“直观想象”在全国卷数列试题中的应用探析

杨幼妹+林新建

“直观想象”是高中数学核心素养的重要内涵.

“直观想象”是指借助几何直观和空间想象感知事物的形態与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程，

“直观想象”主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路，

“直观想象”在解题上有重要作用，可以帮助我们快速探明问题的解决方向，轻松将问题予以解决.

以下以全国卷试题为例，就“直观想象”在数列解题上的应用作一探析，以飨读者.

1运用“直观想象”预测数列问题的变化规律

运用“直观想象”策略，可以较好地预测数列问题的变化规律，进而依循规律使问题获得轻松解决，

例1 （2012年高考全国新课标卷I.理16）数列{an}满足an+1+（-l）ⁿan=2n-1，则{an}的前60项和为____.

分析本题是填空把关题，依常规方法求解极为繁琐.其实，由“直观想象”不难预知，本题是填空题，故不论数列{an}如何变化，其前60项的和不因数列的变化而变化，由此我们可将首项特殊化予以求解.

解析由an+1+（-l）ⁿan=2n-1，

得an+l= 2n-1-（-l）ⁿan.

令a1=1，则有a2=2，a3=1，a4=6，

a5=1， a6=10， a7=1， a8=14，…

至此可以发现，数列{an}的奇数项均为1；偶数项是以2为首项，4为公差的等差教列，

故S60=30×1+（30×2+（30×29）/2×4）=1830.

评析上述求解轻松快捷，不亦乐乎，这得益于首项的特殊化，否则规律不易探明，求解势必复杂耗时，而想到运用“特殊化”策略予以求解，这又取决于对数列变化规律的“直观想象”，凸显了“直观想象”在预测数列问题的变化规律上的重要作用.

2运用“直观想象”剖析数列问题的本质特征

运用“直观想象”策略较好地剖析数列问题的本质特征，进而根据本质特征可将问题轻松予以解决，

例2 （2014年高考全国卷I.理17）已知数列{an）的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ为常数.

（I）证明：an+2-an=λ；

（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由.

分析本题难在第（Ⅱ）问，难在如何判断λ是否存在，以及如何求出λ均值，解题似乎无从下手，

其实，由“直观想象”不难得知，若存在满足条件的λ，，使得{a}为等差数列，则{an}的前三项必成等差，由此可求出λ的值，问题不难获解，

解析由a =1及anan+l= λSn一1，得a2=λ一1.

又由a+2-an=λ，可得a3=λ+1.

依题意，若存在满足条件的λ，使得{an}为等差数列，则a1，a2，a3必成等差，则由2a2=a1+a3，即得λ=4，以下不难予以证明.

评析基于数列问题的本质特征——结论的一般性，我们运用了前三项必成等差这一结论，使得问题获得轻松解决.

而想到这样子来求λ的值，则是源于对数列问题本质特征的“直观想象”，凸显了“直观想象”在剖析数列问题的本质特征上的重要作用.

3运用“直观想象”构建数列问题的直观模型

运用“直观想象”策略，可以较好地构建数列问题的直观模型，进而借助模型可将问题轻松予以解决.

例3 （2014年高考全国卷Ⅱ.理17）已知{an}满足a1 =1，an+l=3an+1.

评祈问题的解决得益于将右式的3/2转化为等比数列的和，如果没有转化，这一证明根本无从进行.而之所以想到作这样的“转化”，则取决于对待证式子的“直观想象”，凸显了“直观想象”在构建数列问题的直观模型上的重要作用.

例4 （2002年高考全国卷I.理22）设数列{an}满足an+1=an²-nan+1，n=l，2，3，…，

（I）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；

（Ⅱ）当a1>3时，证明对所有的n≥l，有

①an≥n+2；

同样，问题的解决得益于借助“直观想象”将右式的1/2去转化为等比数列的和，如果没有这种“直观想象”，就不可能作这样的转化，解题根本无从进行，凸显了“直观想象”在构建数列问题的直观模型上的重要作用，

“直观想象”在数学解题中有着重要的作用，在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维，平时教学和高考复习都应予以足够的重视.endprint