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解题中选择知识、方法、程序的若干视角

2018-01-16李广修

中学数学杂志(高中版) 2017年6期
关键词:视角选择解题

【摘要】为数甚多的学生在高三复习后期,面对一道综合的数学题,仍会受困于选择知识等.因此要着力培养学生的“选择”能力.评判选择优劣的主要视角有熟知性,直接性,先知性,独立性.

【关键词】解题;选择;有效;视角

在教学中,我们会发现,很多学生出现这样的状况,已经掌握了较多的数学知识,积累了较为丰富的数学活动经验,再解答之前曾经做过的题目,反而不如过去迅捷.如,在学习完向量的全部内容后,解答一道早前做过的向量题,会在选择几何法、坐标法、向量代数法上前思后想,犹豫不决,止步不前.又如,为数甚多的学生到了高三复习后期,仍不时地出现面对一道综合数学题,受困于怎样选择知识、方法,如何安排诸步骤、诸环节的序次等问题,有的时候仅是跟着感觉走,往往无功而返.其实,学生出现这样的解题现象很正常.因为在学习新授课的时候,课后作业主要是巩固性练习,学生用当天所学的知识、方法就可以解决,基本上不需要做出选择,而一旦到了复习阶段,特别是到了复习后期,解一道较为陌生的数学综合题,因为没有解题方面的暗示,解题的工具多了起来,就需要通盘考虑,谋划全局,在多方面做出选择:在理解题意的基础上,先分析题目的诸要素,综合考虑已知条件和求解(证)目标,然后类比联想,借助解题经验,预判选择什么知识、方法,如何分步骤解决,以及怎样安排诸步骤的序次才能够有效、简单,继而制订出解题计划,最后才是实施、监控、完善解题计划.毫无疑问,学生在解题中所做的种种选择,是需要深入思考、灵活决策的,是偏于评价、反省认知成分的高层次思维活动,表现了数学核心素养的高低,决不是简简单单的机械性反复训练所能培养的数学智能.因此,数学教师在复习教学中应该着力培养学生在解题时的“选择”能力. 事实上,譬如对于运算能力的培养,曹才翰、章建跃两位先生就特别强调要重点培养学生的“选择”能力[1].

在解题中,如何选择知识、方法、程序,才能使得解题快捷、简单,可能没有规则可循,仅有一些评判其优劣的基本视角.本文试图给出这样的一些视角.

视角一:熟知性.优先选取较为熟悉,清楚知道的知识、方法,如果有机械性的运作程式可以选取,一般将它作为首选.若有多种知识、方法可选用,则要尽可能选择那些烂熟于心的知识、方法.这样做,易于减少思考,同构连类,激活相关知识、方法,进而敏捷地探索出解题的思路.

视角二:直接性.选择的知识、方法和所要解决的问题尽量要有较为密切的联系,最好能同时与已知条件、求解(证)都有联系,联系越直接越好,这样可使得解题的运算量小,推理直接、明了.数形结合的方法,处理问题的全局观念,体现了结构性联系,在特定条件下此联系最为直接;选择画个图观察,取几个特例归纳[2],都是获得猜想的最为基本的直接的方法.

视角三:先知性.优先求出或设出题目中能够确定下来的量,优先揭示出题目中存在的一些对象间的逻辑关系、位置关系.对于必须用到的某些对象的值或对象间的逻辑关系、位置关系,如果较容易获得,就要先进行探究、明晰,以便于在解题的初始阶段就使用.对于先求什么后求什么的程序选择,也关系到建立起解题信心问题.如果能先求出一些有用的东西,自然会增添继续解答下去的信心.反之,则可能打退堂鼓. 对于有多个已知条件的数学题,应该优先选择那些能够获得明晰结论、结果的条件加以利用.

视角四:独立性.要尽可能地选择相互独立的元作为表征其它量的基本元,因为选择独立的元作为基本元,可以避免变元间的相互制约、干扰.分离参数法就是基于这种想法.选择相互独立的元表征其它元,与函数思想相通.要做到熟练高效地选择独立元,则需要积累一些经验,掌握一些常见模型.如,一般地,对于一元二次方程,当方程根的性状已知,且两根独立时,则选择根作为基本元来表示其方程的系数等[3];对于等差(比)数列,则选择首项、公差(比)作为基本元表征其它量;对于平面(空间)向量问题,则选择位于交汇处的不共线(面)的两(三)个向量作为基本元;而对于线面垂直的推理判断问题,亦可以看成是在面内找两条独立的直线元和这条直线垂直.值得指出的是,在解题的初始阶段,为了便于表征所有的相关对象,也可以先多选一些元来表征其它元,尽管它们不是独立的,可以通过在解题的后续阶段消元,再转化为独立变元问题.

下文中给出的例子,是全国高考2012年安徽理科数学的一道填空题,我曾经选用它作为我们学校一次测试的一道考题.考后成绩统计,得分率很低.经问询,得知同学们这道题目做得不好的主要原因就是难以选择知识、方法进行切入.由此可见,该题虽然是一道填空题,但窥一斑而知全豹,可以让我们从中认识到:对知识、方法、程序做出有效的快捷的选择,对于解题的成功、简单、快速起着关键性作用.特别地,它是一道填空题,还能让我们认识到选择知识、方法、程序,对于正确、快捷解答各类题型都具有意义.

例已知向量a、b满足|b-2a|≤3,

求a·b的最小值.

分析为对称计,设2a=c,则原问题就等价的转化为:已知向量b、c满足|b-c|≤3,求12b·c的最小值.

解法1由于是求12b·c的最小值,又由于b、c可以是非零向量, b、c的夹角可以大于直角,从而仅考虑非零向量b与c的夹角大于直角的情形.

設非零向量b、c的夹角为θ,θ大于直角,

因为b·c=|b||c|cosθ≥-|b||c|,

所以|b||c|≥-b·c.

由|b-c|≤3,得9≥(b-c)2=b2+c2-2b·c≥2|b||c|-2b·c≥-4b·c.

从而b·c≥-94,其中等号成立,当且仅当b和c是相反向量,且b和c的模均为32.

故a·b,也就是12b·c的最小值是-98.

解法2由解法1知,9≥2|b||c|-2b·c,

同上分析,仅考虑非零向量b与c的夹角θ大于直角的情形,endprint

因为,2|b||c|-2b·c=2|b||c|(1-cosθ),

从而,9≥2|b||c|(1-cosθ),|b||c|≤92(1-cosθ).

因为,b与c的夹角θ大于直角,所以cosθ<0,

所以,b·c=|b||c|cosθ≥9cosθ2(1-cosθ)=92(1-cosθ)-92≥-94,

于是12b·c≥-98.等号成立,当且仅当|b-c|=3,|b|=|c|,b与c的夹角θ等于π.

故,a·b,也就是12b·c的最小值是-98.

解法3仅推演非零向量b与c的夹角θ大于直角的情形.

图1如图1,作向量OC=b,OB=c,作⊙C以CB为半径,CB≤3,作点B在直线CO上的射影D.因为向量OB、OC的夹角大于直角,

故O在圆内,D不在圆外,且O在线段CD上.

根据向量的数量积的几何意义,b·c=-OC·OD.

因为,OC·OD≤OC+OD22=CD42≤CB42≤94,所以,b·c=-OC·OD ≥-94,其等号成立,当且仅当O為线段CB的中点,且CB=3.

故而,a·b,也就是12b·c的最小值是-98.

图2解法4如图2所示,作向量DC=b,DB=c,则向量BC=b-c,|BC|≤3.

以直线CB为x轴,线段CB的中垂线为y轴,建立直角坐标系.设点B(12d,0),C(-12d,0),其中0≤d≤3,又设D(m,n).

于是,DC=(-12d-m,-n),DB=(12d-m,-n),

所以b·c=DC·DB=m2+n2-d24≥-d24≥-94,其等号成立,当且仅当m=n=0,d=3.

所以,a·b,也就是12b·c的最小值是-98.

解法5由对称性以及求最小值,猜测当b与c是相反向量时,从而求得a·b,也就是12b·c的最小值是-98.

由于解法5,虽然有一定的判断和合理性,但缺少必要的逻辑推理,故而舍弃对它的讨论、分析. 对于上面的前四种解法,我们明显地感到解法4明快、直接、直观、简单,尽管解法1和解法2,步骤看似不多,但多次放缩让人有点“胆颤心惊”.对于解法1的放缩,只有在猜测出:“当两个向量b、c是相反向量,且在|b-c|≤3取等号时,12b·c取得最小值”,才是有方向性、有目的性的放缩,否则只能说是“碰巧”.解法3是向量几何法,尽管它比较直观,但还是要借助许多几何知识,多次对几何量放缩.

在下面,我们将比较这五种解法在选择方面的差异,重点阐释解法4的选择是符合选择知识、方法、程序,使得解题快捷、简单的基本视角的.

首先,选择的坐标法,是熟知的,是用较为机械的程序化运作来代替大部分推理,把计算过程书写下来就保证了可靠性,这里一切都看得见,一切都可以检验,一切都由精确的运算规则所确定,运算算法化,推理条分缕析,不需要过多地去考虑解题思路和推理的逻辑.

其次,选择坐标表示三个点,由于类似于求椭圆、双曲线的标准方程,精巧地选择了对称的两向量b与c的终点在x轴上,且这两终点关于原点对称,三个点虽然有六个坐标,其实只涉及了三个变量d、m、n.由其中的一个变元d的范围,便简洁等价地表示了题目中的|b-c|≤3这一不太好处理的条件.不仅如此,三个变量d、m、n还和求解目标直接地联系了起来,并且这一联系是无缝对接,消弭了不易把控的代数变形. 这样就保障了直接性.

再次,对于向量b-c的长度,我们先把它看作是确定的量,这如同先知性地预知一般,尽管它是在一定范围内变化的.于是,求解问题一下子就转化成了“在一个三角形(含退化的三角形)中,两个顶点确定,第三个顶点运动,求两边所对应的向量的数量积的最小值”这一问题,而这个问题是便于坐标运算处理的.

最后,由于所选择建立的直角坐标系恰当,既保障了三个点的坐标中的变元具有独立性,又使得求解目标中的b·c这一多元函数,其变元彼此之间没有制约关系,一个变元的增减性就可以决定b·c的增减性,于是就可以“随心所欲”地逐个处置变元了,没有中间过程,一气呵成.

学生在解题中做出合理的有效的“选择”,既依赖于直觉、经验,也依赖于逻辑推理.对于学生在“选择”方面能力的培养,需要长期着力培养方会有所建树,而最为有效的时机是在进行定理、公式、法则的新授课时,亦或在解决陌生的综合的数学题时.

参考文献

[1]曹才翰,章建跃著.中学数学教学概论(第3版)[M].北京:北京师范大学出版社,2012(7):89-90.

[2]李广修.归纳和演绎的选择与联动.中学数学杂志[J].2016(9):9-11.

[3]李广修.教师解数学题欠缺意识之忧.数学教学[J].2012(3):34-36.endprint

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