经历关键步骤理解关键意义——《用字母表示数》教学实践与反思

贾春波

【教学内容】

人教版五年级。

【教学实践与反思】

一、不确定（未知）情况可用字母表示

1.表征对象从确定到不确定（如下图）。

出示问题情境，学生尝试表达，然后依次呈现出一些典型表征方式。

师：（提出关键问题）老师看了同学们的作业后，发现前两幅图大家表示一致：3和5，而第三幅存钱罐的表示却不同，这是为什么？

生：前面的硬币个数确定，是3和5；存钱罐里的是未知、不确定的。

师：看来同学们都认为前两幅图的硬币个数是确定的，可用数表示；而存钱罐的硬币个数无法确定，是未知的，所以大家的表示方法就各不相同。

2.聚焦未知表征的对比。

师：（提出关键问题）存钱罐里用“8”“未知”“x”这三种方法，你欣赏哪一种，为什么？

生：我喜欢第二种，“8”只表示了一种，而用文字写的意思很明白。

生：我选第三种，“8”表示一种，但还有很多可能，用文字写较麻烦，字母较为简单。

生：我也选第三种，“8”是确定的，而存钱罐里的钱是未知的、不确定的，字母可以表示多种情况，又简洁。

师：通过讨论可知，确定的情况用数表示，不确定的情况可用字母表示。

【反思：用字母表示未知量，人教版教材没这个环节，之所以安排，是因为历史发生原理指出，学生应经历“记数→未知→一类”这三个步骤。更为重要的是，从记数到未知的过渡，其关键是表示的对象发生变化，即从“确定”到“不确定”，随之表示的意义也发生变化。确定情况用数来表示，学生已积累较为丰富的经验，但对“不确定情况怎么表示？为什么用字母表示比较好？”等问题知之甚少。实践中用两个对比，让学生思辨其内在原理。对比一：通过圈内确定的硬币数与存钱罐内不确定的硬币数对比。不确定情况下，再用“具体的数”表示，就有其不足之处，即具体数只能表示出一种具体情况，所以要选用其他的方法；对比二：“未知表征”形式的对比。通过比较发现，具体数、文字、字母三种典型的表征方式，每一种都有其优缺点，其中字母因为简洁、又具有不确定性，用来表示未知、不确定情况最为合理。】

二、字母表示一个集合中的任意情况

1.具体与抽象的对比。

师：刚才大家认为，存钱罐里的1元硬币数是未知的、多种情况的，所以用字母来表示，x可以是0个，也能是1个、2个……，最多是200个。（指这个存钱罐最多放的1元硬币数）那用1与x表示存钱罐里的硬币数有什么不同呢？

生：1只能表示一种情况，x能表示存钱罐里所有可能硬币数中的任意一种情况，如0~200中的任意一个数。

2.特殊与一般的对比（如下图）。

师：4与a都可表示小红的年龄，4与a有什么不同？

生：4只表示一年的年龄，a表示任何一年的年龄，也就是从出生到死亡的任何一个年龄。

师：4＋32与 a＋32 都可表示爸爸的年龄，这两个又有什么区别？

生：4＋32只表示爸爸36岁一年的年龄，a＋32则可以表示32岁以上的任何一年年龄。

【反思：从字母表示数意义的“未知量”阶段过渡到“一类量”阶段，其主要的问题是表示“对象”的意义发生“质变”，即从特定量（特殊）到变量（一般）。数只能表示一个特定的情况，字母不仅能表示特定一种情况，还能表示一个集合中任意一个值的量。这是两者的本质区别，也是字母表示数的优势所在，即能一般化的表示一类量。它是从算术思维过渡到代数思维“质”的飞跃的重要标志。在教学中，让学生经历两次“具体数”与“字母”的对比思辨，从而理解字母是表示一个集合中的任意一个数。

实践中，学生对字母表示未知量“x”意义的理解处在不同的水平层次。经过对比、思辨、交流等数学活动，促使学生对字母表示数的意义理解从低水平层次向高水平层次转变，较为深刻的理解字母表示变量的意义，也进一步体会到字母表示数的优越性。也为用字母式表示具体情境中的数量关系（变量），及辩论“4＋32”与“a＋32”的不同，铺垫了理解的基础。】

三、字母式既表示关系又表示数

1.重构“＝”意义，感悟“式”表示数（如下图）。

师：这些算式中“＝”表示的是什么意思？

生：小红年龄＋32等于爸爸的年龄。

师：左边的1+32与右边爸爸的年龄33是相等的。那“1+32”算式可以表示爸爸的岁数吗？

生：可以表示，因为左右相等。

师：那你喜欢用1+32还是喜欢用33来表示爸爸的年龄呢？

生：我喜欢33，因为它很清晰。

生：1+32，能看出爸爸的年龄，还知道比小红大32。

2.迁移比较，感悟“字母式”表示数（如下图）。

师：看数学信息，知道了什么？

生：贾老师比小红大28岁。

师：你是怎么知道的？

生：a＋28，是用小红年龄a加28得到的。

师：这么说，a＋28不仅表示贾老师的年龄，还表示贾老师与小红年龄间的大小关系。那刚才的a＋32又表示了什么呢？

生：a＋32不仅表示了爸爸的年龄，还可看出爸爸比小红大32岁这个关系。

师：根据刚才的经验，想一想“（a＋32）＋30”会是谁的年龄？

生：爷爷岁数，a＋32是爸爸年龄，爷爷比爸爸还要大30岁。

生：只要比爸爸（a＋32）大 30岁的人都有可能。

师：（a＋32）＋30表示了什么意思？

生：表示比爸爸大30岁的岁数，又表示比爸爸大30岁的关系。

【反思：能理解字母式既能表示关系（过程），又能表示对象（结果）是理解字母表示一类量意义的重要的标志。在代数中，如字母式a+32，既表示a与32相加这一个过程操作，又表示为对象、结构，即a+32的结果就是a+32。然而正是这种既表示过程又表示对象的“二重性”特征，给学生造成了主要的理解障碍。它之所以难，不仅仅是因为它本身具有的抽象性，还在于对它的建构，要抵制已有知识经验的强烈负迁移。因为“式”（如 2＋32）算术中，具有操作性的、表示过程的，目的是求结果，学生潜意识中要把2＋32计算为34；而在代数运算中是结构性的，是形式变换，关注结构，注重关系，此时的“式”除了体现过程外，更多是关系结构的形式化。

为突破，先重构“＝”意义，铺垫理解基础。Booth提出“如果学生不能理解两个集合（假定分别含有5个和8个）物件的总数可以写成5+8，那么要他们理解a+b表示了两个集合（分别含有a个和b个）物件的总数就更不可能了。”然要改造学生已有的经验，要结合“＝”意义重构一起进行，因为“＝”在算术中，代表运算得到结果，是具有方向性、程序性的。而在代数中，“＝”代表一种等价关系，因此“＝”左右两边需有同样的大小，没有方向性，具有结构性。先认识到33与1＋32是等价的，都能表示爸爸的年龄，且1＋32还能看出与小红的关系，有了这样的理解基础，迁移到a＋32表示爸爸的年龄就简单多了。

为突破，再类比推理，思辨说理中加深理解。从a＋28中能得到什么信息？在解决中，学生需要拿“a＋28”与“a”进行比较。比较时，先是把a+28看成一个数，与a比较后得出大28岁，则把a＋28理解成了一种关系。然后自然类比到对“a＋32”和“（a＋32）＋30”的理解，在思辨、说理中加深了对字母式既表示关系又表示数的理解与建构。】