基于认知结构迁移理论下的一道课本习题的教学

山西省长治学院附属太行中学(046011) 郭永芳 ●

基于认知结构迁移理论下的一道课本习题的教学

山西省长治学院附属太行中学(046011) 郭永芳 ●

根据奥苏贝尔的有意义学习理论，学生原有的认知结构中可利用的知识经验越多，越有利于学习的迁移．在一道解析几何习题的教学中，笔者想通过改变教材呈现的方式，改进学生的原有认知结构，进而达到促进学习迁移的目的，即学生对曲线方程求解方法的进一步学习和掌握．

认知结构;迁移;曲线方程

在现行的人教A版教材选修《数学2—1》的第37页有一道课后练习:如图，已知点C的坐标是(2，2)，过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B．设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程．

这道题出现在求曲线方程这一节中，课本两个例题的目的都是要求学生逐步掌握求曲线方程的一般步骤:建立直角坐标系——设点的坐标——写动点满足的等量关系——列出式子——化简式子——证明(可省略)．用这样的方法步骤可求解的曲线方程是有局限性的，即并不是所有的曲线方程都可以用这种方法求．事实上，求曲线方程的方法还有另外几种，但是课本中并没有涉及，但在课后命制了这么一道练习题，我便以这道题为载体，让学生在原有认知结构的基础上，通过这道题的教学，学习和掌握曲线方程的其他求法，以达到学习的迁移．

课堂上在讲授这道题的时候，我先让学生读题，并让他们思考如下问题:

1．这道题已知什么，要求的是什么?

2．点M满足的几何等量关系是什么呢?

3．观察图形，你还能发现哪些几何关系呢?

4．点M的坐标与点A，B的坐标有什么关系?

5．如何求解这道题，你有哪些方法?

学生原有的知识是求曲线方程的一般步骤，还有平面几何中直角三角形知识．经过思考，学生回答如下:

1．已知点C的坐标，CA⊥CB，M是AB的中点，求点M的轨迹方程．

2．因为CA⊥CB，所以△CAB是直角三角形，M是斜边AB中点，可得

∴∣CM∣=∣OM∣．

4．设M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)．

∵ M是AB中点，则因为学生刚学过课本上讲的求解曲线方程的一般步骤，他们首先想用一般方法解这个题目，所以自然而然地就这样回答第5个问题．

5．解:设点M(x，y)，A(2x，0)，B(0，2y)．

∵∣CM∣=∣AB∣，∴化简得x+y－2=0．

∴点M的轨迹方程是x+y－2=0．

在老师提供的问题3的提示下，有一个学生立刻想到第二种解法:

解法2 设点M(x，y)．∵AB是两个直角三角形△CAB和△AOB的公共斜边，M是AB中点，∴∣CM∣=∣OM∣．∴化简得x+y－2=0．

我给学生总结:这两种方法都是利用点M满足的几何关系列方程，然后化简得出曲线方程，这种方法我们叫做直接法．

学生原有的认知除了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，还有的同学想到勾股定理，于是又有学生指出第三种解法:

解法3 ∵C(2，2)，A(a，0)，B(0，b)，△CAB是直角三角形，∴∣AB∣2=∣AC∣2+∣BC∣2，

∴a2+b2=(a－2)2+(b－2)2化简得a+b=4(*)．

由问题4得a=2x，y=2b，代入*式，得x+y－2=0．

此解法先得到a，b满足的关系式，然后找到a与x，b与y的关系，再代入而得方程，这也是求曲线方程的一种方法，叫代入法，也叫相关点法．

重新读题目，再看已知条件:过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B．也就是说点A是CA与x轴的交点，点B是CB与y轴的交点，那能不能求出直线CA，CB的方程，再求点A，B的坐标，从而得点M的坐标．于是第四种解法是:

解法4 设AC的斜率为k．

(1)当k不存在时，A(2，0)，B(0，2)，M(1，1)．

(2)当k存在时，直线CA的方程是:y－2=k(x－2)．

(1)中点M的坐标也适合方程x+y－2=0．

此解法是把M点的横、纵坐标都用同一个参数k表示出来，然后消去参数后得x，y的关系即为点M的轨迹方程，叫参数法．

学生原有认知是:会求直线的方程，上述解法学生是可以接受的．可能是老师的解法刺激了某些学生，他们的积极性被调动起来，纷纷寻找本题的其他解法．其中有一个学生这样求解:

解法5 ∵∠O+∠C=180°，∴A，C，O，B四点共圆．

∵∠ACB=90°，∴AB是圆的直径．

∵ M是AB中点，∴M是圆心．

设M(a，b)，则圆M方程是(x－a)2+(y－b)2=r2．将O(0，0)，C(2，2)代入圆的方程，消去r得a+b－2=0．

即点M的轨迹方程是x+y－2=0．

这种解法抓住了本题的又一个几何特征，在学生原有认知判断四点共圆的方法和圆的方程的基础上顺利得解本题，也不失为一种好方法．

美国心理学家奥苏贝尔认为，原有的认知结构对于新的学习始终是一个最关键的因素．他说:“我们应当根据学生原有的知识状况去教学”．至此，我们用了5种方法解本题，每种方法都是建立在学生原有认知结构的基础上进行的，运用已有的知识经验和作出结论，学生就可以将新知识和新信息融入进去，而且学生原有的认知结构中可利用的知识经验越多，越有利于学习的迁移．

［1］钟毅平，叶茂林．认知心理学高级教程［M］．合肥:安徽人民出版社，2010

［2］罗增儒．中学数学课例分析［M］．西安:陕西师大出版社，2003．

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