V形布局地形上不同频率入射波的布拉格共振特性研究

涂俊豪，陶爱峰，苏俊玮，徐 啸，张海明

（1.海岸灾害及防护教育部重点实验室（河海大学），江苏 南京 210024；2.河海大学 港口海岸与近海工程学院，江苏 南京 210024）

0 引言

由于能源短缺问题日益严重，大力发展可再生能源成为世界各国的共识。波浪能具有环保可再生、能量密度高等优势，开发利用波浪能，成为解决能源问题的重要突破口。人们对波浪能利用的研究已有百年历史，大多数学者通过对波能发电装置的改进和阵列布局优化来提高发电装置的发 电 效 率[1]～[5]。近 年 来，有 学 者 发 现，可 以 通 过 布 拉格共振来提高波浪能量密度，从而来提高发电装置的发电效率。

1915年，布拉格父子发现，当X射线的波长为晶体间距的两倍时，X射线的反射最强，这种波列的相关干涉，被称为布拉格共振[6]。Davies A G[7]发现，特定波长的表面重力波会与连续的正弦周期地形发生共振，即使沙波波高不大，表面重力波的振幅也会在发生共振以后大幅增加。Elandt R B[8]发现，可以借助布拉格共振驱动双层密度流体的表面波能量向界面波传递，从而保护浮式建筑物；同时，Elandt R B提出，可以利用布拉格共振，让表面重力波的能量汇聚，从而提高波浪能量密度和发电装置的发电效率。Tao A[9]通过波浪水槽试验发现，利用布拉格共振来提高波浪能量的密度，可以将发电装置的发电功率提升10倍以上。苏俊玮[10]基于高阶谱方法发现，当地形呈V形布局的连续正弦时，波浪与地形发生布拉格共振反射后，地形前方会产生聚焦效应，波浪振幅增幅较二维地形显著增大。但是，该研究只考虑了共振最强状态对应的入射波布拉格共振引发的波能聚焦特性，而真实的波浪由不同频率的波组成。

因此，本文采用文献[10]中的数学模型进一步研究了在二维布拉格共振的共振主频附近，V形布局地形在不同频率入射波下 （保持地形波陡与入射波波陡不变）的布拉格共振聚焦特性，研究的成果可为布拉格共振发电的实际应用提供理论参考。

1 波浪与地形的耦合模型及验证

利用不同频率的规则波进行正向入射和斜向入射（以 θ=19.47°为例，其中 θ为地形法线和入射波的夹角），以复演文献[11]中的两组布拉格共振数值模拟试验，并求得不同频率下的反射系数R，将模拟结果与文献[11]的摄动理论结果进行对比，结果见图1。从图1可以看出，数值模拟结果与理论曲线吻合良好，证实了模型计算结果的可靠性。

图1 不同频率的布拉格共振反射系数Fig.1 Bragg resonance reflection coefficients at different frequencies

2 数值模拟

本节将具体介绍本次模拟的基本参数、入射波参数、地形参数和模拟组次的设置情况。下文中：kx为入射波x方向上的波数；kb为地形波数；T，A，L和k分别为入射波的周期、振幅、波长和波数；d为地形振幅；h为水深。

2.1 模型基本参数

模型计算区域的大小为32 m×32 m，共512×512个计算节点。按每周期T/Δt=64的时间步长进行模拟，共模拟波浪传播TS/T=20个周期。相关参数按照文献[11]进行设置，非线性阶数M=3。

2.2 入射波设置

在本文中，入射波的初始波面和势函数按微幅波理论进行计算，同时保证各组频率下入射波的波陡相等，即kA=0.05。按长度转换无量纲参数L′/L=2π/32，将 所 有 参 数 无 量 纲 化。

2.3 地形设置

根据文献[10]的研究，各组频率入射波对应的V形 布 局 地 形 的 夹 角 α为90～180°。d，h，kb满 足d/h=0.31，kbd=0.16。图2为V形地形在空间布局的立面图（总体以y=16 m对称，以V形地形的顶点为x方向的坐标原点，并向着来波方向增大，ξ为地形高度）。

图2 起伏地形空间布局立面图Fig.2 Stereoscopic schematic diagram of rippled bottom spatial layout

本研究通过改变2kx/kb来改变入射波的频率，考虑到大部分海浪谱为单峰谱，且谱宽较窄，所 以 当2kx/kb＞1.1或2kx/kb＜0.9时，布 拉 格 共 振 的波浪反射率 （反射率的大小等于反射波高与入射波高的比值）虽然会增大但仍较小，而且对应频率的入射波能量较小。因此，本文研究的频率为2kx/kb=0.9～1.1。

2.4 模拟组次

综合前文讨论，本文研究的入射波频率为2kx/kb=0.9～1.1，从中均匀取17个频率，研究的V形布局地形的夹角α为90～180°，从中取15个角度，共构成255组模拟组次。

3 结果与分析

入射波会与连续正弦地形发生共振反射，反射波经由V形布局地形汇聚，在地形前方与入射波叠加，形成不完全立波。振幅显著增大的点组成的区域，被称为波能聚焦区。20个周期内有效波高Hs与初始波高H比值（Hs/H）最大的点被称为波能聚焦点。通过对比各模拟组次波能聚焦点的Hs/H，找出各频率入射波对应V形布局地形的最优夹角，并探究最优V形布局地形夹角下，各频率入射波的波能聚焦区分布及波能聚焦点的运动特性。

3.1 入射波对应V形布局地形的最优夹角

根据模拟结果，计算出模拟计算区域内512×512个计算点20个周期内的有效波高，各模拟组次波能聚焦点的Hs/H如图3所示（为了清晰地表示波能聚焦点的Hs/H与频率和V形布局地形夹角 的 关 系，以2kx/kb=0.9，0.95，1，1.05，1.1的5组频率入射波的模拟组次结果为例画图）。从图3可以看出：随着V形布局地形夹角 α的逐渐增大，波能聚焦点的Hs/H先增大后减小；当2kx/kb偏离1较少时，波能聚焦点的Hs/H最大值对应的 α=162.24°；当2kx/kb偏离1较多时，波能聚焦点的Hs/H最大值对应的 α不等于162.24°。

图3 波能聚焦点的Hs/H随α的变化曲线Fig.3 The variation of Hs/H at wave energy focusing point as a function ofα

不同 α下，波能聚焦点的Hs/H随入射波频率的变化曲线如图4所示。从图4可以看出：当α=90°时，入射波的反射率为零，各频率入射波的波能聚焦点的Hs/H均很小；在不同 α下，波能聚焦点的Hs/H均随着频率的增大而呈现出先增大后减小的变化趋势。结合图1和文献[10]的研究可知，当2kx/kb偏离1较大或 α接近90°时，波浪的反射率较小，布拉格共振作用较弱，波能聚焦点的Hs/H均较小，模拟结果易受到水深变化引起的波浪非线性作用等因素的影响，因此，模拟结果不能较好地反映布拉格共振的特性。由此可以得到结论，在本文的研究频率范围内，各频率入射波对应V形布局地形的最优夹角均相等，且α=162.24°。因此，本文将进一步研究最优V形布局地形夹角下，不同频率入射波的布拉格共振特性。

图4 波能聚焦点的Hs/H随入射波频率的变化曲线Fig.4 The variation of Hs/H at wave energy focusing point as a function of incident wave frequency

3.2 入射波的波能聚焦区的Hs/H分布

通过统计计算区域内各计算点20个周期内的波动数据，得到各计算点的有效波高，将各点的有效波高与初始波高进行对比，可知各点的Hs/H如图5所示。从图5可以看出：当2kx/kb偏离1较大时，波高增大区域主要集中在地形上方；当2kx/kb接近1时，布拉格共振作用较强，大量反射波由V形布局地形聚焦后，在地形前方形成波能聚焦区。由于地形对称布置，发生布拉格共振反射时，有效波高分布也以y=16 m为对称轴对称分布。波浪由V形布局地形反射以后，能量向对称轴聚焦，因此对称轴上的波能聚焦区的Hs/H最大，并向着两侧逐渐降低，波能聚焦点的位置在对称轴上。因此，本文将继续研究对称轴上的波能聚焦点的Hs/H分布。

图5 不同频率入射波的波能聚焦区的Hs/H分布Fig.5 Spatial distribution of Hs/H within the wave energy focusing region at different incident wave frequencies

在对称轴上-2.5～22.5 m的范围内，各计算点的有效波高如图6所示（以地形结束位置为0，地形前方为正）。从图6可以看出：当2kx/kb接近1时，布拉格共振反射率较大，地形前方有一系列波高明显增大且Hs/H相近的点，这些点分布在对称轴上5 m（对称轴上地形起始边界位置）后的第1～15个波峰点之间；当2kx/kb偏离1较大时，布拉格共振强度和反射率均较低，地形前方的Hs/H没有明显增大，整个计算区域内Hs/H最大点在地形上方，这是因为水深变化而产生的波浪非线性作用对波高的影响较大，故本文不作分析。由此推测，若入射波是不规则波，则波能聚焦点在V形布局对称轴上x=5～12 m处。

图6 对称轴上-2.5～25 m之间的计算点的Hs/H分布Fig.6 Hs/H distribution on symmetrical axis between-2.5～25 m

3.3 波能聚焦点的位置及运动特性

当α=162.24°时，不同频率入射波的波能聚焦点的位置如图7所示（以地形结束位置为0，地形前方为正）。

图7 最优V形布局地形夹角下，不同频率入射波的波能聚焦点的位置Fig.7 The positions of wave energy focusing point at different incident wave frequencies under the condition of optimal V-shaped bottom angle

从图7可以看出：当2kx/kb＜1时，随着2kx/kb逐渐增大，波能聚焦点的Hs/H逐渐增大，波能聚焦点的位置逐渐从地形上方向地形前方移动；当2kx/kb＞1时，随着2kx/kb逐渐增大，波能聚焦点的Hs/H逐渐减小，波能聚焦点的位置逐渐靠近地形；当0.925≤2kx/kb＜1.05时，波能聚焦点在对称轴上x=10 m附近，此时波能聚焦点的Hs/H最大，且波能聚焦点的位置在地形前方相差不大。因此，下文将继续讨论该频域内波能聚焦点的运动特性（以2kx/kb=0.95，1和1.05时 为 例）。

图8为波能聚焦点的波面时间序列图（η为波面高程）。当波能聚焦点处于稳定状态时，每相邻周期的波峰值不相等。因此，本文选取20个周期内各计算点的有效波高来反映各点的能量大小。波能聚焦点达到稳定状态所需时间与稳定状态的Hs/H值成正比，稳定状态的波高增幅越大，达到稳定所需的时间越长。

图8 波能聚焦点的波面时间序列Fig.8 Time series of free-surface elevation at wave energy focusing point

4 结论

本文基于高阶谱方法，讨论了不同V形布局地形对不同频率入射波的影响特性，找出了各频率入射波对应的最优V形布局地形夹角，并探究了最优V形布局地形夹角下，各频率入射波的波能聚焦区分布及波能聚焦点的运动特性，得到以下结论。

①对于不同频率的入射波，随着V形布局地形夹角 α的增大，波能聚焦点的Hs/H呈现出先增大后减小的变化趋势，并且当 α=162.24°时，各频率入射波的波能聚焦点的Hs/H均达到最大，因此，各频率入射波的最优V形布局地形夹角为162.24°。

②在最优V形布局地形夹角下，各频率入射波的波能聚焦区均对称分布，且对称轴上的波能聚焦区计算点的Hs/H最大。当2kx/kb偏离1较大时，波能聚焦区主要分布在地形上方；当2kx/kb接近1时，波能聚焦区主要分布在地形前方。

③当2kx/kb接近1时，在波能聚焦区对称轴上存在一系列增幅明显增大且增大倍数相近的计算点，这些计算点分布在15个立波波长范围内，且波能聚焦点位于x=10 m附近；当2kx/kb偏离1较大时，波能聚焦点位于地形上方。

本文只研究了V形布局地形下不同频率规则波的布拉格共振特性，不规则波可以看成由多组不同频率规则波按不同海浪谱组合而成。当入射波为不规则波时，V形布局地形上的布拉格共振特性，还有待探讨。