加强考试基本分析 科学提升教学效果
2017-04-17陈小祥李慧
陈小祥 李慧
[摘 要] 如何有效地测评试卷，科学地提升教学效果？由于种种原因，教学过程中教师们往往从经验、感觉、对错统计、均分等角度出发评价试卷，进而调整教学，虽然说有一定的道理，但仍不够科学和严谨. 如何在有效的时间内准确评估试卷和教学效果？本文以此为主题，结合自身教学实践的案例，着重研究试卷分析中关键指标分析方法，进一步对如何科学地提升教学效果作了反思和总结.
[关键词] 基本分析；多层探究；解题教学
[?] 问题的提出
随着社会经济水平的提升，人们对优质教育的需求愈发强烈，随之而来的就是较为激烈的升学竞争. 竞争的加剧带来了学校教育教学的诸多改变，最大的变化之一是原来存在于高三年级的频繁考试逐渐延伸至基础年级. 我们知道，测试评价的目的主要是：提供反馈信息，促进学生的数学学习；改善教师的教学；对学生数学学习的成就和进步进行评价；改善学生对数学的态度、情感和价值观；修改包括课程、教学计划在内的项目方案等[1]. 笔者反思自身的同时也了解到不少学校因为各种原因或多或少出现了以下一些常见问题：考试较多，分析较少；解题教学关注多，研究试卷命制及评价方法少；高考研究多，考后分析缺；分析不细致，反思不及时，总结不准确等. 本文主要结合笔者自身的最近一次的教学案例，对如何进行常态化的教学测试评价以及如何结合评价科学地提升教学效果做出自己的反思，不当之处敬请指正.
今年笔者接任高一年级卓越班（年级内较好的四个实验班之一），由于经验的惯性和常年教学高三的自信，认真忙碌了半个学期（寒假后到四月底），原以为准备充足的情况下学生能达到较好的水平，但结果却出乎笔者意料，为什么会这样呢？
[?] 基本分析
1. 基本数据分析
从表1来看，D班在第13、14、20题，特别是18题上的表现与其他班（特别是与最好班）的表现差距较大，在其他题目上的表现基本持平；从表2来看，D班第2、3段（130～139，120～129）上明显偏弱，即优秀率不足，而且最后两段学生偏多，这引起了笔者的关注，究竟是什么原因呢？
试题的难度系数是指试题（卷）的难易程度，一般用试题的得分率P表示，其值在0～1之间，数值越大说明越容易.P=，特别要指出的是，对全年级全部考生而言，本试卷的难度系数是0.68；对四个实验班200名学生而言，难度系数是0.8. 实践表明，试卷的难度一般应在0.60～0.70之间，而对于难度值为0.5的试题具有最好的区分度.
区分度是指试题对不同考生的知识、能力水平的鉴别程度. 一般而言，区分度达到0.3便可以接受，0.3以上为好题，0.4以上为优秀题，低于0.3的题目区分力差. 区分度D的计算方法常用的有：①得分求差法，D=. 将考生按所测题目从高到低排序，H表示高分组（总数的27%）的得分总和，L表示低分组（总数的27%）的得分总和，n表示高（低）组人数，XH表示高分组该题的最高分，XL表示低分组该题的最低分.此式适宜计算解答题的区分度. ②得分率求差法，D=PH-PL. PH为高分组得分率，PL为低分组得分率.
从全年级角度看此卷难度适宜，区分度高；从实验四个班分析此卷较容易，但区分度不错，13题高分组得分率为1，低分组为0，此题为区分度最高的问题. 另外，第14、18、19、20题都是优秀题目，然而若单从均分指标来看，第14题和第20题的第（2）、（3）问给笔者的第一印象却是个废题，不值得讲评，但经过科学的测评笔者发现这是个好题.
2. 试卷试题分析
案例1：（第13题）D班比笔者任教的C班的得分低得较多，翻开试卷，问题出在第②小问上.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出以下结论：
①A>B>C，则sinA>sinB>sinC；
②必存在A，B，C，使tanAtanBtanC ③若sin2A+sin2B>sin2C，则△ABC是钝角三角形； ④若==，则△ABC是等边三角形. 其中正确的命题的序号是______. 本题答案是①④，班级平均得分为2.1分，班级难度系数是0.42，属于易错较难题. 考查要点：正弦定理的理解及灵活运用，三角公式在化简证明中的运用. 主要问题：D班学生在第③问上未能从已有的知识结构中寻找出合适的解法，没搞清解题方向和目标，导致无从下笔，于是一些“投机”办法横行——找几个特例代入验证，发现找不到存在的；若是任意性问题，找到反例就可判别，又对于三个角的式子化简与证明不熟悉，于是就想当然地认为是存在的. 显然知识结构、思维方式和解题技巧都是有问题的，即使是笔者所任教的另一个基础较好的班，均分也不高. 追根溯源：（1）两角和正切公式的教学中，虽然设计了公式的变形及使用，但使用的层次较低（tanα±tanβ=tan（α±β）·（1?tanαtanβ）），仅局限于求两个角正切值的和. （2）对教材挖掘使用不力. 本題其实源于苏教版必修四第102页例题4，还配备了思考问题. 回看了教案，当时没有弄清例习题设置的目的，没有认真领会例习题设置的教学功能. 其实教参上作了很好的建议：本例是一个优美的三角恒等式，它可以唤起学生的美感，教学中要注意引导学生欣赏，并注意它在结构上的特点（由正切的和与积构成），由此可以得到思路. 对于拓展思考题，一般地，当A+B+C=kπ时结论成立，安排在这里，具有培养学生反思习惯的意图[2]. 由于缺乏研究等原因，当时仅仅提了一下，觉得学生的能力较强，让他们自习例题就可以了，而并没有针对性地设计“战术”将其涉及的教学提高到一个很重要的地位. （3）没有很好地引导学生反思总结，无论是结构特征上，还是具体解法上，乃至针对性练习上，共同的本质性的东西没提炼出来，“含有正切的和与积的式子可考虑两角（多角）和（差）的正切公式”“最主要的是让学生注意到tan（α+β）可以用tanα和tanβ表示”（反之亦然）.
应对策略：可以问题串的形式将例题、思考题、练习题、变式题以小专题的形式组织起来，引领学生“一题多解”“多题一解”，最终提炼并反思出公式的使用条件、使用方式、拓展形式、共同的本质.
设计如下：
题1：在斜三角形ABC中，求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. （多法）
题2：一般地，当角A，B，C满足什么条件时，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立？反之是否成立？
题3：是否存在角A，B，C使得tanA+tanB+tanC≥tanAtanBtanC？
题4（苏教版必修四第117页练习）：
（1）已知三角形ABC中，tanA，tanB是方程3x2-7x+2=0的两根，求tanC的值.
（2）求证：tan3α-tan2α-tanα=tan3α·tan2αtanα.
（3）化简：.
题5（苏教版第118页题8）：证明tan（A-B）+tan（B-C）+tan（C-A）=tan（A-B）tan（B-C）tan（C-A）.
题6（苏教版第118页题9及变式）：
（1）若α+β=45°，求证：（tanα+1）（tanβ+1）=2；
（2）若（tanα+1）（tanβ+1）=2，求α+β的值；
（3）求值：（tan1°+1）（tan2°+1）（tan3°+1）…（tan44°+1）（tan45°+1）.
设计说明：方均斌教授认为，“数学问题教学过程中有5个探索点需要数学教师特别关注：选题、显题、变题、链题、恋题，即重新审视数学问题的题源，关注数学问题教学中的呈现策略，对学生进行数学问题变化训练，把学生相关的数学问题进行必要的链接，加强学生对数学问题解决的反思教学活动.”[3]
题1即是考试13题的题源之一，源于课本，潜移默化地引导学生重视课本，会用课本. 题2是将题目条件一般化，题3则是将结论前置，其实都涉及数学问题在教学中问题信息不同呈现方式的显题环节，“显题是问题教学展开的第一步，它的呈现策略是实现策略性教育功能聚焦的一种手段”.
题4则是回归到题1背后的公式中去，变化题境、形式、条件等促使学生理解教学目标本身，需要说明的是，按方均斌教授所指出的在“为什么要变”“如何变”“谁来变”“何时变”等方面继续研究会大有裨益. 如果说考试中该题出了较大的问题，至少可以说明教学中变题教学这一块做得不够.
题5和题6可以归为链题的环节，链题是问题解决者对命题者意图猜测及寻求问题源头的一项举措. 如果说变题是将问题“打散”的过程，那么链题则是问题教学的整合. 即通过一题一题的教学，从知识与方法上串合起来，形成“归一”的过程. 题5是对源题的知识方法的链接，题6则是逐层对前面题目的解法和公式本身的应用链接. 当然，教师要作“之前见过类似的问题吗”“涉及哪些知识”“可以与之前的哪些题归类，为什么”“能否将此类题归类”等引导.
至于恋题，简单地说就是欣赏性地总结和反思，培养数学情感，挖掘数学文化. 就本例而言，至题6仍远未结束：可以引导学生总结解题的基本规律，回顾解答一类题的基本知识、基本方法和活动经验，引导学生揣测命题者的意图以拉近学生与命题者的心理距离，引导学生欣赏本题的优美结构并存疑——三角形中有无类似涉及正余弦的优美等式（不等式）？能否证明？能否一般化？以提高学生的兴趣，培养他们的数学情感并促其探索数学文化.
从统计来看，第11、12这两道数列题班级之间几无差距，说明基础性问题的教学是到位的，但第14、18、20题D班的得分明显落后，则一定程度上可以说明教学要么没有很好地结合学情，要么就是教学本身有些地方做得未到位.
案例2：（18题）已知数列{an}的首项a=1，且an+1=2an+1. （1）求数列的通项公式an；（2）设数列{cn}对任意n∈N*，都有++…+=an+1成立，求c1+c2+…+c2016的值.
该题的平均得分是2.1分，班级难度系数是0.52，明显低于四个班总体难度系数0.6，更是远低于C班的0.65，属于高错误问题.
（20题）各项均为正数的数列{an}中，前n项和Sn=
2. （1）求数列{an}的通项公式；（2）若++…+ 该题的平均得分是7.6分，D班难度系数是0.47，低于四个班总体难度系数0.51，更是远低于C班的0.55，属于较难问题. 考查要点：已知递推关系式以等差、等比数列为载体考查通项和或求和，嵌入恒成立等问题到数列的最值、单调性中. 主要问题：D班基础较弱的学生对简单的数列构造方法不熟练，直接导致大量失分，18題第（2）问和20题第（1）问中由“和项式”求通项这一基本模式的识别缺位，说明常见技能掌握不到位；18题第（2）问多次强调的n=1验证问题依然没有得到很好的解决. 追根溯源：（1）具体学情的忽视. 即使是均分差不多的班级或学生也存在巨大的差异，其实D班文科类科目很强，理科类科目如数学、物理一直薄弱，这一基本差异的忽视，导致课堂的设计、进度、方式都同于理科较强的C班，显而易见会出问题. （2）教学设计的缺位. 就本题而言，平时的教学中相似的问题也算是反复练、练反复了，遗憾的是，大多数时候18题第（1）问的设问方法诸如“证明数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式”之类的，主观认为构造不大能考，于是课堂中最多就是干瘪地“即兴”带一句“若去掉证明，直接求通项怎么办”之类的几乎无效的问题. 换言之，相关的设计缺乏层次性、系统性、灵活性以及针对性训练.
（3）总结提炼的肤浅. 18题第（2）问的本质是由“和项式”求通项，求和问题的本质是求简意识和划归思想，在对结构的剖析归类、方法思想的提炼上做得不够，对“为什么要验证”的问题重复得不够，引导不透，导致在核心问题（通项求和）上练得不少但细节不好，讲得不少但效率不高.
应对策略：针对学情适调方式：D班需要教师多一些的引导讲授并给予充足的时间反思整理；设计题组专题攻克难点：针对构造法、由“和项式”求通项不熟，首项验证好忘等问题，系统设计针对性的小专题，以变式题组成的问题串和通项求和的常规技巧方法为主要方式和内容组织补偿性教学；复习教学中加大对数列的一些重要方法、重要公式、常用性质的教测力度，做到讲透练熟，并继续加强“通解通法”的教学，以提升数列知识的理解程度，提高复习效率.
对难度最大的14题和20题第（3）问，尽管卷面的统计看区别并不大，但若从实验班的角度衡量，教学中也存在诸多问题.
案例3：（14题）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*且a1，a2+5，a3成等差数列，则此数列的通项公式an=________.
（20题第（3）问）各项均为正数的数列{an}中，前n项和Sn=
2是否存在正整数m，k，使得am，am+5，ak成等比数列？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由.
14题平均得分0.3分，D班难度系数是0.06，属于很难的问题.
考查要点：14题其实属于类等比（差）数列，20题第（3）问属于数列中的整除问题，此类问题主要是数列与其他主干知识的综合问题的考查，是训练学生思维的很好的载体. 通过这些问题的解决，学生分析问题、解决问题的能力能得到较大的提高，往往是高考中的难点，多以压轴题的形式出现，对考生有很好的甄别与选拔功能.
问题分析：14题其实是2012年广东高考理科19题的第（2）问，“和项式”的初步处理问题不大，但n≥2的问题会干扰学生顺利求出an，即使得到an的递推关系式后，若构造技巧不娴熟或叠加应用不自如，则成功的可能依然很低. 20题第（3）问其实某种程度上属于难题中的常规问题，因为有迹可循，就统计发现，竞赛班里的系统讲授过的学生解答得就很好；反之，平时考试中虽涉及，但讲评后不系统归纳，不组织延伸拓展，不正确的主观引导等思想态度很容易误导学生失去对此类问题的关注与兴趣，久而久之，学生的能力得不到提升，优生的优势得不到体现. 总之，最大的问题笔者以为是教师专研的薄弱、导向的失误、设计的缺失.专研薄弱则眼界浅窄，导向失误则错失良机，设计缺失则无分无能.
应对策略：此类问题的解决不再是补题、补课的问题了，而是改变执教思路，针对学生的学情优化自身的教学理念.优生应该有优师，“优”要优在理念先进、专研深厚、设计精到，除了平时自己的积累，学习他人之长也不失为高效的法门. 只要关注和思考结合学情就会有收获，此类问题的精心设计必会点燃优生们的学习热情，能达到多重教学功效.
3. 其他分析
案例4：（19题）扇形AOB中，圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB与点P. （1）当OC=时求线段PC的长；（2）设∠COP=θ，求△POC面积的最大值及此时的θ值.
（17题）错位相减法求和问题.
问题分析：此两题两个班考试情况相对而言都比较好，究其原因，首先与此题相关的三角函数化简求值学生掌握得很好有关；其次与之类似的问题处理得比较扎实有关. 可概括为：专题突破、变式引领、先学后教、展示拓展、一题多解、多题一解、当堂整理、课后巩固等环节做得比较到位.
19题笔者有过较多的研究，其教学可概括为：专题以聚焦、题组以系统、变式以拓展、多解以开思、展示以破难、反思以升华.
题7（苏教版必修四第122页例5）：在半圆形（如圖2）钢板上截取一块矩形材料，怎样截取才能使这个矩形的面积最大？
图2
题8（苏教版必修四第121页思考）：在一个圆的所有内接矩形中，怎样的矩形面积最大？
题9（苏教版必修四第132页习题18）：如图3，在半径为R、圆心角为的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形MNPQ，使得点Q在OA上，点M，N在OB上，求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值.
图3
题10（2012南京二模）：如图4，现在要在一块半径为1，圆心角为的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在AB弧上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP=θ，平行四边形MNPQ的面积为S. （1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值及相应的θ的值.
图4
题11：如图5，在半径为R、圆心角为的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形MNPQ，使得点Q在OA上，点M在OB上，P，N在弧AB上，求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值.
而对于17题错位相减问题，同样精心做了针对性的设计，并集中进行了反复的训练，对于这样的程序性知识集中时间和精力专项突破效果较好.
[?] 感悟反思
1. 加强试卷基本层面分析的实效性
平均分、分数段、难度系数、区分度及其在相应的群体中的对比是有效分析试卷查找问题的基础. 笔者认为，数学教师至少应该知道一些基本的卷面分析评价知识并形成自己的分析模式，重要的是分析后的对策寻求和即时施教（进一步的研究可参考北京师范大学张英伯、曹一鸣教授主编的数学教育丛书中分册、马云鹏等教授编写的《数学教育测量与评价》等书），虽然不一定每次都必须如此分析，但对于大型的校月考联考、区市统考、中高考还是需要精确分析的，数据在精确分析后才有其更高的价值.
2. 重视教材的使用方式和挖掘层次
一方面，正如何睦老师所言：“关注教材的逻辑性价值以形成学科的‘大观念（如学完解三角形后可就目录引导学生：为什么学完三角函数后学向量，然后是三角恒等式和解三角形），帮助学生提高解题能力；关注教材的规范性（如本文题1、7）、拓展性（如本文题4、5、6、8）、探究性（如本文题2、6）价值以全面提升学生分析问题、解决问题的能力.”[5]另一方面，也可依照潘振嵘老师的“挖掘教材例习题的数学背景、变式功能（“一题多解”和“一题多变”，反思教学）和应用功能，激发学习兴趣、促进思维发展、培养应用意识”.[6] 思考如何使用教材，如挖掘时可从问题的数学史背景、几何背景、高考背景、美学背景等视角思考隐含价值，至于变式价值和应用功能的挖掘，只要多点思考大多总能从教材中理出线索，进而串成网.
3. 研究学情、教法、理论和解题
时间紧、任务重、进度急，几乎是我们一切问题的主要原因，而罔顾学情，不作分析，多凭经验的教学再结合殷希群先生所言“有效教学意识不强，自始至终盯住高考，策略准备不足，采用灌输（不过是谁灌输的差别）成绩与教学有效背后的兴趣和教育缺失和过度教学造成的低效、无效和负效”，或许是劳而无功的最好注脚.这就需要我们回归到教学的基本层面中来. 近些年，我们在各种活动中往往迷失了方向，回归意味着我们需要研究学情，摸透学情，在此基础上加强教育教学理论学习和解题研究，在深刻理解各种常用理论和常用教学模式（方式）、系统掌握知识方法的来龙去脉和相关载体问题的联结关系的前提下，选择合适的教法针对性地设计教学或许才能“帮助学生不断优化五个基本的学习环节：预习、上课、复习、作业、小结；帮助学生不断转变五种基本的學习方式：度、问、思、议、展；帮助学生不断地达到五种常态学习境界：懂、会、熟、巧、通”.[7] 最终不断地提升教学效果，达到学生和教师的共同发展.
参考文献：
[1] 马云鹏，孔凡哲，张春莉. 数学教育测量与评价[M]. 北京：北京师范大学出版社，2009，11：36
[2] 高中数学教学参考书·数学4（必修）[M]. 南京：江苏教育出版社，2012，7：138.
[3] 方均斌，梁凯，朱玲. 数学问题教学探索的五个探索点[J]. 数学教育学报，2016，25（1）：47-50.
[4] 陈小祥. 一道质检题引发的探究和反思[J]. 数学通讯，2014，11：46-49.
[5] 何睦. 例谈关注教材价值的若干视角[J]. 数学通讯，2014，11：9-11.
[6] 潘振荣. 摭谈对教材例、习题功能的深层次挖掘[J]. 数学通讯，2015，5：20-22.
[7] 殷希群. 怎样才能“把方法教给学生”[J]. 数学通讯，2012，5：1-2.
