐头去尾烧中段”. 一般地，数学建模需要学生经历这样的实践过程：问题的呈现——问题的分析——模型的假设——模型的建构——模型的验证——模型的运用.

例如教学“有理数的加法”，在教学中，笔者出示了这样一个基于学生生活经验的问题：一位学生在学校南北跑道上先走了30 m，又走了40 m，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向？与原来位置相距多少米？教学中，学生根据题目中的“空白点”，即不知道向哪个方向走，提出需要分类讨论. 有学生认为可能先向北走了30 m，又向北走了40 m；有学生认为可能先向北走了30 m，又向南走了40 m；有学生认为可能先向南走了30 m，又向北走了40 m；有学生认为可能先向南走了30 m，又向南走了40 m. 在此基础上，学生认为有必要规定正方向，于是规定向南为正，向北为负. 由此，学生列出了四个算式，并根据行走方向、行走距离和行走前的位置建立了有理数加减法重要的几何模型——数轴，并在交流和讨论中创生了数轴的三要素——原点、正方向和单位长度. 由于“数轴”不是教师直接呈现出来的，不是学生被动接受、机械识记的，而是学生在探究实际问题过程中创生出来的，因而学生对这样的几何模型倍感亲切. 在数轴上，学生从原点出发，通过点的移动，能直观感知有理数加减的计算结果. 借助几何模型数轴，能够为学生自主探究、自主归纳有理数计算法则奠定坚实的基础.

数学建模无论对教师还是学生来说，都不是一蹴而就的，而是必须经历的一个逐步深化的过程，在模型建构过程中，考虑到学生的年龄、经验等多重因素，教师可以降低学习起点，以便让更多的学生参与到模型建构中. 同时，要注意将数学模型建构与学生的经验、生活联系起来，让学生在自主建模实践中增强自身的数学猜想能力、数学分析能力、数学假设能力和数学应用能力. 在这个过程中，教师要积极“让学”，让学生学，千万不能落入传统教师讲解、学生被动听和机械模拟练习的教学窠臼之中.

建构数学模型，有助于促进学生对数学知识的本质理解，有助于发展学生的数学学习能力，包括数学猜想、数学分析和数学验证等能力. 学生通过数学探究，不仅“知其然”，更“知其所以然”. 在这个过程中，学生的数学建模能力、数学创新精神、实践能力以及数学核心素养都将悄然创生.