范德蒙德行列式在行列式计算中的应用

侯丽芬

【摘要】范德蒙德（Vandermonde）行列式是一類重要的行列式，本文结合实例讨论了范德蒙德行列式的计算，以及如何将一些特殊的行列式化为范德蒙德行列式进行计算，以减小计算量，提高计算效率.

【关键词】范德蒙德行列式;行列式计算

行列式的计算是线性代数中的重要内容，范德蒙德行列式是一类特殊的行列式，它具有独特的标准形式及简明的计算结果.本文从范德蒙德行列式的计算结果出发，结合行列式的计算性质，讨论了将一些特殊的、类似于范德蒙德行列式的行列式转化为范德蒙德行列式进行计算，最终化繁为简，使解题达到事半功倍的效果.

下面结合实例说明一些特殊行列式的计算方法.

1.直接利用范德蒙德行列式的结果计算

分析 该行列式是一个四阶范德蒙德行列式，其中a1=1，a2=2，a3=3，

2.利用行列式的性质计算

（1）提取公因式法

分析 该行列式中各列元素都分别是一个数自上而下按升幂顺序排列，方幂次数都是从1到n.如果分别提取各列的公因数，则方幂次数便成为从0到n-1，得到一个标准的n阶范德蒙德行列式，其中a1=1，a2=2，…，an=n.

（2）行、列变换法

（3）升阶法

例4 计算n阶行列式

分析 根据n阶行列式Dn的特点，通过加边的方法添加一行一列.在第n

行与第n-1行之间加入含有an-1i（i=1，2，…，n）的一行，再加入相应的一列1，b，b2，…，bn，构造一个（n+1）阶范德蒙德行列式Dn+1间接求出Dn.

解 加边，作（n+1）阶范德蒙德行列式.

（4）拆项法

例5 计算n阶行列式

（5）拉普拉斯展开法

例6 计算行列式

（6）行列式乘积变换法

例7 计算n阶行列式

分析 由行列式的乘法规则可以将Dn化为两个范德蒙德行列式的乘积.

【参考文献】

[1]王萼芳，石生明.高等代数（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]郑大川，吴瑞武.线性代数与概率论[M].北京：中国农业出版社，2012，01.

[3]杨艳丽.范德蒙行列式及其应用[J].数学学习与研究：教研版，2015（9）：136-137.

[4]牛海军.范德蒙行列式在行列式计算中的应用[J].中国科教创新导刊，2008（17）：140.