脉冲微分系统的等度积分φ0-稳定
2014-07-24王培光刘晓静
王培光,刘晓静
(1.河北大学 电子信息工程学院,河北 保定 071002;2.河北大学 数学与计算机学院,河北 保定 071002)
本文利用锥值Lyapunov函数和比较方法讨论了如下脉冲微分系统零解的积分φ0 -稳定性:
和它的扰动系统
其中f,h∈PC[R+×S(ρ),Rn],Ik,Mk∈C[S(ρ),Rn],f(t,0)=h(t,0)=Ik(t,0)=Mk(t,0)≡0,0≤t0<t1<t2<…<tk…,limk→∞tk=∞,k=1,2,….
近年来积分稳定性理论得到了快速发展[1-6],但是,到目前为止关于积分φ0 -稳定性的研究并不多见[7-9].本文主要讨论了脉冲微分系统零解的等度积分φ0 -稳定性.
1 预备知识
定义1 Rn中的子集K 称为锥,如果满足如下条件:(i)λK⊆K,λ≥0;(ii)K+K⊆K;(iii)K=(iv)K0≠Φ;(v)K∩(-K)=0,其中,K0及∂K 分别表示K 的闭包,内部和边界.
定义2 称集合K*={φ0:φ0∈Rn,对任意x∈K,(φ0,x)≥0}为K 的伴随锥,如果K*满足定义1中条件(i)-(v).
通过以上定义可得x∈∂K 当且仅当存在φ∈K*0,K0=K-{0},(φ,x)=0.
为方便起见,给出如下函数类:
S(ρ)={x∈K:‖x‖<ρ,ρ>0}.
K={b∈C[[0,ρ),R+],b(0)=0,且b(r)关于r是严格递增的}.
PC={f:R+×S(ρ)→Rn在区间(tk,tk+1]×Rn上连续,且极限存在}.
下面利用比较方法研究脉冲微分系统零解的等度积分φ0 -稳定性准则.为此,考虑如下比较脉冲微分方程
和它的扰动微分方程
其中g∈PC[R+×R+,R+],p(t)∈PC[R+,R+],Jk,Nk∈C[R+,R+],R+=[0,+∞),g(t,0)=Jk(t,0)≡0,0≤t0<t1<t2<…<tk…,limk→∞tk=∞,k=1,2,….
下面给出函数类V0的定义:
V0={V(t,x)∈PC[R+×S(ρ),K]:V 在(tk,tk+1]×S(ρ)上连续2,…,V(t,x)对任意的t关于x 满足局部Lipshitzian条件}.
定义3 设V∈V0,定义
定义4 称系统(1)的零解
(IS1)是等度积分φ0 -稳定的,如果对任意α≥0,t0∈R+,存在函数β(t0,α)≥0,其中β在t0上是连续的,α,β∈K,使得当φ0∈,(φ0,x0)≤α,T>0.
有(φ0,x*(t))<β,其中x*(t)=x*(t,t0,x0)是系统(2)的右行最大解.
(IS2)是一致积分φ0 -稳定的,如果(IS1)中的α,β都与t0无关.
(IS3)是φ0 -吸引的,如果对任意的ε>0,α≥0,t0∈R+,存在函数β(t0,α)≥0,其中β在t0上是连续的,T=T(t0,α,ε),γ=γ(t0,α,ε),使得当φ0∈K*0,(φ0,x0)≤α,T>0,
有(φ0,x*(t))<ε,t≥t0+T,其中x*(t)=x*(t,t0,x0)是系统(2)的右行最大解.
(IS4)是一致φ0 -吸引的,如果(IS3)中的T,γ都与t0无关.
(IS5)是等度渐近积分φ0 -稳定的,如果(IS1),(IS3)都成立.
(IS6)一致渐近等度积分φ0 -稳定的,如果(IS2),(IS4)都成立.
注1 称系统(3)的零解是等度积分稳定的,如果对任意α≥0,t0∈R+,存在t0上连续的函数β(t0,α)≥0,α,β∈K,使得当‖x0‖≤α,T>0,
有‖x(t)‖<β,t≥t0,其中x(t)=x(t,t0,x0)是系统(4)的解.其他积分稳定定义可以类似给出,不再赘述.
为得到主要结果,可有如下引理.
引理1 令φ0∈,V∈V0,g∈PC(R+×R+,R+),Jk(x)是单调非减的,若下列条件成立:
(L1)D+(φ0,V(t,x))≤g(t,(φ0,V(t,x))), t≠tk,
(L2)(φ0,V(t+,x+Ik(x)))≤Jk(φ0,V(t,x)), t=tk,
(L3)(φ0,V(t0,x0))≤u0, k=1,2…,
则(φ0,V(t,x(t)))≤u*(t),t≥t0,其中u*是系统(4)的右行最大解.
证明:令m(t)=(φ0,V(t,x)),因为m(t0)≤u0,通过第二比较定理[10],有
又由Jk(x)单调非减及引理1(L2),条件(5)得
可得m(t)≤u*(t),t0≤t≤t2.
由数学归纳法知
2 主要结果
定理1 假设V(t,x)∈V0,引理1的所有条件都成立并且满足下列条件:
则系统(3)零解的等度积分稳定蕴含系统(1)零解的等度积分φ0 -稳定.
证明:因为系统(3)的零解是等度积分稳定的,则对α≥0,t0∈R+,存在β(t0,α)≥0,α,β∈K,使得当T>0,
其中u*(t)=u*(t,t0,u0)是系统(4)的右行最大解.
令‖h(t,x*)‖=M1p(t),‖Mk(x*)‖=M2Nk(u),其中M1,M2>0为常数,u0=(φ0,V(t0,x0)),φ0∈,因此
其中x*(t)=x*(t,t0,x0)为系统(2)的右行最大解.
由引理1知
由引理1的条件(L1)和定理1的条件(H2)可得
对φ0∈,由式(9),(10)得
因此通过条件(H1)和不等式(7),(11)得
令α*=min{α,M1α,M2α},当T>0,
有(φ0,x*)<β*.因此系统(1)的零解是等度积分φ0 -稳定的.
定理2 假设V(t,x)∈V0,引理1的所有条件都成立,定理1的条件(H2)成立,φ0∈K*0,(t,x)∈R+×S(ρ),且还满足下列条件:
(H3)a((φ0,x))≤(φ0,V(t,x)),a-1(q)=q,a∈K,
(H4)b(‖x‖)≤(φ0,V(t,x)),b∈K,
则系统(3)零解的等度渐近积分稳定蕴含系统(1)零解的等度渐近积分φ0 -稳定.
证明:因为(H3)蕴含(H1),系统(3)的零解是等度渐近积分稳定的,首先,由定理1知系统(1)的零解是积分φ0 -稳定的.其次,系统(3)的零解是吸引的,对ε>0,t0∈R+,存在
α=α(t0)>0,T=T(t0,ε)>0,γ=γ(t0,α,ε),
使得当u0≤α,
其中u*(t)=u*(t,t0,u0)是系统(4)的右行最大解.
当(φ0,V(t0,x0))≤u0时,有‖x‖→0(t→∞).
假设上式不成立,则存在一个序列{t(n)},t(n)≥t0+T,使得当t(n)→0(t→∞)时,有
由引理1得
由(H4),式(12),(13),(14)得
b(ε)≤b(‖x(t(n))‖)≤(φ0,V(t(n),x(t(n),t0,x0))≤u*(t(n),t0,u0)<b(ε),
产生矛盾,因此‖x‖→0(t→∞),从而有(φ0,x)→0(t→∞).
令‖h(t,x*)‖=N1p(t),‖Mk(x*)‖=N2Nk(u),其中N1,N2>0为常数,因此
其中x*(t)=x*(t,t0,x0)是系统(2)的右行最大解.
令γ*=min{N1γ,N2γ},当T>0,
时,有(φ0,x*)<ε.因此系统(1)的零解是等度渐近积分φ0 -稳定的.
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