《用字母表示数》课堂实录及点评

胡同祥　张艺兰

一、情境引入

活动一：

（出示PPT）《数青蛙儿歌》，一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，扑通一声跳下水；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿……（由学生往下接）。

师：我们把这首歌歌词单独列出来，观察这首歌词里有没有一定的规律呢？

生1：眼睛是青蛙只数的两倍，腿是青蛙只数的四倍。

师：请大家想一下，按照这样接下去我们能把这首歌词补完吗？能唱完吗？

生2：不能。

师：那么有没有办法让它简洁一些？

生（齐声）：可以用字母表示数（引出课题）。

师：现在假设用n来表示青蛙的数量，你来表示下？

生3：n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿。

师：请大家想一下，用字母表示数有什么样的好处？

生4：字母可以代替任何数，具有广泛性和普通性。

师：好，刚才这个同学说到字母具有广泛性和普通性，那么字母n能代表任何数吗？还有没有作用？

生（齐声）：可以找到规律。

师：很好！也就是说，用字母表示数可以体现这道题的规律，那既然用字母表示数有那么多好处，我们就来学习用字母表示数。

点评：老师从学生熟悉的儿歌入手，引入课题，这样，让学生在新知的接受上感到特别适合自己的生活实际，同时为数学化提供了素材。通过教师引导学生阅读情景题，加上老师追问，在追问中自然生成代数式的概念。

二、讲授新课

活动二：

师：回想一下，小学时候用字母表示数学过哪些知识点？

生5：加法交换律a+b=b+a。

师：还有没有其他运算律？

生6：加法结合律。

生7：乘法交换律，乘法结合律。

师：还有乘法分配律，那请大家回想一下还有没有？

生8：还有图形的计算公式。

师：那图形有什么计算公式呢？

生9：面积公式，周长公式。

师：那我们一起来看下有哪些？

（ppt展示）（三角形，正方形，长方形，平行四边形，梯形，并用字母来表示面积）

生10：S=ah/2……（请学生回答如何用字母表示面积公式）。

师：用文字语言表示？

生11：三角形的面积等于底乘高除以2

……

师：用字母表示数，用字母表示面积，这些都属于数学三大语言里的哪一种？

生（齐声）：符号语言

师：用字母表示数，实际就是数学符号语言的基础，我们更应该把它学会学懂。

点评：通过设计对小学知识的回顾，唤醒学生对小学学过的旧知的回忆，让学生在回顾中深刻体会自己主动选择字母表示数的方法，这是符号意识自觉化的进一步提升。

三、巩固训练

活动三：

例题1：为了测试一种皮球的弹跳高度与下落高度之间的关系，通过试验，得到下列一组数据（单位：厘米）：

请观察：

①弹起高度与之下落高度间存在着什么样的规律？

②如果下落的高度为bcm，弹起的高度为acm，请问a和b之间有什么样的关系？

师：通过这个图表发现了什么规律？

生12：下落高度是弹起高度的两倍。

师：换句说法？

生（齐声）：弹起高度是下落高度的二分之一倍。

师：非常好！刚才同学们用文字语言描述了图表的规律，你能用字母表示它的规律吗？

生13：设弹起高度为n，那么下落高度就为2n。

师：如果用式子表示的话，如果用式子来表示，我们能说n=2n吗？显然不能，那么这个地方我们尝试用两个字母表示？假设下落高度是b，弹起高度是a的话，你能否表示出a，b之间的关系？

生14：b=a/2（学生回答错误）。

师：注意下落高度是b，弹起高度是a，请看文字语言是谁是谁的一半？

生（齐声）：弹起高度是下落高度的一半

师：所以应该是a=b/2，如果根据你说的，这个符号语言写成b=a/2，请问文字语言怎么表述？

生15：弹起高度是下落高度的二倍

师：非常好！请大家看，数学中的三大语言都在这道题里面体现了，而且也实现了一些基本的运算。

活动四：

师：出示PPT（如图1）

例题2：正方形①的面积为______；长方形②的面积为____________于是整个图形的面积为_______；又因为大正方形的面积：________；长方形③的面积为_______；正方形④的面积为_________；于是，整个图形的面积为_________ 又因为大正方形的面积为_________；所以可以得到等式_________。

师：怎么用字母来表示①的面积？

生16：a的平方。

师：怎么用字母表述②的面积？

生17：ab。

师：自己完成其他两个没有填完的图形的面积。

生：（自己填图）。

师：现在再来看，这四个图形组成的是一个什么图形？

生（齐声）：正方形。

师：那这个正方形的边长是多少？

生17：a+b。

师：所以我们用整体的眼光来看他这个图形的面积还可以用什么式子来表示？

生（齐声）：a加b的和的平方。

师：大家想，这道题的面积我们用了两种方式表示，一种是边长的平方，一种是把它们分成四块，加起来的面积，那么都是它的面积，我们可以得到一个什么样的数量关系？

生（齐声）：两个式子相等。

师：用这个图形看起来更加的直观，更加形象，因此这是我们之前讲到的数形结合思想。刚才我们从图形中发现规律，用字母表示规律，下面我们来看一下从式子中来发现什么问题。

点评：通过对图表的理解和翻译，将图表语言转化为文本语言，同时会翻译成符号语言，进一步促成符号意识的升华，同时经历“替代”的过程。

活动五：

出示PPT：

例题3：

我们知道：

23=2×10+3

865=8×102+6×10+5

5948=___×103+___×102+___×10+___

若某三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则此三位数可表示为________。

（小组讨论）

师：我请一位同学给我们说一下空格上应该填什么？

生18：第一个空填5，第二个空填9，第三个空填8，第四个空填4

师：非常好，她把这个数字按照上面的规律填出来了，她既然填对了，就说明她在题中发现了规律。那么你们能不能根据这个规律填出其他的数字呢？

生（齐声）：能

师：那么请一位同学说一位数字，另外一位同学填出来。

生19：1354

生20：1乘以10的三次方加上3乘以10的二次方加上5乘以10，再加4

师：现在我们用字母来解释下这个怎么填。假设一个三位数个位数为a，十位数为b，百位数为c，则这个三位数可表示为？哪位同学能非常熟练的填出来？

（学生讨论）

生（齐声）：c乘以10的二次方加b乘以10加a

师：好，他用字母表示了这个数的分解法。

活动六：

师：出示PPT

例题4：

请观察、比较、猜想下列个算式的规律：

[1+2=2×（2+1）2=3]

[1+2+3=3×（3+1）2=6]

[1+2+3+4=4×（4+1）2=10]

[1+2+3+4+5=________=________]

……

1+2+3+…+100=________=________

一般地，有：1+2+3+…+n=________

（请学生讨论，思考）

师：我们现在问一下同学们，从这些符号，这些式子当中，你有没有发现规律？那么请一位同学来说一下。请观察第2个式子，这里的3表示什么意思？

生21：表示末项

师：这里的1表示什么意思？

生22：首项

师：那你明白每一个数字代表什么意思，你用文字语言叙述一下这个式子？

生（齐声）：项数乘以首项加末项的和除以2

师：既然发现规律了，那下面的空该怎么填？

（请同学上黑板填写，填写正确）

师：我们可不可以用简单的方法把它表述出来？

生（齐声）：1加2加3一直加到n，等于n乘以n加1的和除以2

师：像这样表示它具有什么性？

生（齐声）：具有代表性

师：所以就从特殊的例子，转化成了具有普遍性一般性的字母表示这个式子，这个个是我们数学中一个重要的思想，就是特殊到一般的思想。

（给出变式2+4+6+.......+2n=______）

师：请大家想一想这些空格应该怎么填？请在练习本上写出来。

生（齐声）：二分之n乘以2n加2的和

师：请问你这个式子的得来是什么理由？

生23：先发现它们的项数有n个，然后在用它们的末项加首项除以2

师：也就是我们刚才发现的那个公式是吗？

生（齐声）：是

师：还有没有其他方法？

生（齐声）：方法就是，先将2+4+6......，先把它全部除以2，变成1+2+3+4……

师：我们可不可以简单来写2（1+2+3+4+.......n），那么变成这个式子的前面我们可以写成什么？

生（齐声）：2×1+2×2+2×3+2×4+……+2×n

师：现在又怎么办？

生24：把2提出来？

师：用到什么知识？

生25：乘法分配律？

师：是乘法分配律，还是乘法分配律的逆运算？

生26：逆运算

师：很好，我们把2提出来写成2（1+2+3+4+……n），因此下面就变成了什么形式？

生（齐声）：二乘以2分之n乘n加1的和

师：所以结果是什么？

生（齐声）：就等于n（n+1）

师：如果是3+6+9+12+……+3n=，那么就可以直接等于这个公式的几倍？

生（齐声）：3倍

活动七：

点评：通过对式子的分析和理解，通过师生的“经历”，让学生感受归纳思想，体味从特殊到一般的思想，同时感受“抽象”的本质，这种本质不仅是字母“代替”文字，“代替”数字的过程，而且更是具体数字符号化和形式化的抽象过程，更是静态数字一般化，动态化的过程。它是人类认识从算术到代数的一次飞跃。这时，字母既可以表示已知量，又可以表示未知量，还可以表示这个数量在不断的运动变化中。

四、小结与感悟

师：通过这节课的学习，同学们有哪些收获和感悟呢？

生：（自由谈）

总评：本课例是一节思想方法教学课，围绕核心概念（符号意识）的培养进行教学设计。教学流程经历了四个环节：（1）创设情境，导入新知；（2）联系尝试，体验新知；（3）合作交流，加深理解；（4）自主探究，拓展延伸。整个教学过程程序清楚，脉络清晰。通过对旧知的激活，找到进一步探讨“用字母表示数”这一新知识的生长点。在观察、试验、类比、推断等活动中，进一步提升了学生的符号意识。在应用中，让学生深刻地体会“用字母表示数”的简洁性和优越性。在小结、反思中梳理知识网络，体会数学思考的过程和方法，帮助学生更好地进行知识建构、认知建构和意义建构，梳理了符号意识，发展了抽象思维。具体表现在以下几方面的特点：

（一）重视情境建构，充分体现了意义建构的重要作用

上课伊始，从学生熟悉的儿歌入手，创设教学情境，在情境中轻松的引入课题。这样一种数学化的方式，教学策略实施显得很自然，学生感觉到很亲切，激发了学习兴趣，调动了学习的积极性，学生们愿意进一步进行探讨和研究。这种情境建构的方式，为学习“用字母表示数“的意义建构起到了促进作用。

（二）重视合作学习，充分体现了学习共同体的作用和力量

在整个教学设计的实施过程中，充分展示了以“学“为中心的课堂特征：教学行为要从“以教为中心”向“以学为中心”转移，从以“学科逻辑体系”为中心转向“以学生发展为本”，从关注“教得完整”“学得完整”走向“发展得完整”，教学要满足学生个性的发展需要，应从因材施教走向因需施教。教学是指导学生通过自己的学习活动获得知识、经验、方法和技能，形成可持续发展的有效本领。具体表现在：首先，学生尝试自主独立学习，在独立学习有困难的基础上，教师要引导学生阅读、思考和探究，帮助学生学会阅读、思考、探究的方法，养成会阅读、善思考、愿探究的学习习惯。其次，在学生独立阅读、思考、尝试问题等解决等获得感受、想法时，充分挖掘学生的合作共同体的学习力量，采取组内合作，再在全班交流的分享式学习模式。教师采取巡视各小组，发现好的事例、典型的错误、存在的缺憾等，在全班交流时，对各组中出现的典型错误进行分析，让不同思路、不同的方法加以展示和碰撞，达成经验共享的效果。

（三）重视学生的认知规律，做到了认识问题与问题解决的完美结合

学生在小学就已经接触了用字母表示数，用字母表示数及数量关系，用字母表示未知量（简易方程），运算律，图形的周长、面积（体积）公式等，但这些都留在初步的符号意识，有一点用字母“代替”数的意识。新课标在7—9年级学生提出建立一个核心概念的要求，就是建立符号意识。因此，在整个教学活动中，通过情景引入，对学生学过的一些知识进行回顾。在此基础上，让学生观察图表，分析量与量之间的关系。通过对数学中的“三语言“（文字语言、符号语言、图表语言）之间的转化的反复训练，充分挖掘学生认知能力，进行了自然的过渡，在表达中感悟“用字母表示数”的简洁性。在引导学生自我小结、试验、反思的过程中，经历用含字母的式子表示数和数量关系（或规律）的过程，进一步体会用字母表示数的优越性，提升用字母表示数的自觉性。这一过程实际上就是用字母表示数抽象程度升华的过程。

（四）重视再现数学教学是数学活动的教学的实践价值

数学教学是数学活动的教学，表现在：除了是数学知识的教学以外，更关键的是数学思想和方法的教学。在数学知识和方法的教学过程中，通过教师有效的引路和学生自觉的找路，在师生双边活动的基础上，学生在活动中探索用字母表示数的基本知识，同时也从中体悟归纳、猜想、验证的数学思想和方法，这样一来，始终坚守数学学习除了知识的掌握，更重要的是感悟其中的思想和方法，为今后的学习做了一些积累。只有这样，学生的数学学科素养才得到具体的落实。

（责任编辑：张华伟）