解题中选择知识、方法、程序的若干视角

【摘要】为数甚多的学生在高三复习后期，面对一道综合的数学题，仍会受困于选择知识等.因此要着力培养学生的“选择”能力.评判选择优劣的主要视角有熟知性，直接性，先知性，独立性.

【关键词】解题；选择；有效；视角

在教学中，我们会发现，很多学生出现这样的状况，已经掌握了较多的数学知识，积累了较为丰富的数学活动经验，再解答之前曾经做过的题目，反而不如过去迅捷.如，在学习完向量的全部内容后，解答一道早前做过的向量题，会在选择几何法、坐标法、向量代数法上前思后想，犹豫不决，止步不前.又如，为数甚多的学生到了高三复习后期，仍不时地出现面对一道综合数学题，受困于怎样选择知识、方法，如何安排诸步骤、诸环节的序次等问题，有的时候仅是跟着感觉走，往往无功而返.其实，学生出现这样的解题现象很正常.因为在学习新授课的时候，课后作业主要是巩固性练习，学生用当天所学的知识、方法就可以解决，基本上不需要做出选择，而一旦到了复习阶段，特别是到了复习后期，解一道较为陌生的数学综合题，因为没有解题方面的暗示，解题的工具多了起来，就需要通盘考虑，谋划全局，在多方面做出选择：在理解题意的基础上，先分析题目的诸要素，综合考虑已知条件和求解（证）目标，然后类比联想，借助解题经验，预判选择什么知识、方法，如何分步骤解决，以及怎样安排诸步骤的序次才能够有效、简单，继而制订出解题计划，最后才是实施、监控、完善解题计划.毫无疑问，学生在解题中所做的种种选择，是需要深入思考、灵活决策的，是偏于评价、反省认知成分的高层次思维活动，表现了数学核心素养的高低，决不是简简单单的机械性反复训练所能培养的数学智能.因此，数学教师在复习教学中应该着力培养学生在解题时的“选择”能力. 事实上，譬如对于运算能力的培养，曹才翰、章建跃两位先生就特别强调要重点培养学生的“选择”能力[1].

在解题中，如何选择知识、方法、程序，才能使得解题快捷、简单，可能没有规则可循，仅有一些评判其优劣的基本视角.本文试图给出这样的一些视角.

视角一：熟知性.优先选取较为熟悉，清楚知道的知识、方法，如果有机械性的运作程式可以选取，一般将它作为首选.若有多种知识、方法可选用，则要尽可能选择那些烂熟于心的知识、方法.这样做，易于减少思考，同构连类，激活相关知识、方法，进而敏捷地探索出解题的思路.

视角二：直接性.选择的知识、方法和所要解决的问题尽量要有较为密切的联系，最好能同时与已知条件、求解（证）都有联系，联系越直接越好，这样可使得解题的运算量小，推理直接、明了.数形结合的方法，处理问题的全局观念，体现了结构性联系，在特定条件下此联系最为直接；选择画个图观察，取几个特例归纳[2]，都是获得猜想的最为基本的直接的方法.

视角三：先知性.优先求出或设出题目中能够确定下来的量，优先揭示出题目中存在的一些对象间的逻辑关系、位置关系.对于必须用到的某些对象的值或对象间的逻辑关系、位置关系，如果较容易获得，就要先进行探究、明晰，以便于在解题的初始阶段就使用.对于先求什么后求什么的程序选择，也关系到建立起解题信心问题.如果能先求出一些有用的东西，自然会增添继续解答下去的信心.反之，则可能打退堂鼓. 对于有多个已知条件的数学题，应该优先选择那些能够获得明晰结论、结果的条件加以利用.

视角四：独立性.要尽可能地选择相互独立的元作为表征其它量的基本元，因为选择独立的元作为基本元，可以避免变元间的相互制约、干扰.分离参数法就是基于这种想法.选择相互独立的元表征其它元，与函数思想相通.要做到熟练高效地选择独立元，则需要积累一些经验，掌握一些常见模型.如，一般地，对于一元二次方程，当方程根的性状已知，且两根独立时，则选择根作为基本元来表示其方程的系数等[3]；对于等差（比）数列，则选择首项、公差（比）作为基本元表征其它量；对于平面（空间）向量问题，则选择位于交汇处的不共线（面）的两（三）个向量作为基本元；而对于线面垂直的推理判断问题，亦可以看成是在面内找两条独立的直线元和这条直线垂直.值得指出的是，在解题的初始阶段，为了便于表征所有的相关对象，也可以先多选一些元来表征其它元，尽管它们不是独立的，可以通过在解题的后续阶段消元，再转化为独立变元问题.

下文中给出的例子，是全国高考2012年安徽理科数学的一道填空题，我曾经选用它作为我们学校一次测试的一道考题.考后成绩统计，得分率很低.经问询，得知同学们这道题目做得不好的主要原因就是难以选择知识、方法进行切入.由此可见，该题虽然是一道填空题，但窥一斑而知全豹，可以让我们从中认识到：对知识、方法、程序做出有效的快捷的选择，对于解题的成功、简单、快速起着关键性作用.特别地，它是一道填空题，还能让我们认识到选择知识、方法、程序，对于正确、快捷解答各类题型都具有意义.

例已知向量a、b满足|b-2a|≤3，

求a·b的最小值.

分析为对称计，设2a=c，则原问题就等价的转化为：已知向量b、c满足|b-c|≤3，求12b·c的最小值.

解法1由于是求12b·c的最小值，又由于b、c可以是非零向量， b、c的夹角可以大于直角，从而仅考虑非零向量b与c的夹角大于直角的情形.

設非零向量b、c的夹角为θ，θ大于直角，

因为b·c=|b||c|cosθ≥-|b||c|，

所以|b||c|≥-b·c.

由|b-c|≤3，得9≥（b-c）2=b2+c2-2b·c≥2|b||c|-2b·c≥-4b·c.

从而b·c≥-94，其中等号成立，当且仅当b和c是相反向量，且b和c的模均为32.

故a·b，也就是12b·c的最小值是-98.

解法2由解法1知，9≥2|b||c|-2b·c，

同上分析，仅考虑非零向量b与c的夹角θ大于直角的情形，endprint

因为，2|b||c|-2b·c=2|b||c|（1-cosθ），

从而，9≥2|b||c|（1-cosθ），|b||c|≤92（1-cosθ）.

因为，b与c的夹角θ大于直角，所以cosθ<0，

所以，b·c=|b||c|cosθ≥9cosθ2（1-cosθ）=92（1-cosθ）-92≥-94，

于是12b·c≥-98.等号成立，当且仅当|b-c|=3，|b|=|c|，b与c的夹角θ等于π.

故，a·b，也就是12b·c的最小值是-98.

解法3仅推演非零向量b与c的夹角θ大于直角的情形.

图1如图1，作向量OC=b，OB=c，作⊙C以CB为半径，CB≤3，作点B在直线CO上的射影D.因为向量OB、OC的夹角大于直角，

故O在圆内，D不在圆外，且O在线段CD上.

根据向量的数量积的几何意义，b·c=-OC·OD.

因为，OC·OD≤OC+OD22=CD42≤CB42≤94，所以，b·c=-OC·OD ≥-94，其等号成立，当且仅当O為线段CB的中点，且CB=3.

故而，a·b，也就是12b·c的最小值是-98.

图2解法4如图2所示，作向量DC=b，DB=c，则向量BC=b-c，|BC|≤3.

以直线CB为x轴，线段CB的中垂线为y轴，建立直角坐标系.设点B（12d，0），C（-12d，0），其中0≤d≤3，又设D（m，n）.

于是，DC=（-12d-m，-n），DB=（12d-m，-n），

所以b·c=DC·DB=m2+n2-d24≥-d24≥-94，其等号成立，当且仅当m=n=0，d=3.

所以，a·b，也就是12b·c的最小值是-98.

解法5由对称性以及求最小值，猜测当b与c是相反向量时，从而求得a·b，也就是12b·c的最小值是-98.

由于解法5，虽然有一定的判断和合理性，但缺少必要的逻辑推理，故而舍弃对它的讨论、分析. 对于上面的前四种解法，我们明显地感到解法4明快、直接、直观、简单，尽管解法1和解法2，步骤看似不多，但多次放缩让人有点“胆颤心惊”.对于解法1的放缩，只有在猜测出：“当两个向量b、c是相反向量，且在|b-c|≤3取等号时，12b·c取得最小值”，才是有方向性、有目的性的放缩，否则只能说是“碰巧”.解法3是向量几何法，尽管它比较直观，但还是要借助许多几何知识，多次对几何量放缩.

在下面，我们将比较这五种解法在选择方面的差异，重点阐释解法4的选择是符合选择知识、方法、程序，使得解题快捷、简单的基本视角的.

首先，选择的坐标法，是熟知的，是用较为机械的程序化运作来代替大部分推理，把计算过程书写下来就保证了可靠性，这里一切都看得见，一切都可以检验，一切都由精确的运算规则所确定，运算算法化，推理条分缕析，不需要过多地去考虑解题思路和推理的逻辑.

其次，选择坐标表示三个点，由于类似于求椭圆、双曲线的标准方程，精巧地选择了对称的两向量b与c的终点在x轴上，且这两终点关于原点对称，三个点虽然有六个坐标，其实只涉及了三个变量d、m、n.由其中的一个变元d的范围，便简洁等价地表示了题目中的|b-c|≤3这一不太好处理的条件.不仅如此，三个变量d、m、n还和求解目标直接地联系了起来，并且这一联系是无缝对接，消弭了不易把控的代数变形. 这样就保障了直接性.

再次，对于向量b-c的长度，我们先把它看作是确定的量，这如同先知性地预知一般，尽管它是在一定范围内变化的.于是，求解问题一下子就转化成了“在一个三角形（含退化的三角形）中，两个顶点确定，第三个顶点运动，求两边所对应的向量的数量积的最小值”这一问题，而这个问题是便于坐标运算处理的.

最后，由于所选择建立的直角坐标系恰当，既保障了三个点的坐标中的变元具有独立性，又使得求解目标中的b·c这一多元函数，其变元彼此之间没有制约关系，一个变元的增减性就可以决定b·c的增减性，于是就可以“随心所欲”地逐个处置变元了，没有中间过程，一气呵成.

学生在解题中做出合理的有效的“选择”，既依赖于直觉、经验，也依赖于逻辑推理.对于学生在“选择”方面能力的培养，需要长期着力培养方会有所建树，而最为有效的时机是在进行定理、公式、法则的新授课时，亦或在解决陌生的综合的数学题时.

参考文献

[1]曹才翰，章建跃著.中学数学教学概论（第3版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012（7）：89-90.

[2]李广修.归纳和演绎的选择与联动.中学数学杂志[J].2016（9）：9-11.

[3]李广修.教师解数学题欠缺意识之忧.数学教学[J].2012（3）：34-36.endprint