数量表征理论与小学数学教学

赵 晨 吴梦迪

表征是人们头脑中再现事物和认识事物的方式，数量表征就是数量概念在个体头脑中的再现方式，即个体头脑中以何种方式理解数量概念及其关系。数量表征的过程就是个体头脑内部对数量刺激的解释、表达和操作的过程。

美国学者Siegler及其团队在研究中发现，儿童早期数量表征的表现与其后来的数学成就密切相关。因此，在小学阶段甚至幼儿时期培养儿童数量表征能力显得至关重要。这就要求小学数学教师充分了解儿童数量表征发展的特点，并在平时的数学教学中积极采取相应方法促进儿童数量表征的发展。

一、Siegler数量表征理论

Siegler是美国儿童数量认知科学研究的代表性人物，其研究理论主要包含了心理数字线以及儿童数量表征的发展阶段等。

1.心理数字线。

心理数字线，即心理数轴，它是用来描绘儿童数量表征发展过程的工具。在儿童数量表征的研究中，研究者们将儿童内心看不见的心理数字线显性化，转化成可见的、可分析的真实数字线，并通过“数字线估计”任务，来了解儿童数量表征的发展情况。

在“数字线估计”任务中，研究者向儿童呈现一系列数字线，在数字线两端分别标注有恒定的数字（例如0和100），并要求儿童根据出示的另一数字（例如35）在数字线上标注出对应的位置（每条数字线标注一个数字）。根据儿童在数字线上标注的数字位置，研究者建立出儿童数量估计特点的模型，来描述儿童数量表征的发展特点。

研究发现，儿童的心理数字线是一个动态的、不断变化的结构，即随着儿童数量表征的发展，儿童的心理数字线也在不断调整，逐渐趋于精确。

2.数量表征阶段。

儿童从出生到成熟，其数量表征的发展分为如下四个阶段∶第一阶段，形成越来越精确的非符号数量表征；第二阶段，将非符号数量表征与符号数量表征联系起来；第三阶段，扩展可精确表征的整数范围（从精确表征小整数到精确表征大整数）；第四阶段，精确表征整数以外的数，特别是分数、小数和负数。从心理数字线角度看，即随着儿童年龄的增长，心理数字线慢慢向右延伸以表征更大的整数，向左延伸以表征负数，后又扩展到对分数和小数等的符号表征。小学阶段儿童主要经历了后三个阶段。

（1）从非符号数量表征到符号数量表征。

儿童的数量表征从形式上可分为非符号表征和符号表征两种。比如，对于数量“3”的表征可以是非符号形式的，如三只兔子、三种声音等；也可以是符号形式的，如阿拉伯数字“3”及其他各种形式的数词“三”“three”等。

儿童在开始学习数字之前，就能够以非符号的方式来表征数字的大小，该阶段的表征不依赖于符号知识，是一种非符号表征。对该阶段儿童数量表征的研究，主要是通过让儿童识别点阵的方式。该阶段儿童非符号数量表征的精确度随着年龄的增长不断提高。比如6个月的婴儿能分辨以2：1的比例呈现的点阵（如18个点和9个点）；而6岁儿童能区分6：5的点阵（如18个点和15个点）。

儿童的符号数量表征则是在其开始学习数字符号之后发展起来的，幼儿及小学低年级儿童处于掌握符号系统的初期阶段。在初期阶段，儿童对于整数数量的表征呈现出两种表征形式，即对小数（1至3或4的自然数）的精确表征和对大数（大于3或4的自然数）的近似表征。

（2）从小数量精确表征扩展到大数量精确表征。

在符号数量表征的发展中，儿童对于整数的精确表征范围逐渐从小数量的精确表征扩展到大数量的精确表征。换句话说，儿童对于大数量（大于3或4的自然数）的表征逐渐由近似表征转向精确表征。

儿童在符号数量表征中，对于小数量间的心理距离比大数量间的心理距离大得多。比如，在0~10的数字线上标注数字时，3岁和4岁儿童估计的小数量间的距离就比大数量间的距离更大，如认为数字“2”和“3”之间的距离比“7”和“8”之间的距离大，这种估计模式称为“对数模型”；而5岁和6岁的儿童则能均等地估计这两对数字间的距离，这种估计模式称为“线性模型”。

研究发现，在0~100范围内，5岁和6岁儿童的估计模式呈对数增长，而7岁和8岁儿童呈线性增长。在0~1000范围内，7岁和8岁儿童估计模式呈对数增长，而9岁和10岁儿童呈线性增长。因此，儿童数量表征的精确程度受到儿童年龄的影响。随着儿童年龄的增长，儿童精确表征整数的范围逐渐从小数量扩展到大数量。

（3）从整数符号表征扩展到分数符号表征。

儿童对数量的符号表征是从整数表征开始的，随着年龄和学习经验的增长，表征范围逐渐从整数表征扩展到分数表征、小数表征。当然，这与儿童数学内容学习的顺序也是一致的——先学习整数，再学习分数等。

儿童的分数数量表征与整数数量表征之间有很多相似之处。随着年龄的增长，儿童的分数数量表征也是由对数表征向线性表征发展，并且精确性会逐渐增强。Siegler等发现，在0～1数字线估计任务上，初中低年级学生分数表征的准确性显著高于小学高年级学生，且前者表征的线性程度更好。这在一定程度上说明，随着儿童对数字符号学习及理解的不断深入，儿童的分数数量表征随着年龄的增长也在不断发展。

但是，分数与整数的符号表征发展之间依然存在明显差异。首先，儿童分数符号表征的发展比整数符号表征的发展要晚很多。另外，儿童的分数表征在精确性上不及整数表征，很难达到精确表征水平。

二、数量表征理论对小学数学教学的启示

儿童数量表征的发展具有阶段性，且早期儿童在数量表征上的表现与其之后的数学学习密切相关。因此，小学数学教师在教学中应当关注儿童的数量表征，采取适当的教学策略，促进儿童数量表征的发展，这对于儿童数学学习具有重要的意义。

1.帮助儿童建立对大数的精确表征。

早期儿童可以形成对小数的精确表征和对大数的近似表征，而对于大数的精确表征往往存在诸多困难。在教学过程中，教师很难认识到儿童表征数量的心理过程，这是不利于儿童数量表征的发展的。西方利用数字线估计任务来测量儿童数量表征的特点，则能够将儿童的心理数字线显性化。结合我国的教学实际，“数轴”是一个很好的表征工具和教学手段。

利用“数轴”，儿童能够从数轴的方向上了解数的大小关系，右边的数字比左边的数字大；数轴的单位长度表示每两个相邻整数之间的距离都是相等的。教师利用数轴帮助儿童进行对大数的表征，有利于儿童对数量大小的主观感受及其数量表征由近似走向精确，比如，儿童会认识到3513和3518之间的距离与1和6之间的距离是一样大的。

然而，目前在我国教学实践中，教师对数轴的使用还不够充分，很多地区到五年级及以后才真正开始引入数轴。因此，小学教师应该加强对数轴功能的开发和使用，在小学低年级阶段就可以利用数轴带领儿童进行相关大数的估计和表征。

此外，Siegler等人认为“反馈”是促使儿童对大数量精确表征的重要因素。反馈对儿童的数量表征具有调节作用，经过教师的反馈，儿童的数量表征水平会产生明显转变。而且不只是被反馈的几个数字发生了转变，反馈对于整个大范围内的数字表征都产生了显著影响。

因此，小学数学教师需要在关注儿童数量表征的基础上，充分利用数轴，帮助儿童建立对大数量的精确表征。并及时对儿童在数轴上的标数活动进行反馈，纠正偏差错误，给予解释性和针对性指导，从而使得儿童的心理数字线不断调整，逐步精确。

2.帮助儿童建立分数符号表征。

分数是小学阶段数学学习中的一个重要部分，一般从三、四年级开始正式学习分数。然而，相对于整数表征，儿童对分数的表征更为困难，很多儿童很难真正理解分数所代表的数量意义。因此，帮助儿童建立对分数的表征是当前教学的一个重点和难点。

传统的分数教学强调整体与部分的关系以及分数的运算法则，例如把一个圆平均分成四份，其中的一份就是它的四分之一。而Fuchs等开发的四年级“挑战分数”课程研究发现，通过对分数大小的比较、排序，以及在数轴上标识分数等活动，能更有效地促进儿童分数数量表征的发展。

因此，在分数的教学中，小学教师仍然可以借助数轴帮助儿童建立对分数的符号表征。通过在数轴上表示分数，使儿童对分数的概念、大小关系等有直观的感受，并进一步明确整数和分数的联系与区别。整数和分数都能在数轴上表示，分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，整数也可以看成是分母为1的分数等。

3.加强数量表征经验，提高数量表征能力。

Siegler和MuYan于2008年进行的跨文化研究发现，相较于美国儿童，中国儿童数字线估计的准确性更高。其原因可能在于中国儿童的数字学习经验较多。中国教师和家长普遍重视儿童数学运算能力的培养，在一年级时中国儿童就已有100以内数的表示、数的大小比较、数的运算等较为丰富的数量学习经验，这在一定程度上促进了儿童数量表征能力的发展。不仅如此，我国学者陈英和等人也发现，儿童数数水平和数概念水平越高，反馈的促进作用越大。可见，儿童数学活动经验是影响儿童数量表征的一个重要因素。

为了加强儿童数量表征的活动经验，在小学阶段尤其是低年级，教师可以结合儿童思维表征的特点，适当地在课堂中以小组活动形式开展数字棋盘游戏并给予反馈。具有线性排列、连续编号的相同大小空间的棋盘游戏，可以提供儿童关于数量表征的动觉、听觉和视觉的感官经验，加强儿童数字技能的练习，特别是计数和数字识别等。因此，线性棋盘游戏的有效利用，将对我国儿童早期数量表征能力的提升具有促进作用。