高中函数学习中直观想象素养的培育探究

张先军

摘 要：函数是高中数学的难点，需要直观想象作为支撑.在教学实践中，教师应创设直观的情境，利用直观的教具，借助多媒体技术手段，呈现直观的事物刺激学生的想象，培养学生数形结合的思想，提升学生直观想象的素养.

关键词：函数；直观想象；数形结合

函数是高中数学中最重要的内容，学生感觉比较难，主要的原因是函数的内容比较抽象，逻辑性比较强，需要学生有一定的抽象思维能力.直观想象是培养抽象思维能力最好的方式，直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程，包括借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律，利用图形分析数学问题，建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.根据函数知识特点，在学习过程中，教师应该善于发现和设计可供学生直观想象的情景，精心设计问题，引导学生观察与思考，在教学活动经历中积累自己的“直观想象”的经验，培育学生直观想象素养.

一、创设直观教学情境 激化学生课堂学习热情

直观想象素养中，有两个关键词——直观和想象，直观是感性的，是信息输入的前提，而想象是理性的，是信息加工的结果.教师在教学中创设直观教学情境，以触动学生“最近发展区”，让学生在直观的情境中感知或类比获取新知，能激化学生课堂学习热情，起到良好的教学效果.

（一）运用形象资料展示直观感知

对于刚进入高中的学生来说，函数是抽象的，不难发现，教材中许多章节不仅有文字的叙述，还有图片说明，比如函数概念一节中，教材给出两个实例，都配以图片，第一张图片直观呈现给学生炮弹发射的场面，方便学生理解炮弹距地面高度随时间变化的实际情境，第二张图片给出南极上空臭氧层空洞面积的变化曲线图，比文字或列表更加直觀，给学生提供了直观想象的情境，让学生能够在直观想象的基础上建构数学知识.教材这样的设计，就是运用形象的资料给学生直观的感受，让学生能直接从直观的图形中获取信息.教师在教学实践中创设直观的教学情境，能让学生迅速进入直观想象的学习状态.

（二）利用形象资料类比获取新知

类比本身就具备良好的教学作用，这种教学方式是通过旧知的呈现，类比学习新知，旧知是直观，通过想象获取新知，因为学生已经掌握类似的知识，学习过程中学生完全可以用类比的方法去猜想、对比、证明来获得新知识，这种方式起到事半功倍的效果.函数学习中很多知识都可以使用类比，比如函数性质中单调递增与单调递减的类比，奇函数与偶函数的类比，最值中最大值与最小值的类比，指数函数与对数函数的类比等，将两个知识点放在一起对比，用直观想象分析它们相似之处，有利于学生接受新知，更有利于学生对知识的区分和记忆.

二、鼓励学生动手实践 激发学生直观感受能力

心理学研究表明，学生在形成数学概念的最初阶段，都必须借助于感觉先把对具体事物的观察和接触转化成与具体事物无关的感性认识.单凭在黑板上用图形文字表述缺少直观感，对一些较抽象的、与函数有关的问题，可鼓励学生动手实践，自行操作演示，使学生能更好地完成从感性认识到理性认识的飞跃.图形是一种视觉符号，与表象形成密切相关，学生在操作实践中可通过不断地对比、类比与转换来培养想象的能力.

例题：两块相同的正三角形纸片，其中一块剪拼成一个正三棱锥，另一块剪拼成一个三棱柱模型，使得它们的全面积与原三角形的面积相等.请设计一种剪拼方法，并判断所设计两种几何体体积的大小.

解析：本题可基于边长为变量，将设计的几何体体积用边长的函数关系式表示，即可比较得出两个几何体体积的大小.

为方便计算，如图1，将正三棱锥设计为正四面体，设边长为[x]，则全面积[S（x）=3x2]，得[S底（x）=3x24]，[h锥（x）=63x]；设计正三棱柱的底面边长也为[x]，在正三角形的三个角上剪出与四边形[ADEF]全等的三个四边形，其中[AD=AF=x2，][DE=FE，∠ADE=∠AFE=90°]，余下的部分按虚线折起，成为无上底的正三棱柱，而剪下的三个四边形恰好拼成正三棱柱的上底，三棱柱的高[h柱（x）=x2tan30°=36x]，则三棱锥的体积[V锥（x）=212x3，][三棱柱的体积V柱（x）=18x3]，故[V锥

本例题具有一定开放性，设计的方案不同，结果就不一样，如果学生能自制三角形的纸片，自己动手尝试，去寻求合理的设计方案，自然会发现一些规律，更容易想到以上的方法，而不是拘泥于烦琐的计算.有了设计方案后，就能更方便通过建立函数关系式来求解.如果教师让学生将动手实践的过程与方法用语言表达出来，就内化了知识，既培养了学生的创新意识，也锻炼了学生动手能力，进一步培养了学生直观想象能力.

三、运用信息技术手段 激励学生探究问题意识

教师在教学中应正确采用多媒体手段辅助教学.多媒体集文本、图像、动画、音视频于一体，展示的内容丰富多彩，现在教师大多都利用多媒体呈现教学信息，组织教学活动，但是如果只是单纯把现成的信息放电影似的强加到学生的大脑里，反而让学生的想象力和思考能力受到抑制，学生只能被动接受大量信息，没有思考的时间与空间.如何能正确使用多媒体来辅助教学呢？教师应该把多媒体的展示和学生的动态想象相结合，促进学生主动想象和思考.

比如，在正弦函数的图象与性质的教学中，三角函数的图象的生成可借助多媒体来完成，通过多媒体展示描点作图的过程，学生发现点取得越多，图象的趋势愈加清晰，逐步形成“平滑”的图象，驱动学生在大脑中构建正弦函数的图象，这就是基于已有直观图象进一步想象的过程，经历动态想象后，学生的经验不会仅仅停留在浅层次的感知层面，学生在教师的引导下展开想象，头脑中逐步形成清晰的形象，直观想象能力就在想象过程中得到培养.在学生以后五点法作图时，就不会弄错图象的走势.多媒体在本节课的教学中不仅提高教学的效率，而且对于直观想象能力较为薄弱的学生来说，是一种辅助数学思维构建的策略，是学生思维对表象的加工，也是直观想象素养培育的过程.

四、注重数形结合方法 激启学生多元思考问题

函数具有双重性，既有“数”的特征，也有“形”的特征，注重运用数形结合，激启学生对问题的多元思考，使复杂问题形象化、简单化，解题思路便豁然开朗.

（一）形中觅数，数中构形

例题：已知二次函数[y=ax2+bx+c（a≠0）]的图象如图2所示，则下列结论正确的是______.

①[b2-4ac>0]；②[abc>0]；③[2a+b>0]；④[9a+3b+c<0]；⑤[8a+c>0]

解析：引导学生形中觅数，分析图象，通过对称轴、特殊点等角度从图象中读取有效信息解决问题.

再比如2017年浙江高考第5题：若函数[f（x）=x2+ax+b]在区间[[0，1]]上的最大值是[M]，最小值是[m]，则[M-m]（ ）

A.与[a]有关，且与[b]有关 B.与[a]有关，但与[b]无关

C.与[a]无关，且与[b]无关 D.与[a]无关，但与[b]有关

解析：结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下[M-m]的取值与[a，b]的关系，综合可得答案.但若进一步揭示本质，函数[f（x）=x2+ax+b]的二次项系数为1，它决定了函数图象的开口和大小，而参数[a，b]决定了图象的位置，改变[a]的值，图象左右平移，改变[b]的值，图象上下平移，[M-m]是区间[0，1]上的最大值与最小值之差，不受图象上下平移的影响，故选B.

该题形式新颖，但是考查内容常规，对学生科学思维的要求比较高，数中构形，直击要点，便一目了然.平时教学中教师应注重科学思想与方法的培养，提升学生的数学核心素养.

（二）灵活应用数形结合思想解题

“数形结合”就是把数学问题中的运算、数量关系与图象结合起来进行思考，从而使得“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美统一起来，突破思维定式，数形相互滲透，培养思维灵活性.

例题：证明：函数[f（x）=|log2x|-（12）x]在[（0，+∞）]上恰好有两个零点[x1，x2]且[x1x2<1].

解析：通过解对应方程的根来判断是很困难的，用数形结合的方法，问题转化为通过判断函数[g（x）=|log2x|]与函数[h（x）=（12）x]交点的情况来判断函数零点的问题就直观得多了.如图3，可判断函数在[（0，+∞）]上恰好有两个零点[x1，x2]，从图象无法看出[x1x2<1]，故根据图象特点，过[A]作[x]轴的平行线，与函数[g（x）=|log2x|]交于点[C]，若C点横坐标为[x3，]则有[|log2x1|=|log2x3|]，所以[log2x1x3=0]，即[x1x3=1]，又[x2

数形结合思想在以数量关系分析图象的性质或者以图形的性质表现数量关系变化中得到很好的体现，即在解决函数问题时我们可以运用数和形之间的相互联系、相互转化、相互证明和相互补充来更准确理解题目含义，把握解题思路，培养学生形成数形结合的思考逻辑和解题思维.

五、加强形象思维训练 激活学生灵动思维方式

（一）加强作图训练，把抽象问题形象化

图形化是形象化教学的重要手段，利用图象的直观性大大简化了学生对数学抽象问题的理解与掌握.

例题：若函数[f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）]的图象关于[x=-2]对称，则函数[f（x）]的最大值为_________.

解析：此题常规的做法为先求得函数[f（x）]的解析式，再用配方法去求最值，难度较大，大多数学生无法顺利完成.若能应用直观想象的思维方式，问题可以巧妙解决.

由解析式可知，[f（-1）=f（1）=0]，函数关于[x=-2]对称，直观想象函数图象特点可知，[f（-3）=f（-5）=0]，故[f（x）=-（x+5）（x+3）（x+1）（x-1）]，若用换元，令[x+2=t]，则[f（x）=f（t-2）=][-（t+3）（t+1）（t-1）（t-3）=-t4+10t2-9]，当[t2=5]时，[f（x）]的最大值为16.

由直观想象可知，此处的换元，是函数水平方向的平移，使得函数图象对称性更明确，计算更加便捷.

（二）注重形象储备，把形象问题模型化

问题模型化是数学核心素养的重要内涵，是指通过模型的构建将问题转化，最终使问题得以解决的解题策略与思想，模型化的前提是通过直观想象，对一些问题模式进行识别，教师应该注重引导学生形象化问题的储备、积累，建立模型后就能快速探明问题的方向，有效简化问题求解的途径.

例题：设函数[f（x）=ex-ax2-x-1]，若对任意[x≥0]，[f（x）≥0]，求[a]的取值范围.

解析：对于[f（x）=ex-ax2-x-1]有[f（0）=0]，又因为[f（x）≥0]，直观想象函数在[x=0]右侧附近的图象，应有[f'（x）≥0]，又[f'（x）=ex-2ax-1]，[f'（0）=0]，同理，直观想象函数[y=f'（x）]在[x=0]右侧附近图象，应有[f'（f'（x））≥0]，即[f'（f'（x））=ex-2a≥0， a≤ex2]对[x=0]右侧附近成立，从而[a≤12].有了这样的判断后，我们可以将问题分成[a≤12]和[a>12]两种情况研究.

①当[a≤12]，且[x≥0]时[f'（f'（x））≥0]，所以[f'（x）=ex-2ax-1]是增函数，由[f'（0）=0]知，[f'（x）≥0]对任意的[x≥0]恒成立，所以[f（x）=ex-ax2-x-1]是增函数，又[f（0）=0]，所以对任意[x≥0]，[f（x）≥0].

②当[a>12]时，令[f'（f'（x））=0]，解得[x=ln2a]，当[x∈（0，ln2a）]，[f'（f'（x））<0]，函数[f'（x）]单调递减；又[f'（0）=0]，所以当[x∈（0，ln2a）]，[f'（x）<0]；所以函数[f（x）]单调递减；又[f（0）=0]，所以当[x∈（0，ln2a）]时，[f（x）<0]，与[f（x）≥0]矛盾，综上，[a≤12].

本例应用数形结合思想，彰显直观想象法在探索解题思路、分解难题方面的重要作用，是分析解决问题的重要手段.

数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确定依赖于推理.也就是说，数学的很多结果是“看”出来的，看是一种直观的判断，它是依赖于经验的，这种判断又是建立在思考与想象基础之上.培养学生的直观想象是一个过程，让学生积极变换视角，助推问题的解决和数学的理解，使学生的直观想象素养真正得到提升.