培养直观想象核心素养的HPM视角

【摘要】直观想象是修订中的普通高中数学课程标准专家组提出的六大核心素养之一，而作为一线教师则面临着如何在课堂教学实践中落实到位的问题.从“数学史与数学教育”（HPM）的视角去设计和实践不失为一种好的选择，尤其是借鉴古代数学家的思想与智慧，应用“图说一体”、“几何模型”和“经典反例”等实例来提高学生从直观想象到推理论证和理解的能力，以逐渐培养学生的直观想象素养.

【关键词】直观想象；图说一体；几何模型

修订中的普通高中数学课程标准专家组提出了六大核心素养.作为工作在第一线的高中数学教师，该如何在课堂教学的实践中使这些核心素养落地呢？当然，在具体的落实措施中会仁者见仁，智者见智.本文仅对“直观想象”核心素养的培养，从HPM（数学史与数学教育）的角度来谈谈.

1直观想象的涵义

美国著名数学教育家M·克莱因说：“数学的直观就是对概念、证明的直接把握”；德国哲学家康德也认为“缺乏直观的概念是盲目的”；著名数学家希尔伯特则说得更明白：“要帮助我们的学生学会用图形来描述和刻画问题，学会用图形去发现解决问题的思路”.可见，无论是数学家还是哲学家或是教育家，都认为直观想象是认识事物的一种基本方式，学生要理解掌握必须先要有直观认识，尤其是借助几何直观来认识.

高中数学课程标准修订组对直观想象的定义是这样的：借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.

修订中的课标说明，直观想象更多的是借助几何直观和空间观念去感知、理解、探索和解决数学问题.因此，结合高中数学教材中的内容，借鉴历史上数学家们的一些理论或方法，可以更好地培养学生的直观想象能力，从而使该核心素养落实到位.

2培养直观想象素养的HPM视角

2.1“图说一体”：从直观到想象

所谓“图说一体”，就是指利用几何图形进行某种数学方法的论说、某个数学命题的证明或数学公式的推导，也称之为“无字证明”.其实该法在我国古代和古希腊都有其历史渊源.比如，我国古代数学家在对勾股定理证明时所用的“出入相补”原理，古希腊的“形数理论”等等，都是“图说一体”的典型例子[1].

应用“图说一体”的无字证明，正好与直观想象素养的培养相吻合.因为首先给出图形可让学生有一个直观认识，然后通过图形的特征、规律等进行简单推理想象，最后得出一个结论或公式.

案例1毕达哥拉斯学派的“形数理论”应用[2].

人教版高中数学教材《必修5》第二章《数列》的21节，教材一开始就介绍了毕达哥拉斯学派的“形数理论”：“三角形数”与“正方形数”（如图1、2）.

图1图2这是学生首次遇到，让他们先有一个直观感知：可以用点摆成某种形状来构造一系列数.当讲到23节《等差数列的前n项和》时，教师可让学生作进一步想象，用“形数理论”来推导和理解数学方法.如图3，在三角形数旁边补一个倒立的三角形数，就推导出了一次幂和公式：1+2+3+…+n=n（n+1）2，而且还让学生直观地理解了“倒序相加法”.同样，正方形数从一点出发，按图4所示的方法划分出3，5，7，…，2n-1，就得出了前n个连续正奇数和公式：“1+3+5+…+（2n-1）=n2”.图3图4如果继续挖掘“形数理论”，还可进一步提升直观想象的能力.在讲到25节的《等比数列的前n项和》时，教材上有一道例题3，需要用到二次幂和的公式：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.由于教材上没有证明，学生不明白从何而来，此时可应用三角形数的形式来推导.如图5-1，首先画一个三角形数，接着把每个点扩大为一个小圆，然后在每个小圆里按规律填上数字：第1行的小圆填1，第2行的所有小圆都填2，…，第n行的所有小圆都填n，再将这个三角形按顺时针方向连续旋转120°两次，分别得到如图52、53的形状，最后将这三个三角形对应位置上的小圆里的数相加，就得到第四个三角形（图54），于是就可推导出二次幂和公式.

图51图52图53图54由于前三个三角形的每一个小圆内的数之和正好是：12+22+…+n2，而第四个三角形中所有小圆内的数之和恰好等于前三个三角形的所有数之和，于是可得到等式：

3（12+22+…n2）=12n（n+1）（2n+1），

所以得公式：12+22+…n2=16n（n+1）（2n+1）.

毕氏学派的“形数理论”，贯穿了《数列》的整一章知识.从最初第一节的介绍让学生产生直观认知开始，一直到最后解决了一些公式的推导、理解及方法，整个过程正好吻合直观想象素养的培养过程：让学生在脑中建立起了形与数的联系，既建构了公式的直观模型，又拓展了学生的思维弹性和想象力.

2.2几何模型：从直观到论证

古代数学家构造几何模型来推导、证明或解题是很正常的做法.比如，古希腊欧几里得的《几何原本》中解一元二次方程就是通过构造几何图形来解的[3].

在《几何原本》卷2中的命题5，就解决了古巴比伦时期的一类二次方程：x2+c=bx.

图6方法如下：先把此方程变形为：x（b-x）=c，也就是说把长度是b的线段分割成兩部分x和（b-x），使得构成的矩形面积为已知数c.即构造图6，使AB=b，D为所求的点，而DB=x，假设已求得D，则AD=b-x.再作矩形AKND，使得AK=BD=x，设S矩形AN=c.取AB的中点C，分别在DB和CB上作正方形DM和CF.显然，K、N、M共线，B、N、E共线.

由于S矩形CN=S矩形NF，故S矩形CM=S矩形DF，因此有S矩形AL=S矩形DF，两边同时加S矩形CN，则有等式：endprint

S矩形AN=S矩尺形CLNGFB=c，因为S正方形LG=S正方形CF-S矩尺形CLNGFB=（b2）2-c，所以得CD=（b2）2-c，于是有：x=DB=CB-CD=b2-（b2）2-c，AD=b2+（b2）2-c，此即为方程的两个根.

欧几里得这种构造几何图形来解方程的方法，对后来的欧洲数学家解一元二次方程起着十分重要的影响.可以说在数学史上，应用几何法来解决代数问题流行了很长的时间，因为在当时的数学家们看来，用几何法解方程才更具直观性.

当然，现在象解方程这类题型不必再用几何法了，但可借鉴古人的智慧和思想，适当构造一些“几何模型”来帮助学生直观地理解公式或定理，继而可以进一步想象或推导也是值得提倡的，而且对培养直观想象素养也是大有益处的.

案例2基本不等式的几何模型[4].

人教版《必修5》第三章的34节《基本不等式》，教材一开始就给出了“勾股弦图”（图7）来推出不等式：“a2+b2≥2ab”，然后用代数法得出基本不等式：ab≤a+b2，接着又给出了“半圆模型”（图8）来几何解释该不等式.其实这个“半圆模型”图7图8也可作为基本不等式的几何直观模型.有了教材上这两个几何模型，老师也可进一步引导学生探究其他的几何模型.比如受比较面积大小而得出不等式的勾股弦图启发，可构造出“等腰直角三角形模型”.如图9，构造两个等腰直角△ACB与△ADE，不妨设AD=DE=a，AC=BC=b，则

圖9图10有：S△ACB=12b，S△ADE=12a，S矩形ACFD=ab.由图显然有，S矩形ACFD

这些几何模型的构造，不仅可以让学生进一步理解和解释基本不等式，也可以继续加强形与数的联系，提高学生的直观想象能力，使他们逐步能达到解决问题的创新水平.

2.3反例建构：从直观到认同

在数学发展史上，也有过许多谬论或错误，如果要认清其本质或纠正其错误，有时往往只需要一个直观的反例就足够了，特别是在一些定义或定理的理解上.

案例3棱柱的欧氏定义反例[5].

图11人教版《必修2》的第一章《空间几何体》的11节，一开始就讲到了棱柱的定义，随后老师往往会让学生判断：“有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱”是否正确.学生基本上都认为这句话是正确的，这时教师会给出一个反例（图11）来说明此话为假.但问题是这个反例有缺陷，学生有可能会提出质疑，因为教材上的多面体一般是指凸的，而此反例是凹多面体，学生很可能不认同.此时，教师必须给出一个凸的反例才能让学生心服口服.

其实要判断的这句话是有历史背景的，它就是欧几里得在《几何原本》中对棱柱下的定义，史称棱柱的“欧氏定义”.在数学史上，此定义经历了二千多年，许许多多数学家都认为是正确的，原因就是找不到一个凸的反例.而那个凹的反例也许欧几里得本人也知道，但由于前提是凸多面体，故已排除在外了.正因为如此，欧氏定义错误了二千多年，直到1916年，美国数学家斯顿、米利斯和郝克斯等人给出了欧氏定义凸的反例（见图12），数学家们才相信欧氏定义是错误的，才逐渐完善成教材上的定义.由此可见，一个好的直观反例能认清某个定义或定理的正确性.

图12图13现在教师在讲棱柱的欧氏定义反例时，可用图13来说明，让学生通过这个凸的经典反例的直观认识来深刻理解棱柱的正确定义.由此可见，直观的反例建构可得到学生对知识的普遍认同，否则有时会难于描述清楚.

3结语

从HPM的视角去落实核心素养，可以最大限度地利用古人的智慧，让他们的博大精深的数学思想为现在的学生所用.上述几个案例，也仅仅是在培养“直观想象”素养落地实践方面的抛砖引玉，面对浩翰无边的数学史料，实属沧海一粟.愿中学一线教师携手共进，从数学史这块宝藏中挖掘出更多为落实核心素养而用的材料.

参考文献

[1] 汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学技术出版社，2017，5.

[2] 沈金兴.毕氏学派的“形数理论”及应用[J].数学通讯，2013（10）：13.

[3]沈金兴.《几何原本》中的命题应用：从历史到高考[J].数学通讯，2015（8）：6365.

[4] 沈金兴.“形神兼备”之均值不等式欣赏.中学数学教学参考[J].2015（9）：710.

[5]沈金兴.数学史视角下的棱柱定义“学习单”设计[J].数学教学，2016（11）：4548.

作者简介沈金兴（1971—），男，中学数学高级教师，大市级数学名师，硕士.现主要从事数学史与数学教育关系的研究，已在各类中学数学杂志上发表论文近50篇.