基于APOS理论的函数概念“八步”教学设计

李雪梅++赵思林

【摘要】APOS理论是由美国数学家杜宾斯基提出的一种关于数学概念学习的新理论.通过对APOS理论的解读、对函数概念教学的解读，设计了基于APOS理论的函数概念“八步”教学设计，即“忆”—“读”—“思”—“辨”—“定”—“懂”—“用”—“悟”.目的是在函数概念的学习过程中展示知识获得的4个阶段，并在实践的基础上针对教学设计提出了相关建议，突破教学难点.

【关键词】APOS理论；函数概念；“八步”教学设计

目前对函数概念的教学设计很多，但基于某种学习理论的函数概念教学设计却很少.基于这个现状，在APOS理论的指导下对函数概念进行“八步”教学设计，旨在为APOS理论的具体应用以及概念教学方法提供参考.

1APOS理论的概述

APOS理论是由美国数学家杜宾斯基（Dubinsky）在20世纪80年代提出的一种关于数学概念学习的新理论，是一种具有数学学科特色的建构主义学习理论，被誉为近年来数学教育界最大的理论成果之一，它包含活动（Action）、程序（Process）、对象（Object）和图式（Schema）4个阶段[1].

活动阶段：数学教学是数学活动的教学，操作运算行为是数学认知的基础性行为.学生要亲自参与，通过实际经验来获得知识.

過程阶段：不断重复这种操作，学生从中不断反思，于是就会在大脑中进行一种内部的心理建构，即形成一种过程模式.这种过程模式使得操作呈现出自动化的表现形式，而不再借助于外部的不断刺激.

对象阶段：当学生意识到可以把这个过程看做一个整体，并意识到可以对这个整体进行转换和操作的时候，其实已经把这个过程作为一个一般的数学对象，形成一个“实体”.这时不但可以具体地去指明它所具有的各种性质，也可以此为对象具体地去实施各种特定的数学演算.

图式阶段：个体对操作、过程、对象以及他自己头脑中的原有的相关方面的问题图式进行相应的整合、精选就会产生出新的问题图式，这种图式的作用和特点就是可以决定某些问题或某类问题是否属于这个图式，从而就会做出不同的反应.显然，个体的思维和认识状况在这种持续建构中已经上升到更高的层次，即对有关概念进行了更高层次的加工和心理表征.

2基于APOS理论的函数概念“八步”教学设计

2.1函数概念的“八步”教学设计与简要说明

下面给出函数概念的“八步”教学设计（或称“八环节”）的流程图，如图1，并对“八步”教学设计的含义作初步说明.图1函数概念“八步”教学设计函数概念教学设计中的“八步”是指：“忆”—“读”—“思”—“辨”—“定”—“懂”—“用”—“悟”.下面对这“八步”的含义作初步说明.

“忆”是指回忆初中函数的概念及其相关知识点，帮助学生提取已有的知识，为新课的学习做好知识储备，让学生产生认知冲突，激发学生的学习兴趣.

“读”是指对给出的例子的品读，找出每个实例中所隐含的核心内容，为进一步抽象概括得到函数概念提供支持.通过“读”的形式，培养了学生阅读理解的能力.

“思”是指通过对所给3个实例的分析，引导学生用集合与对应的语言来刻画实例，为用对应描述变量之间的依赖关系奠定基础，同时培养学生分析问题和提取信息的能力.

“辨”是指通过对3个实例的归纳总结，概括出3个例子中所蕴含的相同点和不同点，进而抽象出函数概念的“粗”定义，通过学生的观察、分析、比较、归纳和概括，培养了学生的思维能力和概括抽象能力.

“定”（即定义）是指函数概念的形式化定义，即“精”定义.对函数概念进行准确的定义，充分体现了数学化、符号化、精确化等过程.

“懂”是指对定义的理解，理解是记忆的基础，理解是应用知识的前提，只有通过对概念的深刻理解，才能使所学知识意义化、系统化、条理化[2].这一步通过一系列问题：即在函数概念中，你认为有哪些是关键词？函数的构成要素有哪些？ 怎样理解函数的概念呢？ 怎样理解函数定义中符号f（x）和y=f（x）的意义呢？达到突破难点的目的，使学生真正“懂”得函数概念.

“用”是指应用，用数学知识解决新的数学问题时应当考虑怎样用、何时用等问题.函数概念的应用十分广泛，实际运用时一般不是简单的直接用定义，而是着眼于间接性的用，变用及创造性地用等.

“悟”是指感悟数学思想.数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，掌握数学思想就是掌握数学的精髓.函数概念蕴涵丰富的数学思想，如数形结合思想，分类讨论思想，类比思想等.

2.2基于APOS理论的函数概念“八步”教学设计与设计意图分析

第一阶段观察与操作（活动阶段）——表现为主的感性认识

函数概念是中学数学的一个核心概念，它的学习横跨初高中两个阶段.为了让学生在一步步的操作中获得对函数概念的初步认识，选取了三个生活中学生熟知的实例——炮弹发射问题、臭氧层空洞问题、恩格尔系数问题，让学生可通过具体实例更为直观地感知函数的概念.这是APOS理论的活动阶段.

依据函数概念的“八步”教学设计，提出了如下教学建议，并对每一步都说明设计意图.

第一步“忆”

函数概念是高中学习的难点，通过让学生回忆初中函数的概念，把握函数的核心思想，为进一步学习高中函数概念打下基础.

问题1同学们在初中已经学习过“函数”，大家能说出初中函数的概念吗？能否举几个函数的具体例子.

设计意图让学生回顾初中学习过的函数概念，把握其内涵，为新知识的学习做准备.

问题2 同学们，y=1（x∈R）是函数吗？

（用初中函数的概念不能回答这个问题，要解决这个问题就要引入更加确切的语言来表达函数的概念，从而引入新课）

设计意图帮助学生提取已有的知识，为新课的学习做好知识储备.通过设置问题“y=1 x∈R是函数吗”，让学生产生认知冲突，使其处于“愤”的状态，激发学生的学习兴趣，使学生以最佳状态进入新课的学习.endprint

第二步“读”

通过阅读现实生活中的实例，让学生初步感知数集之间的一种对应关系.

例1一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是h=130t-5t2.

问题3如果用t表示时间，h表示炮弹距地面的高度，两个量t，h能构成函数吗？t和h的变化范围分别是什么？

例2近几十年来，大气层中的臭氧层迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题，下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979—2001年的变化情况.

问题4 如果用t表示时间，s表示臭氧层空洞面积，这里的变量t，s之间是否是函数关系，它们各自的变化范围是什么？试用集合A，B表示.

用集合A，B表示变量t，s的变化范围为：

A={t1979≤t≤2001}，

B={s0≤s≤26}.

例3国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，下表中恩格尔系数随时间变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著的变化.“八五”计划以来，我国城镇居民恩格尔系数变化情况

时间（年）19911992199319941995199619971998199920002001城镇居民恩格尔系数%538529501494499486464445419392379问题5如果用t表示时间，s表示恩格尔系数，两个量t，s能构成函数吗？t和s的变化范围用集合A，B表示分别是什么？

用集合A，B表示变量t，s的变化范围为：

A={t1991≤t≤2001}，

B={s37.9≤s≤53.8}.

设计意图从实例中体会到函数可以用解析式、图像、图表来刻画，培养学生发现问题、分析问题，灵活应变的能力.

第二阶段综合分析（过程阶段）——思维活动为主的理性思考

通过对3个实例是否构成函数，及其变量的变化范围的讨论，引导学生进一步思考两个变量之间是否存在某种一一对应的关系，引导学生用集合与对应的语言来刻画实例.学生对函数概念的理解由感性上升到理性.这是过程阶段.

第三步“思”

问题6在例1中，如果把t的取值范围看成集合A，h的取值范围看成集合B，对集合A中每一个元素t与集合B中的元素有什么关系呢？

于是，有：

①t的变化范围是数集A=t0≤t≤26；

②h的变化范围是数集B=h0≤h≤845；

③对于A中的任意一个时间t，按照对应关系h=130t-5t2都有唯一的高度h和它对应，从而构建了从A到B的一个对应f：A→B.

设计意图从实例中找出函数可以用解析式来刻画，培养学生发现问题，分析问题的能力，灵活应变的能力.

问题7在例2和例3中，对集合A中每一个元素x与集合B中的元素有什么关系？

对于A中的任意一个时间t，按照某一对应关系都有唯一的s和它对应，从而构建了从A到B的一个对应f：A→B.

设计意图引导学生用集合与对应的语言来刻画实例.通过语言之间的转化，变一种说法，牵出对应这一说法，為用对应描述变量之间的依赖关系奠定基础，同时培养学生分析问题和提取信息的能力.

第四步“辨”

问题8 以上3个实例有什么相同点？不同点？

相同点：通过归纳概括，可以得到： 在集合A中每取一个数，按照一定的对应关系，在集合B中都有唯一的一个数与之对应，构建了从A到B的一个对应f：A→B.

即：（1）都有两个非空数集A，B；

（2）两个数集间都有一种确定的对应关系；

对于数集A中的任意一个数，数集B中都有唯一确定的数和它对应.

不同点：（1）实例1是用解析式刻画变量之间的对应关系；

（2）实例2是用图象刻画变量之间的对应关系；

（3）实例3是用表格刻画变量之间的对应关系.

设计意图由前面3个实例，抽象概括出函数概念的本质，借助3个集合单值对应关系图，这样处理有利于形成知识的正迁移.通过学生的观察、分析、比较、归纳、概括，培养学生抽象思维的能力，同时也培养了学生的创新意识.

第三阶段建构理论（对象阶段）——数学的表示与应用

在教师的引导下，由学生抽象、总结、概括函数的概念，即得到函数概念的准确定义，并在此基础上对函数概念中的关键词、构成要素、符号进行解读，逐个击破难点，使学生更加深刻地理解函数概念.这是对象阶段.

第五步“定”（即定义）

问题9你能用集合的观点给函数重新下个定义吗？（得出函数的概念）

函数概念：设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对应集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）x∈A}叫做函数的值域.

设计意图本环节是实现从“描述性定义”到严格的符号化定义的关键环节.

第六步“懂”

问题10在这个定义中，你认为有哪些是关键词？函数的构成要素有哪些？ 怎样理解函数的概念呢？

概念中的关键点：

① A，B是非空数集；

②对应关系f可以通过解析式、图象、列表等来表示；

③任意、存在、唯一；endprint

④符号“y=f（x）”的含义；

⑤函数三要素：定义域、值域、对应关系.

问题11怎样理解函数定义中符号f（x）和y=f（x）的意义呢？

对符号f（x）的理解：符号f（x）不能理解为f与x相乘，因为f本身不是数，可将抽象符号f（x）与学生“加工”的经验联系起来，帮助学生理解符号f（x）.如果把函数f比喻为“加工机器”，输入原料x，通过“加工机器”f，输出唯一确定的产品f（x）.也可以把函数f（x）看成是“计算机器”f对x实施的“一系列运算”.例如，f（x）=x2-2x+3可以看成f对x实施了“平方，减2倍，再加3”这一系列运算.这对学生理解函数f和函数值的计算都是非常有实效的.

对符号y=f（x）的理解：因为y表示x的函数，且f（x）表示x的函数，所以y=f（x）.

设计意图通过对函数概念及函数构成要素的分析，深入理解函数概念中的难点知识.

通过逐步解析，理解“关键词”、“函数构成要素”、“符号f（x）和y=f（x）的意义”等难点.对难度逐个击破，使学生深刻理解函数的概念.

第四阶段形成图式（图式阶段）——辨析与反思

最后设计不同层次例题和练习，学生从不同背景下理解函数概念，通过对函数概念的多角度思考，完善函数概念认知图式.

第七步“用”

例题是为了使学生更好地理解函数定义而设置的，既考虑了数学思维的严谨性，也体现了数学知识的应用性.

典例解析

例4已知函数f（x）=x+3+1x+2.

（1）求函数f（x）的定义域； （2）求f-3，f23的值；

（3）当a>0时，求fa，fa-1的值.

思考怎样求函数的定义域？f（x）与fa有何区别与联系？

点拨fa表示当自变量x=a时函数f（x）的值，是一个常量，而f（x）是自变量x的函数，它是一个变量，fa是f（x）的一个 特殊值.

设计意图通过例4使学生学会求简单函数的定义域，以此更好地突出重点.例4表明当对应法则确定后，对应定义域内的一个数，只要将它代入解析式，就可求出它所对应的函数值，进一步体会函数符号的含义.

练习请大家根据所学的函数定义分析初中学习过的几个具体函数？

设计意图引导学生对函数的描述性定义上升到集合与对应刻画的定义，加深对函数概念的理解，巩固所学知识.

第八步“悟”

“悟”是数学思想的感悟和提炼.教师可引导学生分析函数概念教学中主要有以下几种思想：类比思想，分类讨论思想，数形结合思想等.

类比思想：类比初中函数的概念，为高中函数概念的学习做准备.

分类讨论思想：通过对3个实例的解读，分别探讨了函数不同的表达形式（解析式、图像、图表等），并在此基础上概括抽象了3个实例间的共性和特性，从而进一步抽象得到函数的概念.

数形结合思想：函数概念的学习中，多处运用到数形结合的思想.

设计意图依据《普通高中数学课程标准（实验）》提出的：“概念教学应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质.通过典型例子……使学生体会蕴含在其中的思想方法[3]……”.教师在进行教学的过程中，引导学生归纳总结，体会数学知识中所蕴含的思想方法，帮助学生巩固本节课的主要内容，加深印象.

布置作业

1.复习本节课所学内容；

2.必做题：教材第19页练习第1、2题，第24页习题12第4题.

3.选做题：老师在黑板上书写.

设计意图及时复习所学，使其融汇贯通；必要练习，加深对概念本质的理解；通过分层作业体现了学生课外探究具有选择性、多样性，从而满足各个层次学生的需求，使不同的学生在数学上获得不同的发展，体现了新课标中“以学生发展为本”的理念.

3教学设计反思

整个教学设计重视学生的亲身体验，借助学生的生活经历，将新知识与学生已有知识和经验联系起来.并且注重挖掘数学知识的现实背景，再现数学知识的抽象过程，问题情境的设置形成逐层深入，环环相扣的问题链，以问题解决为线索，引导学生主动讨论、积极探索，引导学生从实际背景、图象等多方面理解函数的本质.并在教学过程中通过具体函数来理解函数的一般概念，强调对函数本质的理解.

通過本节课的学习，学生经历了“特殊——一般——特殊”的过程，丰富了其数学思维，对比了初高中函数概念，上升了对函数的认知.在这个过程中，倡导自主学习、合作学习、探究学习的学习方式，强调在实践中完成学生自身知识的建构.

APOS理论对函数概念教学具有十分重要的指导意义，关于在教学中如何利用好APOS理论，提出了以下建议：（1）教师要合理运用和开发教材，根据学生的思维活动设计教学活动；（2）教师要通过各种反馈信息，了解学情，反思教学；（3）教师在教学中要注意渗透数学思想，要增强学生应用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的创新意识.

参考文献

[1]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]闫振荣，刘越英.高效复习数学知识策略[J].平原大学学报，2006（1）：105-108.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2003.

作者简介李雪梅（1993—），女，硕士研究生，主要从事数学教学研究.

赵思林（1962—），男，四川省巴中市人，教授，硕士生导师，主要从事高考数学、数学教育等研究工作.endprint