数学教学中培养学生“错误观”的对策

2017-04-17王鹏飞

数学教学通讯·高中版 2017年3期

作者简介：王鹏飞（1964—），男，陕西商州人，正高级教师，陕西省教学能手，主要从事中学数学教育与研究工作.

[摘要] 在对学生“错误观”调查分析的基础上，倡导关注“错误”对数学学习的影响，采取积极有效的策略引导学生形成科学的“错误观”，这对数学学习中的“错误”问题进行本源治理具有十分重要的现实意义.

[关键词] 错误；错误观；教学对策

教学实践业已表明，错误率的高低是影响学生数学学力高低的关键因素. 不出错误或少出错误一直是教师和学生的共同愿望，但数学学习过程中错误的出现却难以避免. 犯错误并不可怕，重要的是如何客观地认识和对待错误，这显然是一个关乎“错误观”的重要问题.[1]

从学者方面来看，普遍存在不重视错误的教益，眼高手低，一听就懂，一看就会，一做就错，经常性地“看错、想错、算错、写错和抄错”. 部分学生屡错不改、屡改屡错的现象较为突出，怕错、怨错的不良心态也时常困扰着学生[1]. 因此，在数学教学中，采取有效策略引导学生形成科学的“错误观”，对数学学习中的“错误”问题进行本源治理具有十分重要的现实意义.

[?] 关注学生的学习理念，树立科学的“错误观”

学习方式的转变是新课程改革的重要理念，是提高学习质量的关键. 广大教师不但要关注学生的全面发展，关注学生的长期发展，关注学生发展的需求，关注学生发展中的个人尊嚴，还应关注学生的学习理念，关注学生发展中的富有个性的学习，特别应关注“错误”对学生数学学习的影响，逐步培养学生科学的“错误观”.

《学记》云：“教也者，长其善而救其失也.”这不只是对学生而言，也是对教师而言的. 因此，教师要广泛宣传数学学习中错误的价值，提高学生数学学习的价值观. 要把握“长善救失，因材施教”的原则，把握以错施教的有利时机，充分挖掘以错启智、以错启德、以错启美的功能，发挥错误的教育价值[8]. 积极引导学生辩证地认识数学学习中的错误的两面性、客观存在性、不可避免性和可转化性，使学生正确地对待错误，并逐步认识到错误是正确的先导，错误为真理的孕育准备了丰富的养料，错误为真理的诞生提供了必要的刺激与激励. 错误是真理发展的反推力，错误是探索真理的指示器. 笛卡尔说：“任何改正都是进步.”承认和修正自己的错误，那是站在真理方面与自己的错误做斗争，也是坚持真理的一种表现. 要做真理的主人，不要沦为错误的奴隶. 鼓励学生善于发现错误，勇于承认错误，及时修正错误，有效地利用错误，积极预防错误，树立科学的“错误观”.[1]

同时，教师要倡导学生不但要重视数学学习过程中的正确结果，而且要关注其错误的教益；不但要发挥接受性学习的优势，而且要倡导更为主动、积极的个性化学习方式. 积极引导学生要有不迷信、不盲从的质疑精神，并有信心挑战老师，“打倒”老师. 倡导学生做到“四敢”：敢想、敢说、敢问、敢笑；“四大”：大胆、大方、大声、大度. 教师要坚信成功的教学是学生自己学会的，不是教师教的.

[?] 实行开放创新教学，提高学生的创新能力

新课程改革方案特别强调要实行开放创新教学，主要表现为教育在时间、空间、内容、方法等方面的进一步拓展：①在时间上表现为教学要从学生未来发展的需要出发，在传授知识的同时，更要侧重于学生科学思维方法的获取和处理信息能力的培养，使学生在离开老师、离开学校以后仍具有获取知识方法的技能. ②在空间上表现为教学应与社会、生活、实践、工农实际广泛结合，要从教材内向教材外延拓、链接，接受有益的信息，拓宽知识视野，增强学生的动手能力. ③在内容上表现为通才教育，就是在教学中要加强学科之间的联系和渗透，增强综合性. ④在教学方法上要鼓励学生不畏师、不惟师、不惟书、不盲从，要敢于大胆质疑.[2]

1. 培育民主的教学氛围，鼓励学生挑战老师

作为教师，特别要关注的是如何适时恰当地介入学生的活动，尽可能少地去打扰、干涉他们的思考和探索，并充分地为他们提供合作讨论、发表意见的时间和机会，这是课堂教学中文化氛围营造的一个重要标志. 如果教学只能是一个计划、一种模式按部就班地进行，学生怎敢越雷池半步？

苏霍姆林斯基告诉我们：“能够把少年‘拴在你的思路上，引着他们通过一个个阶梯走向知识，这是教育技巧的一个重要特征. ”在教学过程中，借助多种方式和手段创设师生互动的情境，充分展现知识的发生、发展和形成过程，突出学生的主体地位，增强教学的民主性和开放性. 不要把学生当作教学的奴隶，要“有意”让学生给自己“找麻烦”“挑毛病”，向学生了解他们的喜好，不要顾忌“冷场”或担心课堂局面可能无法控制. 面对“我不想听”的挑战，应首先想到这反映了一个学习者的主体地位不能得到保证时的反判，拒绝被当作一个客观容器输入. 孔子曰：“学起于思，思源于疑. ”在课堂教学中，教师要允许学生质疑，不要把学生发现并指出自己教学中的问题看作是一件尴尬的事，甚至应鼓励他们敢于“异想天开”. 教师不仅不能求全责备，还应该鼓励学生敢于突破陈规，摆脱原有知识范围和思维定式的禁锢，把头脑中已有的知识信息进行重组，从而产生创造性的新发现、新设想，以培养学生的创新能力. 瑞士专家皮亚杰强调“教师的工作不是‘教给学生什么，而是努力构建学生的知识结构，并用种种方法来刺激学生的欲望. 这样，学习对于学生来说，就是一个‘主动参与的过程了”. 要做到这一点，教师只有摒弃封闭的“填鸭式”教学，实行民主的开放式教学，正确处理好以教师为主导、以学生为主体这二者的关系，以各种形式调动、激活学生的思维，才能为全面提高学生的综合素质创造出良好的条件.

怀特黑德曾说：“畏惧错误就是毁灭进步.” 处理错误的能力是学习能力的内容之一，正确地对待错误是树立创新意识和提高创新能力的保障. 随着新课程的运行，教师要调整自己的角色，改变传统的教育方式. 教师要由传统意义上的知识的传授者和学生的管理者转变为学生发展的促进者和组织者；由简单的教书匠转变为实践的研究者或研究的实践者；由教学活动的主角转变为学生学习的指导者、参与者和促进者. 教师要努力做到“书”让学生自己读，“问”让学生自己提，“果”让学生自己摘，“情”让学生自己抒，“话”让学生自己说，“写”让学生自己评；要引领学生“实话实说”“焦点访谈”，在“误”中“悟”，在“错”中“磋”，最大限度地让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增加，在“探究”中创新.

2. 进行“尝试错误”教学，增强学生对错误的“免疫力”[3]

美国心理学家桑代克（E.L.Thorndike）的以“刺激反应联结”和“试误”为主要特色的学习理论认为，学习乃一试误过程. “尝试错误”教学法就是基于此思想而设计的. 它以提高错误的教育价值为宗旨，坚持“以错攻错、以错施教、以反显正”的原则，其基本模式和操作程序如下：

“尝试错误”教学法的实质是，通过暴露学生学习过程中的错误，即为学生提供以“错误”为源泉的学习反应后刺激，使学生在重新尝试错误中审视、体验、反思所给予的“刺激”，引起“知错、改错、防错”的良性反应，从而建立起科学稳固的刺激反应联结.不言而喻，“尝试错误”不是鼓励和诱导学生重蹈覆辙，而是力图增强学生对错误的“免疫力”. 在操作上可分为局部尝试和整体尝试，应通过讲解、辩论、竞答、讨论等多种形式，充分调动学生积极主动地自我尝试、自我剖析、自我修正、自我反思.

（1）局部尝试法：就是提供给学生的尝试素材较单一，但尝试错误分散、及时. 教学时，可通过以下策略设置必要的教学情境，因错造势，制造思维冲突，把错误间接地暴露给学生，供学生尝试.

①设置“陷阱”，“诱使”学生得出错误；②重蹈学生的“歧路”，有意出现错误；③适时引入错误，引导学生独立评析错误；④一题多错，辨别、分析错误；⑤创设愉悦情境，寓错于乐.

（2）整體尝试法：就是提供给学生的尝试素材较系统，或一个、几个知识点的典型错误，或一个单元、一个章节的典型错误，面宽量大，综合性强，尝试时间集中.

①设计错误剖析课，在剖析中尝试错误；②科学设计错误辨析题，在习练中尝试错误；③加强诊断测试的总结，在讲评中尝试错误.[4]

[?] 充分暴露错误的思维过程，积极开展研究性学习

现代数学教学论认为，数学教学是数学思维活动的教学. 数学教学中并存着三种逻辑过程，即教师的教学过程、知识的发生发展过程和学生的思维过程. 暴露思维过程，就是如何描述思维过程及其产生的原因[12]. 鉴此，教师要充分关注错误的思维过程，以“错误”为素材，积极开展研究性学习. 要遵循暴露思维过程的原则，充分暴露学生思维的薄弱环节，一方面有利于对症下药；另一方面能使学生痛切地、突破性地认识到错误之所在，有利于学生在自查自理、自诊自治、自思自得中学会合理地调整思维方向，逐步不走或少走歧路. 通常有以下方法可供借鉴[5] ：

（1）点错反思法：直接把错误暴露出来，告知学生思维过程有误，要求学生在深刻省思中找出错误之所在.

（2）设置“陷阱”法：学生在“落入”和“走出”误区的过程中尝到了“陷阱”的滋味，吃堑长智，防御能力倍增.

（3）重蹈“歧路”法：教师可选准时机，有意按照学生的歧路适当出错，看看学生能否发现，了解学生的警戒程度.

（4）感知对比法：把学生在解答过程中出现的两种解法同时公布，进行分析、比较，以辨正误.

（5）集约辨析法：有些错误比较顽固，纠正后还会再犯. 教学中，应融合多种差错，集中暴露，组织学生积极参与辨析，挖掘致错根源，降低再错率.

（6）数学实验法：如“实验几何”“数学建模”“数学实验室”“数理综合课”“数学活动课”等，通过数学实验活动，有助于学生形成良好的数学经验和意识. 一方面是由于人们对数学本质的认识发生了变化；另一方面，依托迅速发展的计算机技术手段，使得数学实验变得更易实施，研究性学习也更加丰富多彩.

当然，“数学实验”更多的是思维实验，这就要求打破常规，多增加问题的探索层次. 因此，我们的教学要尽可能地还原知识形成的本来面目，在提升问题探索价值方面多下功夫，这也是研究性学习的一个重要课题.[6]

此外，教师可有意识地“笨拙”一点，经历一番磨难之后再找到真经，充分把自己在对某个问题的思考中走弯路以及将错误的过程毫不掩饰地暴露出来，向学生展示和恢复“研究”的本来面目；或结合数学史，暴露数学家挫折、失败的思维过程，让学生了解探索的艰辛和反复，体验研究的氛围和真谛；或让学生把自己学习过程中的错误整理结集在一起，保留错误的思维过程，成为学生犯错误思维过程真实记录的有效载体. 这种长时间的“暴露”能有力地提高学生对错误的警戒度.[5]

目前我们的课堂教学普遍存在着这样三个问题：①学生的活动完全由教师调控和支配，教师可以随时打断学生的思考和讨论，这样的活动只是形式上的，是为知识的传递服务的，谈不上民主，更体现不出主体意识. ②课堂上的提问也是完全在教师的主导之下，以低层次的推理性、记忆性问答为主，目的是检查学生是否接受了. 而“学问学问，贵在会问”，我们的学生会经常向你提问吗？③课堂的例题讲解或习题安排是以“小步、多练、勤反馈”为原则，也是在低层次上反反复复，学生所学到的除了模仿还有什么呢？缺乏个性和创意. 因此，在对错误的探究中，一定要坚持立足课堂，让每一个学生都成为“错误”的研究者；体验“错误”，让每一个学生都成为实践者；倡导合作，让每一个学生都成为参与者；突破传统，让每一个学生都成为探索者. 学生在了解数学知识特别是错误的思维产生的过程中，体验数学研究的过程和创造的激情，提高发现、提出、解决数学问题的能力，发挥自己的想象力和创新精神.[7]

[?] 发挥错误的教育功能，提高“错误”的教育价值[8]

数学作为一种文化，在认识上至少应包括三方面的内容：数学是一种知识体系，数学是一种研究活动，数学是具有人文功能的. 既然是一种知识体系，因此就有依托于科学知识之上的科学思想和信仰；既然是一种研究活动，就有贯穿于科学研究活动的科学精神和科学的审美能力；既然具有人文功能，因此就应具有与之相关的科学伦理准则. 从而将科学素质教育与人文素质教育很好地整合起来，使得数学教育也成为人文素质的教育，并使其内化为人的人格、气质、修养，成为人的相对稳定的、也是终身的内在的品质. 数学教育的价值体现在通过数学的思想和精神提升人的精神生活，培养既有健全的人格，又有创造、懂得生活的人，把传递人类文化的价值观念和伦理道德规范与传统数学知识有机地结合起来，以实现人文教育和数学教育的整合，这正是素质教育的价值取向，也是数学教育发展的必然.

数学作为探索真理的事业，还造成一种文化的独特的人格气质. 在数学的探索过程中，数学家尊重事实、实事求是的求实的精神，勇于坚持真理、敢于怀疑、自我否定的批判精神，勇于创新，为真理而献身的精神蕴含极其丰富的人文教育价值.[9]

1. 以错启智，发挥错误的智育价值

以错启智，是错误教育功能的核心. 对学生在数学学习中出现的多种多样的差错，教师应有足够的教学对策，力求避免和消灭它，帮助学生在知错、改错、防错中构筑起自己的知识体系.

（1）针对错误设置思维情境，有利于提高学生对错误的“免疫力”. ①以错误设置悬念，激发兴趣；②以错误设置问题，适时质疑；③以错误设置矛盾，正误比较；④以错误设置惊诧情境，促其反思；⑤以错误设置陷阱，尝试错误.[10]

（2）以错误构造错误剖析课，有利于强化正效应、遏制负效应.

（3）以错误设计辨析题，有利于进行改错的强化训练.[4]

2. 以错启德，发挥错误的德育价值

以错启德，主要是借助错误这一思想教育的极好素材，对学生进行“错误观”的形成教育、解题的心理素质教育，良好的学习习惯的养成教育，挫折教育等.

（1）利用错误，培养学生科学的“错误观”，这是错误转化整个过程的首要任务. 通过错误的有效利用，培养学生的辩证唯物主义观点，使学生辩证地认识“错误”：错误有使人倒霉的一面，也有使人取得教训的一面；错误认识与正确认识是数学认知活动中的一对矛盾，它们在一定条件下可以相互转化；对错误既要积极预防，力求做到“未雨绸缪”，又要敢于暴露错误、承认错误、及时改正，做好“亡羊补牢”的工作；既要创造条件避免和排除错误，又要化错为利，提高对错误的“免疫力”.

（2）利用错误，提高学生的心理素质. 对学生在数学学习中表现出的惰性思维和低级的心理素质，要加强积极的归因训练，教育学生不能怨错、怕错，不然就会削弱知错、改错、防错的意志和探索真理的本能；要不断地提高学生的心理素质，使学生热忱向错误挑战，并有能力独自走出误区.

（3）利用错误，培养学生的责任感、忧患意识和爱国主义精神；利用错误，培养学生严谨、周密和一丝不苟的学习习惯，培养学生勇于克服困难和善于克服困难，正直、诚实、不轻率盲从的道德品质；利用错误的社会学意义，对学生进行挫折教育.

3. 以错启美，发挥错误的美育价值

以错启美，就是根据审美教育的特征充分挖掘审美因素，使学生在对审美客体——错误的感知、理解、欣赏、评价（知错、改错、防错）中产生美感，在以错误设置的审美情境中产生一种愉悦的、倾向性的体验，自发产生求知渴望，轻松愉快地从感性向理性过渡，达到审美教育的目的. 在解题教学中，开展解题艺术的鉴赏活动激发数学美感. 以错误创设审美情境，激发数学美感：以错质疑，激发数学美感；立疑设障，激发强烈美感；适时点拨，激发较强美感. 利用悖题，追求数学解题奇异美.

[?] 加强错误的评价、诊断与治疗，对错误进行综合治理

1. 做好错误的科学诊断

在数学学习过程中，学生在整体或局部上掌握不够扎实的知识或技能——“缺陷”，涉及知识、技能和各个方面，一般归因于遗忘，理解偏差，知识的复杂性、灵活性、隐蔽性，定式思维引起的负迁移等，致使学生在后继学习中表现出不易提取、难以分辨等弱点. 因此，必须集中“缺陷”及时诊断，制定相应“补偿”教学，实施矫正训练. 教学实践表明，利用精心編制的诊断测试题反馈学生错误信息，诊断教与学效果，总结经验，可以强化正确、修正错误、找出差距，确定主攻方向，自我完善知识结构，最大限度地减少失误. 诊断性测试题的编制主要依据教师平时积累的教学经验、作业与试卷批改记录和学生交谈情况的“错误”信息汇总.[2]

（1）编制诊断测试题的原则.

诊断性测试题是以检查学生存在的问题为目的、检查过程着眼未来的检测. 诊断要准确可靠，有利于学生持续学习，编制诊断测试题必须坚持三条原则：

①针对性. 教师必须充分了解学生，针对学生学习中容易出错的问题设计题目，命题者必须能诊断出学生解决问题的缺陷，使得对学生任何一种错误的出现教师都能做出正确的分析.

②典型性. 问题的内容要有典型性，要巧设陷阱，不露破绽，切中要害.

③迷惑性. 诊断题要有一定的迷惑性，把错因相似的问题置于同一命题的情境中.

（2）诊断的三个层次

要根据学生学习过程中不同的错误类型，把握诊断的层次性.

①知识诊断. 学生在解决数学问题时常见的错误主要是对知识掌握得不牢固、不全面、不透彻，有的仅从字面上理解概念、公式与定理，遇到具体问题便感到束手无策；有的理解概念不全面，当考查熟悉的方面时得心应手，考查不熟悉的方面时则无从下手，只能盲目作答，靠侥幸取胜；有的对数学、公式、定理仅停留在教材中介绍的几个实例上，浅尝辄止，未能抓住本质做提炼升华，应用已学过的知识解决变式问题时便困难重重；有的注意了知识的共性，却忽视了知识的特殊性，甚至丢开了知识的适用范围和条件，时常误入教师设计的陷阱中. 中学数学知识方面存在的问题集中表现在以下诸方面：概念含糊，是非混淆；基础不牢，联系不上；挖掘不深，知识贫乏；理解不透，顾此失彼；综合能力弱，适应能力差；盲用规律，胡乱迁移；知识零乱，缺乏归纳等. 所以诊断试题必须有利于知识的巩固和开拓，有利于学生的自我调节和完善自身的知识结构.

②思维诊断. 正确的思维方法是驾驭知识的法宝. 就思维而言，学生在解决问题时常出现的问题有：考虑不周，挂一漏十；考虑不深，误入歧途；思维紊乱，表达疏漏；判断不准，推理不严；双基薄弱，不会分析；思维不活，缺乏机智；思辨不清，误入圈套；撇开条件，游离题外；忽视学科特点，思维障碍重重；辩证观不强，方法机械片面等. 所以诊断试题还必须有利于思维能力的培养，并使错误的思维方法得以纠正.

③心理诊断.任何错误都是有原因的，学生学习过程除知识性、策略性失误外，还有心理性失误. 比如有的看题不深入，审题不清楚，被表面现象所迷惑，表现出粗心大意、盲目冲动，一看就偏，抓不住要害；有的受旧知识、老方法的影响，产生负迁移；有的易被题中的气氛效应所左右；有的心理定式严重；有的过分自信；有的焦虑太重，期望过高，心理压力过大，表现出怯场心理. 凡此种种，都是心理不健全的表现. 因此，诊断题还必须有利于根治学生中的不良心理状况，在训练中不断加以“医治”.

2. 重视对错误的科学评价

对学生学习过程所犯错误不能简单地以“对”或“错”论之，而应既重视错误的最后结果，又不忽视犯错误的过程；既重视对错误评价的数量描述，又不忽视对错误过程的品质刻画；既重视对错误的静态管理，又不忽视对错误的动态调控. 这就要求教师在对错误的评价过程中，坚持评价错误的两个指标“品质标志——错误观”与“数量标志——错误率和再错率”并重，“动态”与“静态”评价相结合，建立科学的评价体系.

品质标志——错误观，主要评价学生对错误的认识和看法是否科学；数量标志——错误率和再错率，错误率主要评价在某个知识块（点）上出错的多少及错误的程度，再错率主要评价在已错点上再次犯错的多少. 在具体操作上，可建立学生个体的错误量化曲线图，某个群体、某个知识块（点）随时间变化的错误数量标准分布管理图，直观反映学生某个时期在某个知识块（点）上的错误的变化，有利于师生双方对错误的有效监管.

此外，教师要以培养学生科学的错误观、构建稳固的知识体系，减少错误率，提高“免疫力”为目标，在以下方面加以改革.

①改变传统提问方式，以“谁不能回答这个问题”“谁做错了，请举手”等反常规提问方式勇敢地暴露错误，引起学生重视错误，并唤起学生正视错误的勇气和信心；对回答错误或不完整的学生要热情地鼓励其“敢于回答问题的勇气可嘉，再想想”或“让我们一起听听其他同学的意见，好吗？”使学生感到犯错误不会被指责、唾弃，而是老师给予的尊重和重视，这种评价能极大地激发学生知错、改错的自觉性.[3]

②改革作业评价语言，给学生成功的空间. 传统的作业批改正确的打“√”，错误的打“×”，不能激发学生对错误的警觉，不利于培养学生自我检查、自我评价的能力；不能具体地指出错误出现的地方和原因，不利于学生准确迅速地找到错误并改正. 可以自行界定一些符号语言（如“√”表示正确，“--”表示答案不具体、不完整、不确切；“～～”表示走了弯路；像眼睛一样的符号“☉”表示不仔细；“？”表示有问题，等等）. 对以上符号不能表达的内容可写上具体有指导性、鼓励性的批语. 这种评价有利于强化学生认真细心、一丝不苟的观念，为他们提供再次成功的机会.[11]

另外，对同一个问题的解答如果两名学生都是错误的，要具体说明在关键步骤的第几步出现错误，正确步骤占本题整个步骤的比重，从而描述其错误的不同程度，有利于从量上刻画同一错误的错误程度的差异.

③评价方式上，应采取学生自评、学生互评、师生合评、教师点评等多种形式，使对错误的评价多元化、多样化.

④评价时机上，坚持即时评价与延时评价相结合，短期评价与长期评价相结合. 如建立错误集锦本保留错误，作为长期评价的素材等.

⑤评价原则上，突出错误评价的主体性（以学生评价为主）、差异性（不同学生、不同类型错误区别对待）.

3. 提供有效的防錯策略

对错误，一要积极预防，教学中，教师要根据经验做好预测差错的工作，并采取得力措施加强易错、易混知识点的教学，努力做到未雨绸缪，防患于未然；二要善于利用，知错、改错实质是预防学生再错、有效利用错误的重要手段，通过剖析、修正错误，研究差错发生的特点与规律，掌握预防策略，这是化错为利的根本宗旨.[12]

一般地，排除错误不能就错改错，不计其余，而在于透过错误的表象，发现错误的实质和导因. 要从实质上纠正错误，从导因上消除隐患，而错误的具体表现则应尽可能地让学生自己来纠正. 同时，要通过对错误的剖析和纠正，力求转化“失误者”的心态，逐步消除学生不良的思维习惯，加强积极的归因训练，提高知错、改错、防错的心理素质，使学生获得成功的勇气和信心，热忱向错误挑战，并有能力独自走出误区. 教师应使学生切记：知之愈深，正之愈易. 要把知错的希望留给学生，使他们在自知中明，知错中改，改错中防.[12]

（1）加强检验环节，提高解题的正确率[13]

著名数学教育家·波利亚在他的“四步解题法”的“实现计划”和“回顾”两步中都强调要“检验每一步骤”，并指出：“如果学生在实行其计划的过程中检验每一步骤就可以避免许多错误. 如果学生不去重新检查或重新考虑已完成的解答，则可能失去某些最好的效果.”教学中，“教师必须坚持让学生检查每一步骤”，要引导、鼓励学生根据自己的知识范围、题目特点、时间许可度，有目的地选择和寻找更切合实际的检验方法，让“学生应当真正地相信每一步骤的正确性”. 检验的常用方法有：代入法；另解法；赋值法；图示法；逻辑分析法；反例法；估值法；比较法；常识法；量纲法；综合法.

（2）讲究改错策略，提高修正错误的能力[14]

改错要遵循适时性原则、分类性原则、差异性原则、自主性原则，讲究改错策略，并从中总结经验教训，积极预防.

①对错误预设所造成的永久性失败，可考虑以下策略：为了提高学生对事物深刻的洞察力和总体把握感，加深对数学基本概念的理解，积累丰富的解题经验，教师可引导学生进行病题诊治. 对数学问题中存在的一系列或明或暗的异常征兆，要善于捕捉、收集和综合分析，找出病题的症结，修正题目预设，进行新的探索，以取得新预设下的成功. 在多方诊治病题中，要坚持保留原题风貌的原则，采取简单易行的方法，重新构建问题内部各因素之间的“正相关”，解决其内部矛盾，求得妙手回春之效.

②对正确预设下的暂时性失败，可考虑以下策略：因解题思路错误造成的暂失败，可“另辟蹊径”，即放弃原来的思路，选择新的思路，沿着新的思路进行新的探索，以取得新思路下的成功. 正确思路下出现的暂失败，可“扫清障碍，继续前进”，即从解题细节上一步步地查找和排除错误，不断完善解题过程，直到最后取得成功.

（3）加强归因训练，提高心理适应的能力[3]

学生的年龄特征、性别和数学认知能力的差异，常造成错误归因上的差异：积极归因型或消极归因型. 归因类型会直接影响学业成绩. 心理研究表明，失败更能使女性产生羞愧. 在学校中，羞愧能引起学生的畏缩，当他们犯错误时，女生比男生更倾向于责备自己. 可见，男、女生对错误的感受性存在明显差异，这就要求教师在学生错误转化过程中，对男生与女生，好、中、差不同层次的学生所犯错误要因人而异，全面照顾，为学生提供参与、讨论、展现思维过程的空间和机会，鼓励学生大胆暴露错误的思维过程，通过学生的心理调适，加强积极的归因训练，提高错误转化能力和创新能力.

参考文献：

[1] 王鹏飞. 数学教学中对错误的有效利用[J]. 中学数学教学参考，1994（7）：11-13

[2] 王鹏飞. 作业批改谈[J]. 中师教育研究，1994（3）：47

[3] 王鹏飞. 解题中错误的基本类型及改错策略[J]. 中学数学教学参考，1994（10-11）：74-77

[4] 王鹏飞. 反例的思维过程及构造策略[J]. 中学数学教学参考，1995（6）：38-40

[5] 王鹏飞. 检验数学题解的常用方法[J]. 中学数学教学参考，1995（8-9）：43-46

[6] 王鹏飞. 错误辨析题的功能与设计[J]. 中学数学教学参考，1995（10）：29-31

[7] 王鹏飞. 针对错误设置教学情境，促使有效转化[J]. 中学数学， 1995（7）：6-9

[8] 王鹏飞. 错误在数学中的教育价值浅析[J]. 商洛师专学报，1997（4）：26-30

[9] 王鹏飞. 解立体几何题常见错误剖析[J]. 中学数学教学参考，1997（4）：46-47

[10] 王鹏飞. 关于错误思维过程的暴露与纠正[J]. 数学教学，1998（3）：26-28

[11] 王鹏飞. “尝试错误”教学法初探[J]. 中学数学教学参考，1998（7）：9-11