源自本真始于探究成在素养

【摘要】“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”是高中数学课程标准的基本理念之一，也是数学核心素养观的强烈要求.基于“正弦定理（第一课时）”教学片断，作出反思：数学学科的教学目标和教学活动都要从素养的高度来进行，为素养而教，用学科育人，为学生的一生发展谋求最大利益.教育即生长，自然生长出的东西是最具有生命活力的；教学要探究，探究发现的历程是培养学生数学核心素养的重要渠道.

【关键词】正弦定理；教学片断；核心素养

《普通高中数学课程标准（实验）》倡导积极主动、勇于探索的学习方式，指出：“使学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用.通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程.”

东北师范大学史宁中教授领衔的普通高中数学课程标准修订组提出“数学核心素养”，指出：“学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，建构知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力，积累从具体到抽象的活动经验.”

笔者认为，数学核心素养观是数学课程标准在“立德树人”时代要求背景下的深入发展，是课程标准理念的“升级版”.因而，数学学科的教学目标和教学活动都要从素养的高度来进行，为素养而教，用学科育人，为学生的一生发展谋求最大利益.

既然数学核心素养是当下教育界最热门的话题，我们就要积极地去认识、理解与实践.那么在课堂教学中，要做哪些改变或创新，才能达到数学核心素养引领下的数学教学要求，实现课程标准倡导的探究发现、持续发展理念.抱着互助教研、反思提高的情怀，笔者近期开设了一节市级示范教学课，课题是人教版数学必修⑤111 正弦定理（第一课时）.目的呢，一是想通过思辨的教學行为实践自己的教学设想与愿景，二是以原生态的教学过程为案例，提供一件本真的研究素材，为立足教材，着眼课堂教学，培养学生的数学核心素养抛砖引玉.

1教学片断实录

1.1创设情景，布疑激趣

图1问题如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为600m，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得距离，如果船上有测角仪，测得∠BAC=75°，∠ACB=45°，我们能否计算出A、B的距离？

效能分析用问题驱动课堂.从日常生活中的测量问题引入，激活学生思维，激发学生的求知欲.数学是思维的体操，兴趣是最好的老师.

1.2交流探究，解决问题

师：用数学的眼光看世界，“问题”抽象后即是怎样的数学问题？

生1：（学生思考，回答）该问题即是：在△ABC中，已知两角以及一角的对边，求AB.

师：在三角形中，由已知的边和角求未知的边和角，我们学过哪些知识？

生2：（学生思考，回答）在初中，我们学过在等腰三角形、等边三角形、直角三角形中求边和角.

师：回答得很好.在等腰三角形和等边三角形中，我们是通过作底边上的高，把问题转化为直角三角形来解决的.解直角三角形，大家还记得吗？

师生共同回忆解直角三角形：①在直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角；②在直角三角形中，已知一边和一个锐角，可以求另两边及第三个角.

图2师：（引导，学生思考，交流.）“问题”中的△ABC是斜三角形，能否利用解直角三角形知识计算AB呢？

生3：过点B作BD⊥AC于D，把△ABC分成两个直角三角形，如图2.（学生阐述解题过程，教师板书.）过点B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，BD=BC·sin45°=3002.

在Rt△ABD中，sin∠BAD=BDAB，

故AB=BDsin75°=3002×42+6=600（3-1）.

师：（对学生的精彩表现进行赞赏）现在我们反思一下：在解决问题的过程中，我们是通过作高，把斜三角形转化为直角三角形来处理的.看来直角三角形不仅是我们最熟悉的，同时也是很重要的.好，下面我们的探究之旅就从直角三角形开始.

效能分析直角三角形是一类特殊的三角形，学生非常熟悉.在直角三角形中解决了问题，学生深刻地体会到“转化”的思想，享受到应用数学知识解决实际问题后的喜悦.解直角三角形是学生知识的“最近发展区”，导入的“问题”是本节课教学的“先行组织者”.

1.3师生互动，得出猜想

如图3，在Rt△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，由直角三角形边与角的关系得：

图3sinA=ac，sinB=bc，

又sinC=1=cc，

则asinA=bsinB=csinC=c，

于是，在Rt△ABC中，

asinA=bsinB=csinC.

师：那么在任意三角形中，是否都有asinA=bsinB=csinC呢？

链接资源借助几何画板，演示随着三角形任意的变换，asinA、bsinB、csinC值始终保持相等，如图4.

生4：猜想：在任意△ABC中，asinA=bsinB=csinC.

效能分析引导学生把问题转化为解直角三角形——“化斜为直”.在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论——猜想，培养学生从特殊到一般的归纳推理意识，培养学生的数学直观和数学抽象能力.没有猜想，就没有发现和创造.图41.4证明猜想，得到定理

师：以上我们通过探究，又借助几何画板的支持，得到猜想.猜想未必都是对的，其正确性必须要证明.如何证明asinA=bsinB=csinC呢？前面的探索过程对我们有没有启发？endprint

生5：（分组讨论，思考得出）分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况来证明，采用“化斜为直”的办法，把锐角三角形、钝角三角形转化为直角三角形.

（1）在Rt△ABC中，猜想成立.

（2）在锐角三角形中，如图5，设BC=a，CA=b，AB=c，作AD⊥BC，垂足为D.

在Rt△ABD中，因为sinB=ADAB，所以AD=AB·sinB=c·sinB；

在Rt△ADC中，因为sinC=ADAC，所以AD=AC·sinC=b·sinC.

因而c·sinB=b·sinC.所以csinC=bsinB.

同理可得：asinA=csinC.故asinA=bsinB=csinC.

图5图6（3）在钝角三角形中，如图6，设∠C为钝角，BC=a，CA=b，AB=c，作AD⊥BC ，交BC的延长线于点D.

同（2）可证，asinA=bsinB=csinC.

综上所述，在任意△ABC中，都有asinA=bsinB=csinC.

师：引导学生总结探究过程.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：asinA=bsinB=csinC，我们把这条性质称为正弦定理.要求学生用语言叙述定理，教师板书正弦定理，并强调关键词“对角”.

效能分析学生经历证明猜想、演绎推理的过程.引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力求让学生体验数学学习的过程，积累数学活动的经验.学生自己进行探究，“用数学思维分析世界”、“用数学语言表达世界”，体会到数学推理的乐趣.探究发现是培养学生数学核心素养的重要渠道.

图7师：asinA、bsinB、csinC相等，设比值等于k，这个k是多少？有没有什么特殊的几何意义呢？

生6：在Rt△ABC中，asinA=bsinB=csinC=c，c恰为外接圆的直径，即c=k=2R.类比联想，作△ABC的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆O于B′，连接AB′，如图7.

则有∠B′AB=90°，∠B′=∠C.

在Rt△B′AB中，ABsinB′=BB′，

所以ABsinB′=ABsinC=BB′=2R，即csinc=2R.

同理可证：asinA=2R，bsinB=2R.

故asinA=bsinB=csinC=2R.

师：正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径！我们从几何的视角出发，用“作高法”、“外接圆法”实现了“化斜为直”的目标，证明了正弦定理.那么，正弦定理还有其他的证法吗？实际上，正弦定理的证法很多，同学们周末上网搜索一下，下载一些正弦定理证明的资料，加以整理，以“聚焦正弦定理的证明与应用”为题，写一篇数学小论文.

效能分析探究出运动变化中三角形边角关系的不变性，抓住了正弦定理的本质：变化的极致是不变（三角形外接圆直径）.通过撰写数学小论文，使学生学一点数学史，认识正弦定理产生的历史，发展的现状，以及在实际测量和几何计算中的应用，体会数学的文化性，提高学生的科学品质与数学素养.

2教学反思感悟

《正弦定理（第一课时）》这节课，学生在教师的点拨和引导下，应用“观察——猜想——验证——归纳——证明”的数学研究方法，发现并证明正弦定理，经历了知识探索与形成的过程，感受到自主探究新知的艰辛与快乐，激发起浓厚的数学学习兴趣.其次，以情境引入教学，用问题驱动课堂，促使学生去思考问题，去解决问题，去发现规律.让学生在“活动”中学习，在“合作”中积累数学活动经验；在“探究”中创新，在“体验”中形成数学核心素养.

2.1教学要从“最近发展区”出发，用好“先行组织者”

前苏联心理学家、社会文化历史学派的创始人维果斯基提出“最近发展区理论”，指出儿童认知发展有两种水平：实际的发展水平和潜在的发展水平，认为教学应该走在发展的前面，引導发展.“先行组织者”是认知心理学的代表人物——美国教育心理学家奥苏伯尔于1960年提出的一个教育心理学的重要概念.它是先于学习任务本身呈现的一种引导性材料，通常先用学生能懂的语言在介绍学习材料本身以前呈现出来，以便建立有意义学习的心向，构建一个使新旧知识发生联系的桥梁.

纵观高中数学知识体系，直角三角形边与角之间的三角函数关系是离“正弦定理”最近的上位知识，即是本节课的“最近发展区”.教学中，用“问题”导入课题，以“化斜为直”为策略，把问题转化为解直角三角形加以解决.设计的导入“问题”是探究正弦定理的“先行组织者”，它沟通起正弦定理与解直角三角形之间的联系，促进了知识的正向迁移，既提高了课堂教学的效益，又增加了学习过程的研究气氛.

2.2合情推理孕育发明创造，演绎推理成就数学理性

法国数学家拉普拉斯（Laplace，1749—1827）曾经说过：“即使在数学里发现真理的主要工具也是归纳和类比”.科学发展史告诉我们，在认识世界的过程中，人们需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化、系统化.合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色.就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理.因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想.

反思我们的数学课堂教学，重演绎推理轻视合情推理的做法业已根深蒂固，导致学生只能按照较固定的套路（或模式）解决问题，而不能深入到事物的内在，通过观察归纳、类比联想去发现新的问题，更不能提出具有挑战性的问题.“钱学森之问”振聋发聩，令人深思！

需要提出的是，演绎推理也即逻辑推理，它与合情推理共同构成数学推理的内涵，所以，笔者认为，数学核心素养“六核”之一的“逻辑推理”，应调整为“数学推理”为好.

促进学生学会学习，学会数学推理，是提高学生能力、发展学生素养的重要前提，是高中数学课程改革的主要任务，我们要为此而努力.

2.3探究发现是培养学生数学核心素养的重要渠道

“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”是高中数学课程标准的基本理念之一，也是使数学核心素养在教学中落地生根的有效方法和强力支撑，没有学生主动参与的学习，想形成数学素养就只能是一厢情愿.

环顾当前的数学课堂教学，笔者认为有很多不足之处：为探究而探究，为表演而探究；低效探究，假探究，伪探究等现象屡见不鲜.探究什么、何时探究、怎样探究，特别是如何引导学生自然地实施与调整探究过程并没有很好地解决，导致数学课堂探究环节往往场面很“热闹”，学生活动很“积极”，探究结果时常“特别令人满意”.这样的探究活动，学生得到的只能是问题解决的直接结果，获得的仅仅是被动的操作技能，而失去的是宝贵的活动经验、灵动的推理方式、数学的理性精神以及科学研究的方法，失去了适应终身发展和社会发展所需要的必备品格与关键能力.

正弦定理教学过程中，学生始终处在探索研究的状态，用数学眼光分析问题，以数学家的思想去解决问题.数学的理性精神得到锤炼，数学直观、数学建模、数学推理、数学运算能力得到进一步培养，积累了科学研究的经验和方法，这会使学生终身受益.

教育即生长，自然生长出的东西是最具有生命活力的；教学要探究，探究发现的历程是培养学生数学核心素养的重要渠道.

作者简介胡浩（1968—），男，安徽芜湖人.中国数学会会员，教育部中西部地区骨干教师培训班学员，中学数学高级教师，地市级学科带头人.主要从事中学数学课堂教学和解题教学研究，数十篇论文在省级及以上学术期刊上发表.endprint