线性代数在解析几何中的应用

内蒙古师范大学数学科学学院(010022) 张 靖 ●

线性代数在解析几何中的应用

内蒙古师范大学数学科学学院(010022) 张 靖 ●

行列式、矩阵和线性方程组是线性代数中最基础也是最重要的内容，利用线性代数这三个代表性的知识来解决解析几何中的问题，不但能使问题简化，而且可以加深代数与几何的相互渗透．

行列式;矩阵;线性方程组

线性代数的起源是求解线性方程组，在17世纪，笛卡尔和费马在几何空间引入了坐标系，从而建立了几何和代数的一座桥梁．通过解析几何，线性代数得以被具体表示．线性代数与空间解析几何是相互联系、相互促进的．可以更确切的一点是空间解析几何是线性代数的基石，而线性代数是空间解析几何的推广并使之抽象化．

一、行列式在几何中的应用

定义1 设向量c由两个向量a，b按下列方式定义:

向量c叫做向量a与b的向量积，记作c=a×b．

向量积c=a×b可用三阶行列式表示:

一、求三角形面积

例1 已知三角形ABC的顶点分别是A(1，2，3)、B(3，4，5)和C(2，4，7)，求三角形ABC的面积．

解 根据向量积的定义，可知三角形ABC的面积

二、证明向量位置关系

定理1 三向量a、b、c共面的充分必要条件是它们的混合积［a b c］=0，即

例2 已知A(1，2，0)、B(2，3，1)、C(4，2，2)、M(x，y，z)四点共面，求M点的坐标x、y、z所满足的关系式．

三、求平面方程

例3 求过三点M1(2，－1，4)、M2(－1，3，－2)、M3(0，2，3)的平面的方程．

根据平面的点法式方程得所求平面的方程为14x+ 9y－z－15=0．

二、矩阵在几何中的应用

1．矩阵的秩的应用

定理2 已知平面 π1:A1x+B1y+C1z=D1与平面π2:A2x + B2y + C2z = D2，设 线 性 方 程 组的系数矩阵为A，增广矩阵为，则

例4 判断两平面x－y+2z－6=0，2x+y+z－5=0的位置关系，如果相交求出两平面的夹角．

通过矩阵的线性变换得

则秩(A)=2;

则秩(A)=2，所以两平面相交．

二、正交矩阵的应用

例5 已知xOy平面内一个点P(x，y)，当点P逆时针旋转角度φ时得到新的点P'，求点P'的坐标．

三、线性方程组在几何中的应用

1．齐次线性方程组存在非零解的应用

定理3 n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式等于零．

例6 设一平面经过原点及点P(6，－3，2)，且与平面π1:4x－y+2z=8垂直，求此平面的方程．

解 由于所求平面π经过原点，所以其方程可设为Ax+By+Cz=0，这里平面π的法向量n=(A，B，C)．因为平面π与平面π1垂直，所以有4A－B+2C=0．

联立这三个方程得到一个关于未知数A，B，C的三元方程组，根据题意知A，B，C中一定有一个不为零，即方程组有非零解，那么，计算这个三阶行列式

即得平面π的方程为2x+2y－3z=0．

2．克莱姆法则的应用

例7 已知三个平面分别为π1:x－y－z=2，π2:2xy－3z=1，π3:3x+2y－5z=0．判断这三个平面是否相交于一点，如果是，请求出交点坐标．

(法一)解 如果这三个平面相交于一点，即说明联立这三个平面所得三元线性方程组有唯一解，即求解线性方程组

因为方程组的系数矩阵的行列式

那么应用克莱姆法则可知方程组有唯一解，并且

(法二)应用逆矩阵方法．

解 线性方程组的矩阵形式为Au=b，这里A为方程组的系数矩阵，u为未知数列矩阵，b为常数项列矩阵．因为系数矩阵的行列式所以系数矩阵A可逆．那么u=A－1b

［1］同济大学数学系．高等数学［M］．北京:高等教育出版社，2014．

［2］冯锡刚．解析几何中矩阵的秩的应用［J］．教学管理与科研，2000(1):60－61．

［3］同济大学数学系．线性代数［M］．北京:高等教育出版社，北京，2014．

［4］潘杰，苏化明．齐次线性方程组有非零解的几何应用［J］．高等数学研究，2013，16(1):34－35．

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