模型思想：一个具有丰富意义的数学概念

徐冬梅

[摘 要] 从数学建模到模型思想的提出，是数学教育理念的一大发展. 从初中数学教学实践的角度来看，发掘模型思想的重要意义有助于数学教学有效性的落实. 教师要理清从数学建模到模型思想的嬗变，要从培养数学建模意识并促进其应用的角度让学生在实践中逐步形成模型思想. 用数学思想来指引数学教学，可以成为初中数学教学的基本认识之一.

[关键词] 初中数学；数学建模；模型思想；意义发掘

关于模型，对于初中数学教学来说并不是一个新概念，在数学抽象、数学建模等讨论当中都有这样的一些提法；至2011年版的《义务教育数学课程标准》的颁布，“模型思想”作为一个正式的数学教学指导思想被正式提出. 众所周知，在汉语语境里，当一个概念被提高到“思想”的角度时，往往意味着这个概念具有十分丰富的意义. 新的课程标准颁布以来，笔者通过教学观摩以及数学报纸杂志的阅读，持续对模型思想进行关注. 这些年的观察表明，模型思想作为一个概念，已日益为数学教师所熟悉，而在课堂上的具体体现，则出现了百花齐放的状态，当然，其中也出现了并不罕见的贴标签的情形. 基于这样的实际，笔者以为当下仍然需要对模型思想的丰富意义作一个深度发掘，以对一线教师的教学有一个更好的意义参考.

从数学建模到模型思想

模型思想被正式提出之前，人们谈论得更多的是数学建模. 当然，在模型思想概念出现之后，数学建模仍然是一个讨论的热词. 因此，从概念衍生角度分析数学建模与模型思想的演变，可以很好地帮助教师理解模型思想这一概念.

通常认为，数学建模是一个具有一定技术性、模式性的工作. 对于数学建模，通常是这样描述的：通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程. 在这样的理解中，建立模型是问题解决的途径，问题解决是数学建模的目标（需要指出的是，这里所说的问题解决不完全等同于数学习题的解答，应当理解为数学问题的解决，包括数学概念的构建、数学规律的探究以及数学问题的解决等）. 从具体流程的角度来看，数学建模的第一步是观察实际情境，再发现并提出问题，然后通过数学抽象建立数学模型，接着得到数学结果. 对数学结果进行评估之后有两种可能：如果数学结果符合实际，则数学建模结束；如果数学结果不符合实际，则需要返回到第二个步骤以重新完成一个循环. 从这里可以发现，数学建模是一个综合的过程，即使从数学学科核心素养的角度来看，这里也包括数学抽象、数学运算与逻辑推理等（当然也有人认为数学建模本身就是核心素养的组成部分）.

建模思想则更多地超越了数学建模的技术层面，旨在让教师甚至学生通过数学教学感受数学的魅力——一种通过数学模型理解生活实例的魅力. 应当说这是可行的. 从初中角度来理解建模思想，可以考虑让学生在建模的过程中感受一个形象的生活事例，通过数学抽象就可以变成一个精确的数学模型. 更重要的是，这个模型还可以有效地解决实际问题. 这对于初中数学教师来说并不麻烦. 事实上，每一个重要的数学概念的建立，其实都可以视作数学建模的结果，如初中数学的入门知识“负数”，就是在已知的正数的基础上通过对生活事例的归纳并抽象，在正数前面加“-”号，则完成对相关事例的概括性描述. 尽管这个过程没有经历上述数学建模的全部环节，但已经体现了建模的思路，可以视作是数学建模思想的萌芽. 其后，整式、方程，乃至几何中的点、线、面、角的学习，其实都具有这方面的特征. 如果在实际教学中能够从数学建模的角度概括不同知识的特征，则可以让学生在数学学习的过程中形成一个学习线索——要知道，如果学生在学习过程中有一个明确的线索，那对于相当一部分学生来说都是一件益事，其意味着数学学习不再是零散的，而是有章可循的. 这个“章”，其实就是建模思想的体现.

初数模型思想有效培养

那么，在初中数学教学中模型思想如何才能有效地得到培养呢？笔者一方面分析自己的探究过程，一方面学习、吸收他人的研究成果，在此基础上提出如下几点思路供同行批评、指正.

1.？摇以学生的感悟为主，教师寻找点拨契机

作为一种学习思想，数学建模不宜硬生生地插入学生的学习过程中，而应当让学生在学习的过程中产生感悟，而后教师加以点拨，以让学生形成的相对隐性的感悟变成更为显性的认知. 如教学“一元一次方程”时，笔者让学生在原有简单方程的基础上思考：当初是怎样通过设未知数建立方程的？哪些问题可以通过方程来解决？建立方程的过程如果用语言来描述，可以怎样描述？这一教学环节，教师没有直接告知学生什么情况下怎样列方程，而是通过问题驱动，让学生的原思维在不断深入的基础上对方程的建立产生一个理性理解，有了这一理解，再给出新的实际问题（如人教版教材给出的就是一个行程问题），让学生利用自己刚才所形成的理解去分析新问题中的数量关系并建立等式，于是学生对方程的理解就经历了一个从感性向理性、又向实际问题感性回归的过程. 这个过程中，学生对方程形成的认识是深刻的，而多次对实际问题进行分析与解决，可以让学生在方程模型建立的过程中进一步形成模型意识，生成模型思想.

2. 为学生设计相对固定且长期可用的数学建模过程

模型思想的形成绝非一朝一夕之事，如上面所说，从数学建模这种技术性的动作到模型思想的真正形成，一定是一个日积月累的过程. 在实际教学中，更多的是对模型思想的教学. 实际教学中往往是遇到比较明显的数学建模过程时，教师才作强调，这个强调往往还是概念性的（也就是标签性的），这其实难以让学生真正形成模型思想. 因此，模型思想的形成需要教师帮学生形成一种相对固定的长期使用的模式. 比如有人提出的“创设问题情境——建立数学模型——形成模型思想”教學思路就是一种比较好的方式，只要有数学建模的场合，就跟学生强调这一思路，久而久之，学生自然会形成数学建模意识. 而在意识驱动之下，如果学生能够自主利用建模思路建立数学概念、规律或解决数学问题，那就意味着数学思想初步形成了. 如上面所说的“方程”这一模型就可以进一步明晰化：从实际问题（行程问题）抽象成数学问题，然后分析其中的已知量、未知量以及等量关系，接着建立等式（即方程）并求解，在对解的合理性作出判断之后，要么重新进行数学抽象，要么形成定解. 事实证明，只要学生生成这一思路，那么在以后的方程问题中，许多问题都可以迎刃而解.

3. 通过教学评价促进学生建模思想的形成

教学评价对于初中生来说十分重要，因为教师的引导对学生的学习方式影响很大. 这里笔者想强调的是因材施教，即对不同学生给予不同的指导. 教学经验让笔者意识到，初中生对数学建模的领悟水平大不相同，有的学生概括能力强，往往两三个例子即可让学生大体上感受到一类数学模型的建立思路，而有的学生可能十个例子都不行. 对于前者，笔者的评价是促进他们的精细化、显性化，即让他们能够清晰地说出什么情况下应当如何建立模型，如方程的建立；对于后者，则更多的是让他们在实例分析中慢慢感悟，不强求短时间内能够用语言表达，如在方程模型建立中，让他们重复抽象与分析的过程，让他们重复发现数学问题并寻找已知量、未知量、等量关系的过程，在做中学、在做中悟，这对于这部分学生来说，是形成方程思想的重要途径.

模型思想指引数学教学

模型思想无疑具有丰富的含义，其更多的体现在教师的教上，其前提是教师理解丰富的模型思想含义. 笔者提出一个观点：用模型思想来指引初中数学教学.

这一观点的提出并不是过度强调模型思想在初中数学教学中的作用，而是试图通过这一重要的数学知识形成方式，并通过长时间的运用，以在学生的数学学习乃至生活中形成一种模型意识，并在这种意识的驱动之下，将繁杂的生活对象抽象成简洁的数学模型，以更为理性迅速地发现问题的实质所在. 要知道，当前义务教育数学课程标准已经明确提出了“四基”的概念，其中就有基本思想一说. 那么，哪些思想是基本思想？笔者以为，模型思想就是其中之一，以“四基”支撑的数学教学自然离不开模型思想这根重要的支柱. 国内知名数学教育家史宁中先生认为，数学发展有三个基本思想：抽象、推理与模型，而数学建模的过程中又有抽象、推理的存在，因此，以模型思想来指引数学教学的提法有其合理性. 尤其是对于初中生而言，一个清晰的学习主线可以帮助他们将不同的知识学习联系起来，这样的辅助性作用是其他方式难以替代的.