数学解题教学设计研究

张昆+罗增儒

【摘要】数学解题教学设计具有系统性，构成它具有三个环节节点：其一，教师要认真独立地解题，尽可能穷尽解决数学问题的所有方法；其二，基于某些目标标准，从教师所获得的解题方案中，选择某一种、或两种解法进行课堂教学设计；其三，设计方案经由课堂教学实施后的反思.通过实例具体说明完善教学设计活动，渗透数学观念的教学目标的途径，实现数学解题教学的价值.

【关键词】数学解题；解题教学；数学观念；教学目标

新一轮课改以来，数学解题教学受到了多项诟病.多数情况下，特别是数学教育理论家认为，解题教学总是教师将解题探究好了的方法与过程直接传递于学生，因而与实现新课程所设置的诸多教学目标失去了联系，甚至于干扰教学这些目标的实现.这些是将某些教师（為数确实不少）的教学（技艺）方式上的一些薄弱环节无端地与解题教学价值（教学目标的内在依据）及其实现混为一谈，这是有失公正的.其实，与数学概念、数学原理一样，数学解题活动是极具创造性的课程资源，甚至于比数学概念原理更具培养学生创造性的教学价值，学生由探究稍微复杂些的数学问题，可以感受到更具直观的体验.问题是，教师必须通过创新的教学设计途径，才能实现这种教学目标.

1数学解题教学设计的课例

一方面，在数学新课程实施过程中，偏重于利用优质数学知识资源，培养受教育者的创新能力，它需要多方面的素材，这些素材中解题活动占有举足轻重的地位；另一方面，不管是有意还是无意，从某种程度上说，数学解题（特别在高考复习时）必定内含了数学教育目标的成分，部分地具有发挥数学教学的指挥棒的功能.因此，解题教学应该有意识地纳入新课程数学教育的评价目标之中，而不能游离于这个体系之外，才能引领数学课程的实施方向[1].本研究通过解题教学设计指向教学目标的实例，旨在纠正数学解题教学落后的手段与教学目标之间混淆与混乱的认识，从而达到厘清解题教学理念的目的.

课例 （2016年全国高考天津卷·理21·Ⅱ问）设函数f（x）=（x-1）3-ax-b①，其中x∈R，a>0.若f（x）存在极值点x0②，且f（x1）=f（x0）③，其中x1≠x0④，求证：x1+2x0=3⑤.

教学方案1师：在过去的解题教学活动中，已经生成的解题经验是：问题的解决总是从问题的条件产生结论的.对这个问题，同学们有什么想法？

生1：在这四项条件中，条件③应该是起着主导性作用的条件，因为通过它可以将其他条件集中起来[2].因此，可以从条件③入手：

由条件③与条件①，知（x0-1）3-ax0-b=（x1-1）3-ax1-b，知（x0-1）3-（x1-1）3+a（x1-x0）=0，知（x0-x1）[（x0-1）2+（x0-x1）（x0+x1）+（x1-1）2]-a（x0-x1）=0，知（x0-x1）{[（x0-1）2+（x0-x1）（x0+x1）+（x1-1）2]-a}=0⑥，……

师：哪位同学就生1中断的思路提出新的想法，从而提供思维活动展开的动力？

生2：结论⑤作为解题的目标，它一定隐含在等式⑥中，如何从等式⑥导出结论⑤，发现应该消去等式⑥中一个与结论⑤无关的元素a.由条件②，知f′（x0）=3（x0-1）2-a=0，即a=3（x0-1）2，代入⑥，知（x0-x1）{[（x0-1）2+（x0-x1）（x0+x1）+（x1-1）2]-3（x0-1）2}=0，知（x0-x1）[（x1-1）2+（x0-x1）（x0+x1）-2（x0-1）2]=0，继续分解因式，知（x0-x1）2（x1+2x0-3）=0 ，由条件④，知x1+2x0-3=0，知结论⑤成立.

师：大家从生1与生2同学合作所得到的这种解法中，可以获得哪些有价值的东西？

生3：问题的条件具有层级性，在解题时，必须通过试探与选择，确定主导性条件，由此启动思维，逐步将辅助性条件纳入解题的思路中，这些构成了解题思路的关键性的环节.

生4：问题的结论在解题活动中始终具有指向性作用，在探究解题思路时，结论的指向性作用可以提示着某些数学观念的生成，从而在这种观念指导下展开新的思维活动.

教学方案2师：生4同学对方案1中的收获的要旨是有价值的.更有甚者，在探究解题思维活动的思路中，我们也可以将结论转化为条件，从而将综合性的思维活动转化为分析性的思维活动，以此可以提高了解题的效率[3].对于本例，我们也可以运用这种观念吗？

生5：在“如何运用题设条件f（x1）=f（x0）③”时，这个等式中有两个自变量x1与x0，使我感到特别不舒服.我想通过消元化去一个自变量，将条件③这个等式中的自变量变成一个，肯定对问题的解决有帮助，但是……

师：生5提出了一种有价值的消元的观念.如何消元？

生6：考虑到结论⑤，知x1=3-2x0.于是，将x0与x1=3-2x0代入①，得f（3-2x0）=8（1-x0）3-a（2-3x0）-b⑦，f（x0）=（x0-1）3-ax0-b⑧，……

师：怎么办？

生7：由于计算复杂，我没有完成计算过程.

师：可以找到途径简化计算过程吗？

生8：考虑简化（x0-1）3的计算.由条件②，知f′（x0）=3（x0-1）2-a=0，知（x0-1）2=a3，将其分别代入⑦、⑧，化简，得f（3-2x0）=-2a3x0-a3-b，f（x0）=-2a3x0-a3-b，从而，知f（x0）=f（3-2x0）⑨，由于3-2x0≠x0（否则a=3（x0-1）2=0，与条件a>0矛盾），于是，可设3-2x0=x1⑩，从而结论⑤成立.

师：通过生6与生8同学合作的这种解法，你获得哪些有价值的东西？

生9：问题的条件与结论是可以转化的一对矛盾.在探究解题思路时，往往将结论转化为条件，参与条件的计算或推理，使我们更容易启动思维，获得思路.endprint

生10：函数f（x）与它的自变量x也是一对矛盾，在谈论自变量之间的关系时，往往需要借助于函数这个支点来达到目的，反之亦然.这种解法由⑨导出⑩就是最好的体现.还有一对我们早已熟悉的矛盾：就是一元与多元的矛盾，我们经常将多元化为一元.

师：可以更为一般地说，数学解题活动的思维过程是符合辩证法精髓的，辩证法的集中体现就是矛盾法则，矛盾是对立的，在一定条件下可以互相转化，因而又是统一的，解题活动过程就是要找到矛盾统一时需要转化的条件.

2两种方案折射出问题内含的教学价值比较

因为在解题教学活动时，教师引领学生获得问题思路的分析手段具有相似性，所以这一个例子不失一般性.方案1使用的数学观念学生通过自己解题经验的积累，已经非常熟悉了：其一，证明的过程就是在从题设过渡到结论的数学观念指令下进行的，这是非常自然的；其二，目标观念，是产生其中的一个关键性思维环节的动力，它是以变量替换常量（即用a=3（x0-1）2等式中的3（x0-1）2替换等式⑥中的a）的结果，这也是自然而然的.

正如学生所揭示的，方案2隐含着所需要解决的几对矛盾的数学观念：其一，已知（条件）与未知（结论）的矛盾，它的解决的方法是将未知直接作为已知，⑦式就是这种转化的具体运用；其二，函数与自变量的矛盾，一方面，当我们学习“反函数”概念后，就会明确地意识到函数与自变量是相对的，在某些条件下是可以互相转化的；另一方面，又是互相依存的，当我们讨论自变量的问题时，我们一定要利用函数这个支点，本例中的等式⑨就是它的具体体现，反之，讨论函数的关系时，也一定要借助于自变量这个支点；其三，一元与多元的矛盾，例如，条件③就是这对矛盾的体现，本例中通过结论的关系，将二元转化为一元，解决了矛盾.这三对矛盾的解决构成方案2的三个主要环节，这三个环节也就构成了启动与推动学生解题思维活动的三个支点，教学设计就是教师需要启发学生妥善处理这三个支点，而不是将教师找到的现成的思路“奉献”给学生.

如果我们以解题思维活动的自然流畅、水到渠成，产生思路时学生思维用脑量的多少为标准，那么方案1绝对地优于方案2，这是我们应该同意的；但是，如果我们以发挥这两种解法的教育价值（渗透数学观念）这个标准来说，那么方案2就要优于方案1.

因为我们发现：方案1的数学观念有两点：其一，数学解题就是从已知过渡到未知，从题设条件过渡到题段结论；其二，目标观念.但是这两个观念，学生已经通过大量的解题活动，刻入学生的智囊了，不需要再通过这个例子进行巩固了.方案2所具有的除了方案1产生的数学观念的价值以外，它重在体现于我们已经分析出的三对矛盾，探究解题思路活动的过程，就是充分暴露這些矛盾及其相互转化的过程，经由这种转化的思维活动，渗透解题活动中的某些数学观念，它们变成了学生驾驭将来面对新问题的手段.

3选择某种方案在课堂上实施教学设计的依据与标准

教学目标是选择某种方案进行教学活动的关键性依据，决定教学目标的项目要素在于解题方法中内含的教学价值与学生数学现实的具体情况及其需要的配置.数学课堂教学目标设计途径既不是来源于理论的推演，也不是来源于教师对流行的教学过程作形式上的模仿，而更多地来源于教师自己的教学实践——对知识性质分析与对学生发生知识的心理过程分析，而知识发生的心理过程又是因人而异的，所以，教学目标设计就显示出极其灵活性的一面.要提高教学目标设计水平，设计出恰如其分的课堂教学目标，除了需要教师整合教育教学的理论，积累教学目标设计的经验以外，归根结底，从解题活动中发现伴随着知识的发生，能够形成人的某些优秀心理品质与学生对某些核心要素的实际需要.

就渗透数学观念这项目标而言，我们理解了方案2的价值优于方案1的价值，但是，也不能抽象概括地说，教师在选择某种方案进入课堂教学时，就一定要选择方案2.其实，选择还要受到一些关键性条件的限制，例如，其一，当我们在上高一学生的函数起始课，需要合适的材料启发学生理解函数概念成为当务之急时；其二，即使是在进行高考复习的数学解题课的教学时，作为高考压轴题的第Ⅱ个问题，已经具有相当的难度，因此，如果所授课的班级是一个一般性的学校，我们也应该首选方案1，或者在完成方案1教学的基础上，再设计方案2；其三，即使在一个普通学校，如果学生在一位优秀教师长期教学熏陶下，方案1真的不足以提高学生数学观念水平了，此时，我们就应该选择第二种方法.

由此可知，解题（其他知识也是一样）教学设计时，教师必须在某种标准下选择一种、或两种方法真正地进入课堂.这种选择的标准需要整合两个方面：其一，数学问题资源所提供的教学价值；其二，由学生数学现实所处的具体情况.教师要善于比较在对自己所找到的方案中的每一种方案所隐含的教学价值，认真地进行体会与甄别，然后，仔细分析学生的心理需要，他们已经存有的数学观念，在这些数学观念中，稳定性、清晰性程度如何？某种解法所能提供的一种新数学观念，这种新的数学观念对学生今后自己独立解题的重要性程度如何？还有发展学生计算技能方面的考量，等等.

这些构成一节解题教学设计课设置课堂教学目标的基础，解题教学目标的生命所在与力量所系在于发挥数学习题所隐含的教学价值，教学价值是教学目标的内在形式，教学目标是教学价值的外在表现[4]，由于每一个数学问题中所隐含的教学价值可能是多方面的，这其中的某些价值在学生的数学现实中已经具有了，此时，尽管是非常好的教学价值，我们往往也不将其作为教学目标的一个项目，某些价值在学生的数学现实中虽然存在，但是，稳定性、清晰性程度不高，我们可以将其设置为辅助性的教学目标，某些价值在学生当下的数学现实中还不存在，而这种教学价值又是学生必备的品质，恰好那个题目又是这个教学价值的非常好的承载体，那么我们就一定要将其设置为主导的教学目标.

到此，我们可以总结系统性的数学解题教学设计的一般环节，这具有三个方面的节点：其一，教师要认真独立地解题，尽可能穷尽解决数学问题的所有方法（当然一般很难达到，但教师一定要如此努力.我们特别反对某些教师自己不解题而使用他人提供的答案的做法，可以预言，这样的教师绝不会有所成就）；其二，基于某些目标标准（问题性质中所隐含的教学价值，学生数学现实情况，学生需要巩固的具体知识点与数学观念，渗透全新的数学观念，甚至于形成学生的某些优良的心理品格，正当兴趣的发生、实现与加深，情感的皈依等等.这些又构成了层级等次，也需要视具体问题、具体学生、学生处于具体的学习阶段而定，这是考量数学教师教学设计水平、提升教学效率的关键一环），从教师所获得的解题方案中，选择某一种、或两种解法进行课堂教学设计；其三，设计方案经由课堂教学实施后的反思.数学教师只有严格地执行这三个环节，才能提升教学设计水平，实现数学解题教学价值，实现教学的有效性.

4简要结语

教师与学生通过课堂活动两者都受益，学生获得知识，教师除了加深理解知识以外，还获得传授知识的技艺.数学教学设计是一种技艺，在于它犹如揉面，要善于掌握松紧、弹性、力度；譬如作曲，要善于掌握节奏的快慢疾徐、音调的抑扬顿挫；恰似演戏，要善于铺垫、烘托、煽情，将观众的思维吸引进入舞台的情境，顺着演员的思维前进.教师如果不对所要教学的数学知识透熟于胸，不对学生发生具体的数学知识的心理环节及其构成环节转化的途径了如指掌，那就不可能做到掌握恰当的分寸、火候；也不可能做到有节律，分轻重、疾徐，从容有致地展开.这正是教师数学教学设计的硬工夫、真工夫所在.

参考文献

[1]罗增儒. 心路历程：认识、反思、拓展[J]. 中学数学教学参考（上旬刊），2007（9）：24-28.

[2]张昆，张乃达. 集中条件：数学解题的关键——教学设计的视角[J]. 中学数学（高中版），2016（2）：9-12.

[3]张昆，宋乃庆. 初一列方程入门教学的思考与建议[J]. 中学数学杂志，2014（2）：4-7.

[4]张昆. “理性”与“实用性”：何长何消——对平面几何知识进入义务课程的一些思考[J]. 课程·教材·教法，2007.

作者简介张昆（1965—），安徽合肥人，已在《中学数学杂志》、《课程·教材·教法》等发表教育教学论文500余篇.endprint