周期矩形轮廓声学散射体的散射性质预测算法及其应用研究

王海涛， 曾向阳， 杜博凯， 刘延善

(西北工业大学 航海学院，西安 710072)

周期矩形轮廓声学散射体的散射性质预测算法及其应用研究

王海涛， 曾向阳， 杜博凯， 刘延善

(西北工业大学 航海学院，西安 710072)

具有周期排列形式的散射体是建筑声学中一种常见的声学扩散结构，针对各种室内环境中最为常见的周期矩形轮廓散射体，基于光栅方程发展了一种散射性质预测算法，并利用此方法对矩形轮廓散射体的散射性质进行了预测及分析。先详细介绍预测算法的推导过程，此算法仅利用散射体的几何参数及入射波参数即可计算各个阶次反射波的能量，从而对散射性质进行预测。通过对不同算例散射系数的计算及对比证明了预测算法具有良好的正确性及计算效率，并利用预测算法对周期矩形轮廓散射体的散射性质进行分析。分析表明其具有缺级散射、对称散射性质，这些性质不但可以使周期矩形轮廓散射体在室内声学扩散问题中得到更加合理的应用，还使其有潜力在其他领域，如噪声控制、空间滤波等问题中发挥重要的作用。

周期散射体；矩形轮廓；散射系数；缺级散射；对称散

声散射是室内声学中的一项重要研究内容。BERANEK[1]提出了室内声学中响度、混响感、亲切感、温暖感和环绕感五个音质因素，并提出相应的客观音质参数，其中每项参数都与声场散射程度密切相关。在1996年BERANEK[2]对音质评价指标的补充中，与散射相关的音质指标同样占据大多数。因此，为了增加声场的扩散程度从而提高音质，需要按使用需求在室内安装声学散射体[3]。具有周期排列形式的矩形轮廓散射体是一种最为常见的界面声散射结构，基于其设计制造简单、美观等特点，这种结构多被建筑设计人员应用于音乐厅、录音室、剧院等对声场散射要求较高的场所[4]。类似于微观尺度下周期结构中振动波传播的带隙特性[5]，周期形式的散射体也具有不同于一般声散射结构的独特性质，它既可以通过增加散射、抑制回声以提高室内音质水平[6]，也有可能因为散射指向性导致频率响应发生变化，引起声染色效应，对室内音质产生负面影响[7]。因此，对周期矩形轮廓散射体散射性质进行准确预测及估计对于改善室内音质具有十分重要的意义。

定义为非镜面反射声能与全部反射声能比值的散射系数是描述结构声学散射能力的基本参数，其计算方法一直是一个研究热点。在1945年，RAYLEIGH[8]就已经通过平面波分解的方法对正弦型轮廓的周期散射体进行了散射系数计算方面的研究。此后，不断有解析方法被提出，WIRGIN等[9-10]对此进行了详细的总结。不过，由于实际中的散射体形状通常多变，这些要求散射体形状规则的解析方法实用性并不强。随着有限元边界元等数值计算方法的兴起，在散射系数计算领域又出现了Boundary Element Method (BEM)[11]，Finite Element-Plane Wave Decomposition (FE-PWD)[12-13]两种方法。BEM结合了边界元法与MOMMERTZ[14]提出的散射系数计算理论，适用于尺寸有限大的周期结构，而FE-PWD最早出现于吸声系数的数值计算之中，结合了有限元法与平面波分解理论，适用于尺寸无限大的周期结构。另外，随着新型数值计算方法无网格法在声场数值仿真中的应用[15]，以网格法为基础的散射系数计算方法也获得研究[16]。上述方法虽然有效，但由于以离散模型为基础，存在着计算量过大、计算效率低下、上限计算频率低等问题。因此有必要发展快速、准确的散射系数估计方法。

除了散射系数计算外，周期形式散射体对入射声波的指向性散射也是一项研究热点。与光学领域中的光栅类似，周期散射体可以将入射波按照不同的阶次反射向不同的方向，这种指向性散射在某些情况下会引起室内空间中的声场分布发生变化，导致原始声音被赋予外加的音色特点，使听者产生主观听感上的厌恶情绪，严重影响听音效果[17]。因此，正确地预测周期散射体指向性对于降低散射体负面影响并提高室内音质水平十分重要。

本文针对室内环境中最为常见的周期矩形轮廓散射体，基于光栅方程所表示的周期结构栅格效应发展了一种散射性质快速预测算法，可根据散射体的几何参数求得各个阶次反射波的能量，此方法可对周期矩形轮廓散射体的散射系数、指向性散射性质进行快速计算及预测。论文首先详细介绍了快速预测算法的推导过程；然后利用无规入射散射系数及方向入射散射系数的对比计算分析了快速计算方法的正确性与适用性；最后利用快速计算方法对周期矩形轮廓散射体的指向性散射性质进行了预测分析，分析表明此种散射体具有缺级散射、对称散射的性质。

1 散射性质预测算法

假设一束具有单位幅值的平面波入射到具有周期矩形轮廓的散射体上(见图1)，散射体的周期长度为L，凹槽长度为l，高度为H，入射波的声压可表示为

pi(x,y)=e-jk(sin θix-cos θiy)

(1)

式中：θi为入射角；k=2π/λ 为波数；λ为波长。与光栅类似，周期型的声学散射体同样具有可用光栅方程所表示的栅格效应[18-19]，在二维平面内，散射波的阶次及方向可根据光栅方程求得

(2)

式中：θs为散射角；λ为入射波的波；n为散射波的阶次；n=0即代表镜面反射波。

图1 周期矩形轮廓散射体及入射波示意图Fig. 1 Schematic of the periodic diffuser with rectangular profile and the incident wave

为了计算反射波的能量，现对阶次为n、散射角为θs的反射波进行分析。由于矩形轮廓的散射体具有凹槽结构，上述反射波应来源于两部分：①被散射体顶面所反射的入射波，此处假设其传播路径为Path1；②来源于进入凹槽内部，经过多重反射之后的入射波，其传播路径为Path2。以图1中所示的散射体顶面为参考线，沿两个路径的声波经过反射后所传播的距离分别为

(3)

则两个路径上的声波在参考线处的相位差为

(4)

假设散射体表面为刚性结构，则忽略能量在反射面处的损失，根据相位差可得到周期散射体的反射系数为

(5)

由于式(5)为周期函数，可将其表示为傅里叶级数形式

(6)

式中，αn为傅里叶系数，可表示为

(7)

其中的反射系数表示反射声压与入射声压之比，根据式(7)，可得到在参考线处的反射声压为

(8)

从式(8)的形式可以看出，反射波的声压由一系列声压幅值为αn的声波构成，因此，只要求得αn，即可得到对应n阶反射波的能量。通过联立式(5)及式(7)，求得αn的值为

(9)

式中，τ=l/L，表示凹槽长度与周期长度的比值。最终，经过推导可得到各阶次反射波的能量

(10)

式(10)给出了各阶次反射波的能量，通过式(10)及式(2)所示的光栅方程，即可对周期矩形轮廓散射体的各项散射性质进行预测。

2 算例验证

为了验证本文所发展预测算法的正确性，论文利用此方法对周期矩形轮廓散射体的散射系数进行了计算，并与实验测量结果及经典边界元法结果进行了比较。由于本文所发展的算法最终给出的是各阶次反射波的能量，因此需要利用下式来计算散射系数

(11)

式(11)给出了某个入射方向上的方向散射系数，在求解无规入射散射系数时，需要以二维散射体底边中心为球心，在散射体上方布置一个半球面，在半球面上均匀取点代表不同入射方向的声源。当入射方向不在二维散射体所在的xoy平面内时，可通过如图2所示的频率偏移方式将其转化到平面内，即

Sd(θi′,φ′,k)=Sd(θi′,0,kcosφ′)

(12)

在求得所有入射方向的散射系数之后，可按照Paris方程求得无规入射散射系数

(13)

图2 入射波的入射方向不在xoy平面内时的转换方式Fig. 2 Converting of the incident wave lies outside the xoy plane

为了全面验证本文方法的正确性，此处对两个周期矩形轮廓散射体的无规入射散射系数进行了计算，第一个算例散射体的周期长度及凹槽长度为L=0.06 m，l=0.03 m，高度为H=0.03 m。此处将计算结果与在国际标准：ISO 17497-1下的实验测量结果[20]进行了比较，对比如图3所示。

图3 本文方法与实验测量结果之间无规入射散射系数的对比Fig. 3 Comparisons of the random-incidence scattering coefficients between the method in this paper and measurement

从图3可知，利用本文方法所得到的无规入射散射系数与实验测量结果非常接近，两者之间的差值在所有频率上均<0.1，所有频率上的平均差值为0.020，此算例可初步证明本文方法的正确性。

第二个算例中，周期矩形轮廓散射体的尺寸为L=0.2 m，l=0.1 m，H=0. 02 m，此处计算了散射体的无规入射散射系数及方向入射散射系数，并将计算结果与正确性已得到证明的3D BEM法的计算结果[21]进行了对比，对比如图4、图5所示。图5中的灰度表示不同入射方向上的散射系数值，圆的径向表示入射方向的俯仰角，圆周方向表示入射方向的方位角。

图4 本文方法与BEM法之间无规入射散射系数的对比Fig. 4 Comparisons of the random-incidence scattering coefficients between the method in this paper and BEM

图5 本文方法与BEM法之间方向散射系数的对比Fig. 5 Comparisons of the directional scattering coefficients between the method in this paper and BEM

从图4所示的无规入射散射系数计算结果对比来看，与第一个算例一样，两者之间的差值均<0.1；在所有频率上，两者平均差值为0.037 6，体现了本文方法与传统方法的结果十分接近。

从图5所示的方向入射散射系数结果来看，首先两种方法在图案清晰度上有着明显区别，BEM方法在图案清晰度上较为模糊，而本文方法则比较清晰，这由两种方法不同理论所导致：本文方法在计算反射波能量时，首先会对散射方向进行预判断，对于某些入射方向有可能仅存在镜面反射波，因此其散射系数会直接判定为0；而BEM在计算时会对每一个入射方向均进行计算，从而导致其计算结果均>0。从方向入射散射系数的分布来看，两种方法结果十分接近，在主要散射范围及散射系数数值方面均具有较高的一致性，当频率为100 0 Hz时，只有较小范围内的入射波会发生明显的散射现象，随着频率的升高，发生散射的入射波的方向范围也逐渐增大。

上述两个算例证明本文所发展的散射性质预测算法具有良好的正确性，可对周期矩形轮廓散射体的无规入射散射系数及方向入射散射系数进行准确计算。

3 周期矩形轮廓散射体散射性质

本文利用前述算法对周期矩形轮廓散射体的散射性质进行了分析，分析表明，与其他形式的散射体相比，矩形轮廓的散射体具有一些与其几何因素密切相关的散射性质，分别包括缺级散射性质、振荡散射性质以及对称散射性质，以下为具体分析。

3.1 缺级散射

本文所发展的算法给出了周期矩形轮廓散射体对入射波的反射方向及各阶次反射波的能量，从式(10)所示的反射波能量表达式可以预测这种形式的散射体当尺寸具有特殊比例时会表现出与光栅类似的缺级散射性质。式(10)中：En为镜面反射波以外其他阶次反射波的能量，其中n为反射波阶次，τ为凹槽长度与周期长度的比值。当n与τ共同决定cos 2nπτ的值为1时，会使此阶反射波能量为0，从而出现缺级散射现象。例如，当τ=1/2，即凹槽长度为周期长度一半时，偶数阶次的反射波能量会为0(n=±2,±4,…)，从而发生偶数阶次缺级；同理，当τ=1/3时，3的倍数阶次n=±3,±6,…的反射波会发生缺级现象。另外，根据反射声波能量表达式可知，对应于n=±1的反射波不会发生缺级散射现象，因为τ取值范围在0～1，在此情况下n=±1会使cos 2nπτ取值位于-1～1，因此En不会为0。

为了对比证明周期矩形轮廓的缺级散射性质，本文利用无网格法[22]实现了BEM边界积分方程理论，并对两个三维周期矩形轮廓散射体的散射声场进行了计算，其中一个散射体L=0.2 m，l=0.1 m，满足τ=1/2的关系，另一个散射体L= 0.2 m，l=0.13 m，两个散射体的高度均为H=0.04 m，且周期数均为15。为了清楚的显示反射波的方向，接收点设置在与图2中一个相同的半圆面上，两个示例性频率上的计算结果如图6所示。

根据式(2)，散射体周期长度为0.2 m，在320 0 Hz入射角为45°的情况下，应有四束反射波，分别为45°(n=0)，10°(n=-1)，-21°(n=-2)以及-62°(n=-3)。从图6可知，凹槽长度为l=0.1 m的散射体其n=-2阶的反射波消失，而l=0.13 m的散射体则具有所有阶次的反射波，这证明了由本文方法所预测的周期矩形轮廓散射体的缺级散射性质。4 400 Hz的情况同样证明了此结论，在垂直入射的情况下，对于具有倍数比例关系的第一个散射体，其n=±2阶次的反射波消失，而第二个散射体则存在所有阶次的反射波。

另外，图6所示的反射波的能量也与本文算法的结果一致。例如，对于第一个散射体，在4 400 Hz时按照式(10)的计算，其归一化镜面反射波能量应为0.994 7，占据了绝大部分的反射能量，而图4显示了相同的情况，镜面反射波的能量要远远大于其他阶次反射波的能量，这也进一步证明了本文所发展的算法具有良好的正确性。

图6 表示缺级散射的两种不同尺寸散射体的声场Fig. 6 Sound fields of two diffusers with different dimensions to illustrate the missing order scattering

3.2 对称散射

式(10)所示的反射波能量表达式显示周期矩形轮廓散射体还具有对称散射性质。E0表达式中的2τ(1-τ)是一个关于τ=0.5的对称函数，而En表达式中的cos 2nπτ同样是一个关于τ=0.5的对称函数。因此，当两个散射体的凹槽长度与周期长度之比关于τ=0.5对称时，它们会具有相同的散射系数。为了证明此预测，此处对多个散射体的无规入射散射系数进行了计算，这些散射体的周期长度及高度均为L=0.2 m，H=0.04 m，凹槽长度分别为l=0.1 m，0.2 m，0.3 m，…，0.9 m。计算结果如图7所示。

图7结果显示，τ=0.1与τ=0.9的散射系数曲线完全重合，τ=0.2与τ=0.8、τ=0.3与τ=0.7、τ=0.4与τ=0.6的情况同样如此，证明周期矩形轮廓散射体具有对称散射性质。从散射系数的结果来看，当τ=0.5时，散射体具有最大的散射系数，随着τ值偏离0.5，散射系数数值有减小的趋势。另外，从图7所示的无规入射散射系数计算结果来看，周期矩形轮廓散射体表现出了明显的振荡散射性质，即散射系数的曲线具有类周期性的变化规律，且这种周期性随着频率的升高逐渐减弱，散射系数最终收敛于某一固定值。这是由于反射波能量E0与En的表达式中均含有参数cosΔφ。cosΔφ是一个入射波波长相关的周期性函数，当入射波波长发生变化时，cosΔφ所发生的周期性变化也会导致各阶次反射波的能量随之发生类似的周期性变化。这说明矩形轮廓散射体的散射系数对频率较为敏感，较小的频率变化也有可能对散射系数产生明显的影响。

图7 周期矩形轮廓散射体对称散射示意图Fig. 7 Symmetrical scattering of the periodic diffuser with rectangular profile

4 结 论

针对室内空间中常见的周期矩形轮廓散射体，本文从研究方法及散射性质两方面展开了研究。论文首先基于光栅方程发展了一种散射性质预测算法，此算法仅利用二维散射体的几何参数及入射波的相关参数即可计算经过散射体反射的声波能量，而无需传统方法中耗时的数值仿真，论文通过对不同尺寸散射体散射系数的计算及对比证明了算法具有良好的正确性。论文还利用所推导的算法对周期矩形轮廓散射体的散射性质进行了分析，分析表明矩形轮廓散射体具有多种特殊的散射性质：

(1)缺级散射，当散射体的凹槽长度与周期长度符合一定比例关系时会导致某些阶次的反射波消失。

(2)对称散射，当两个周期矩形轮廓散射体的凹槽长度与周期长度之比τ关于τ=0.5对称时，它们会具有相同的散射系数，并且当一个散射体的凹槽长度与周期长度之比为0.5时，散射系数具有最大值。

基于这些性质的分析，周期矩形轮廓散射体不但可以在室内声学中的获得更加合理的应用，还有潜力在噪声控制、空间滤波等其他领域发挥重要的作用。

[ 1 ] BERANEK L L. Music, acoustics & architecture[M]. New York: Wiley, 1962.

[ 2 ] BERANEK L L. How they sound: concert and opera halls[M]. New York: Acoustical Society of American, 1996.

[ 3 ] 王季卿. 声场扩散与厅堂音质[J]. 声学学报, 2001, 26(5): 417-421. WANG Jiqing. Sound diffusion and auditorium acoustics[J]. Acta Acustica, 2001, 26(5): 417-421.

[ 4 ] 乐意, 赵其昌, 沈勇, 等. 大型厅堂的建筑声学设计方法研究[J]. 南京大学学报(自然科学版), 2011, 47(2): 208-217. LE Yi, ZHAO Qichang, SHEN Yong, et al. Study on the acoustic design of large auditoriums[J]. Journal of Nanjing University(Natural Sciences), 2011, 47(2): 208-217.

[ 5 ] 陈荣, 吴天行. 非对称周期结构中耦合波的传播特性[J]. 振动与冲击, 2015, 34(1): 68-73. CHEN Rong, WU Tianxing. Coupled wave propagation in asymmetric periodic structures[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(1): 68-73.

[ 6 ] 蒋国荣. 室内声场模拟中的界面声散射[J]. 声学技术, 2009, 28(6): 697-700. JIANG Guorong. Sound scattering in room acoustic modeling[J]. Technical Acoustics, 2009, 28(6): 697- 700.

[ 7 ] 刘海生, 龚农斌. 室内声学中散射研究进展[J]. 应用声学, 2005, 24(2): 126-132. LIU Haisheng, GONG Nongbin. Progress in diffusers researches in room acoustics[J]. Applied Acoustics, 2005, 24(2): 126-132.

[ 8 ] RAYLEIGH J W. The theory of sound[M]. New York: Dover, 1945.

[ 9 ] WIRGIN A. Reflection from a corrugated surface[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1980, 68(2): 692-699.

[10] CHESNEAUX J M, WIRGIN A. Reflection from a corrugated surface revisited[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1994, 96(2): 1116-1129.

[11] KOSAKA Y, SAKUMAY T. Numerical examination on scattering coefficients of architectural surfaces using the boundary element method[J]. Acoustical Science & Technology, 2005, 26(2): 136-144.

[12] SAKAMOTO S, MUKAI H, TACHIBANA H. Numerical study on sound absorption characteristics of resonance-type brick/block walls[J]. Journal of the Acoustical Society of Japan, 2000, 21(1): 9-15.

[13] EMBRECHTS J J, GEETERE L D, VERMEIR G, et al. Calculation of the random incidence scattering coefficients of a sine-shaped surface[J]. Acustica United with Acustica, 2006, 92(4): 593-603.

[14] MOMMERTZ E. Determination of scattering coefficients from the reflection directivity of architectural surface[J]. Applied. Acoustics, 2000, 60(2): 201-203.

[15] 李鸿秋, 陈国平, 史宝军. 多联通封闭空间声场响应的基于核重构的最小二乘无网格解法[J]. 振动与冲击, 2012, 31(8): 148-163. LI Hongqiu, CHEN Guoping, SHI Baojun. Acoustic response in multi-domain based on least-square point collocation method and reproducing kernel particle method[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(8): 148-163.

[16] 王海涛, 曾向阳. 周期结构声散射系数的无网格数值计算方法[J]. 计算物理, 2013, 30(2): 229-236. WANG Haitao, ZENG Xiangyang. Meshless models for numerical calculation of scattering coefficients of periodic structures[J]. Chinese Journal of Computational Physics, 2013, 30(2): 229-236.

[17] CHOI Y J. Effects of periodic type diffusers on classroom acoustics[J]. Applied Acoustics, 2013, 74(5): 694-707.

[18] HOLFORD R L. Scattering of sound waves at the ocean surface: a diffraction theory[J]. Journal of the Acoust Society of America, 1981, 70(4): 1103-1115.

[19] HOLFORD R L. Scattering of sound waves at a periodic, pressure-release surface: an exact solution[J] Journal of the Acoust Society of America, 1981, 70(4): 1116-1128.

[20] CHOI Y J, JEONG D U, KIM J Y. Some issues in measurement of the random-incidence scattering coefficients in a reverberation room [J].Acta Acustica United with Acustica,2008,94(5):769-773.

[21] LEE H, SAKUMA T. Numerical characterization of acoustic scattering coefficients of one-dimensional periodic surfaces[J]. Applied Acoustics, 2015, 88: 129-136.

[22] 张雄, 刘岩. 无网格法[M]. 北京: 清华大学出版社, 2004.

Predicting scattering properties of a periodic-type diffuser with a rectangular profile

WANG Haitao, ZENG Xiangyang, DU Bokai, LIU Yanshan

(School of Marine Science and Technology, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072，China)

The periodic-type diffuser is a kind of important acoustical structures in architectures. It is usually beneficial to improve diffusion and prevent echoes. However, sometimes it also leads to side effects of coloration because of its periodically arranged structure. Here, a grating effect-based method was developed to predict scattering properties of a periodic-type diffuser with a rectangular profile most widely used in room acoustics. Firstly, the derivation of the grating effect-based method was introduced in detail. This method was capable of calculating the scattering energy of reflection waves using the geometrical parameters of the diffuser without time-consuming numerical simulations. Then, the calculation and comparison of scattering coefficients in examples showed that the proposed method has a good accuracy to predict scattering properties. Lastly, the scattering properties of the periodic-type diffuser with a rectangular profile were analyzed using the grating effect-based method. The results demonstrated that the periodic-type diffuser with a rectangular profile has properties of missing order scattering and symmetric scattering; based on these special properties, the periodic-type diffuser with a rectangular profile can not only be more reasonably used in room acoustics, but also play an important role in other engineering fields, such as, spatial filtering, spectrum control, and noise control.

periodic type diffuser; rectangular profile; scattering coefficient; missing order scattering; symmetrical scattering

国家自然科学基金(11374241)；中央高校基本科研业务费专项资金资助(3102015BJ(II)JJZ06)

2015-11-26 修改稿收到日期： 2016-02-14

王海涛 男，博士，讲师，1986年生

曾向阳 男，博士，教授，1974年生

TU112

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.012