不等式在高中数学解题中的应用总结

江苏省兴化中学高二(17)班(225700) 沈晨航 ●

不等式在高中数学解题中的应用总结

江苏省兴化中学高二(17)班(225700) 沈晨航 ●

例如求函数的定义域、值域，求函数的最大值、最小值、极大值、极小值以及判定函数的单调性和有界性，讨论方程根的问题等等．在解题过程中，利用不等式求解出未知量的关系，然后针对这些关系进行讨论，最后得出未知量的值或者范围．

不等式;最值;实际问题;应用

不等式是高中数学中一个非常有用的工具，可以解决好多问题．在进行解题时，我们首先要根据题目所给信息列出不等式，在解出不等式之后进行控制变量、分类讨论，最后求解．下面是我对不等式在解题中应用的总结．

一、利用不等式求解最值

在运用基本不等式的时候一定要熟记“一正、二定、三相等”的条件，在实际中的解题技巧主要是:“拆项”、“添项”、“配凑因式”．

例1 已知a＞0，b＞0，a+b=1，求y=(a+1/a)(b +1/b)的最小值．

在阅读这道题的时候，看到“a+b=1”的条件我就首先想到了利用均值不等式a+b＞=2(a+b)1/2进行求解，得出ab≤1/4．

原式=(a+1/a)(b+1/b)=(a2+1)/a·(b2+1)/b =［(ab－1)2+1］/ab(中间步骤省略)．

最终得出:(ab－1)2+1≥25/16．如此，我就利用了不等式求得了该表达式的最小值．同时需要强调一点，使用均值不等式时一定要注意两个等号成立条件是否相同，如果两次条件不相同，则取不到最值．

例2 已知正数x，y满足x+2y=1，求1/x+1/y的最小值．

分析 在此题中，我们灵活运用“1”的代换．在利用不等式进行解题的过程中，常常将不等式“乘以1”、“除以1”或者是将不等式中的某一个常数用等于1的表达式进行代替．在本题中，可以将分子中的1用x+2y来代替，或者是将式子1/x+1/y乘以x+2y．同时需要强调一点，直接利用均值不等式来求解是错误的，因为此时无法满足取等条件．

二、利用不等式求解实际问题

在很多数学实际应用题中，因为题目中有很多未知量以及限制条件，有的时候从不等式的角度来考虑进行求解是比较方便快捷的．

例1 (1)在面积为定值的扇形中，当半径是多少时，扇形的周长最小?

(2)在周长为定值的扇形中，当半径是多少时，此时扇形的面积最大?

解析 设扇形中心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则S=(lr)/2=(αr2)/2，其中l=rα．

(1)此时S为定值，则α=2S/(r2)．所以扇形的周长p=2r+l=2r+rα=2r+2S/r≥4S(1/2)．当r=S1/2时，等号成立．所以当半径是S1/2时扇形周长最小．

例2 如图所示，设矩形ABCD(AB＞AD)的周长为24，把矩形沿着AC折起来，AB折过去之后，交DC于点P．设AB=x，求三角形ADP的最大面积以及相应的x值．

分析 题目中要求求三角形ADP的最大面积，首先我们要写出三角形ADP的面积表达式．因为AD=12－x，关键在于要把DP用x表达出来．从图中可以看出，DP= PB'，AP=x－DP，因此可以在三角形ADP运用勾股定理，列出等式，可以将DP用x表达出来．

例3 水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹和河虾的混合养殖，他了解到了以下情况:1．每亩地水面年租费用为500元．2．每亩水面可在年初进行混合投放，可投放4公斤大闸蟹苗和20公斤虾苗．3．每公斤蟹苗的价格是75元，其饲养费用是525元，当年可获得1400元收益．4．每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用是85元，当年可获得160元收益．问:(1)水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面虾蟹混合养殖的年利润(利润=收益－成本);(2)李大爷现有资金25000元，他准备在向银行贷款，但不得超过25000元，用于虾蟹混合养殖．一直银行贷款年利率为10%，试问李大爷应租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使得年利润达到36600元?

解析 第(1)问略．(2)设租a亩水面，向银行贷款4900a－25000元，收益为8800a，成本=4900a≤25000+ 25000，解得约为a≤10．20亩．这时进行验证，利润 = 3900a－490a+2500=36600，3410a=34100，因此李大爷要租10亩水面．

三、柯西不等式在解题中的应用

柯西不等式常用的有:(1)证明不等式;(2)求函数最值;(3)求解方程组．

其中利用柯西不等式来证明其它的恒等式，主要是要利用柯西不等式的取等条件来解题，或者是利用它进行从两边夹、逼进行证明．利用柯西不等式来解方程组(无理方程)，首先把含有无理式的方程利用柯西不等式来化成不等式，然后再根据原有的方程把它化成等式．在判断等号成立条件之后，从而得到和原方程组同解、但比原方程组的无理方程要简单的整式方程，进而进行求解．

从上面的例题可以看出，不等式在高中数学中的应用很广泛，同时也在数学竞赛中频频出现．因此，我们要熟练掌握用不等式进行解题的方法，培养自己能够灵活转化的能力，从而在数学的学习中取得比较优异的成果．

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