我们的解题教学缺少什么？

【摘 要】 解题教学的核心价值是促进学生数学认知能力的发展，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力.但在教学过程中，教师却难以把理念转化成适当的教学行为.解题教学应该教什么？怎样教？缺乏深层次的思考是造成解题教学缺失的主要原因.

【关键词】 解题教学；教学行为；教学缺失

2015年11月16日，舟山市普陀区教研室举行课堂教学艺术周活动，数学学科活动主题是“一题一课”同课异构的课堂教学观摩与评比，赛课对象为青年教师，授课对象是八年级学生，并邀请市、区学科带头人参加观摩与评比.参赛教师在课前2小时抽题，然后以此题为蓝本设计一节课，并进行课堂展示.通过现场展示与观摩，笔者发现部分青年教师对“一题一课”的开发缺乏经验，对“解题教学应该教什么、怎样教”缺乏深层次的思考.本文结合某个教师的教学案例，谈谈自己的思考.

赛题呈现 如图1，等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，猜想线段AE与DB的大小关系，并说明理由.

1 教学案例——教师在教什么？

1.1 教学片断

设置台阶，让学生突破思维障碍.

问题1，如图2，等边三角形ABC中，点E是AB的中点，点D在CB的延长线上，且ED=EC，猜想线段AE与DB的大小关系，并说明理由.

教师：根据已知条件，你能猜想线段AE=DB吗？

学生1：AE=DB.

教师：你能证明AE=DB吗？

学生1：如图2，根据等边三角形性质和等腰三角形性质求出∠D=∠BCE=30°，可得∠DEB=30°，从而求得BD=BE即可.

教师肯定了学生1的解法后，又提示还可以用△DBE的外角∠ABC来思考问题.接着，进一步提出问题2（即赛题，以下同）.

学生能马上判断结论“仍然成立”，但没有立刻给出证明思路，于是教师让学生先做，大约3分钟后，有学生回答：

学生2：如图2，过点E作BC的平行线EF，先证△AEF是等边三角形，得AE=EF，再证△DEB≌△ECF，得BD=EF即可.

学生3：如图2，其实也可以过点E作EG∥AC交BC于G，证明方法与学生2相同.

教师：还有别的证法吗？（于是学生纷纷尝试，片刻后有学生回答）

学生4：过点D作DA′∥AC，交AB的延长线于点A′，得∠A=∠A′=∠DBA′=60°，可证△EA′D≌△CAE，所以DB=AD′=AE.

教师小结：有了问题1的探究活动体验和思维活动铺垫，问题2中存在的思维障碍获得突破，问题自然迎刃而解.

然后，教师借用学生2用作平行线的方法对问题2解答，并作出适当变式. 图3

变式1 如图3，等边三角形ABC中，点E在直线AB延长线上，点D在直线BC上，且ED=EC，

（1）求证：AE=BD.

（2）若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长.

变式2 如图4，等边三角形ABC中，点E在直线CA延长线上运动，在线段BC上取一点D，使DC=AE，求证：BE=DE.

师生一起在探索与练习中结束了本节课.

1.2 教学评析

由于赛题中△DEB与△AEC不全等，按学生现有的认知结构和思维水平，很难找到解决问题的突破口，参赛教师在教学之前设计问题1，为学生设置台阶，让学生突破思维障碍.但从问题1解决中，发现学生自然想到根据等腰（或等边）三角形的性质来证明，并没有利用添辅助线的方法去解决，这样的台阶设置不仅对培养学生的思维品质没有帮助，而且降低了思维要求.

由于点E是动点，猜想：你能猜想线段AE与DB相等吗？从特殊出发想一般，如果点E是AB的中点？这样引入是否会更好？再对特殊情况，让学生开展广泛讨论，可以有哪些不同的方法？先猜想，再从特殊点出发，有利于培养学生的思维品质.

从本课例看，教师能引导学生先做，从不同角度思考问题，得出不同的解法，让学生在独立思考的基础上进行解题过程的交流，这有利于学生体会从不同的角度思考问题，值得好评.但从课堂互动分析，学生的主要收获是认识各种解题思路，而非怎样获得解题思路！也就是说，教师教的是解题思路，而不是怎样获得解题思路.笔者认为，这是造成解题教学缺失的主要原因.

2 案例分析——教师应该怎样教？

2.1 教师讲题水平的分析

解题教学的核心价值是促进学生数学认知能力的发展，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力.但在教学过程中，教师却难以把理念转化成适当的教学行为，讲题水平也存在着较大的差异，呈现出以下四级水平：

第Ⅰ级水平：粗略审题后，只交待“怎样解”或直接问学生“怎样解”，（个别、部分）学生作答，几乎没有分析，解前无解题计划.

第Ⅱ级水平：有审题过程，有一点分析，但解题思路未全出（解题计划未完全形成）或问学生“你是怎么想的？”学生说了点想法.

第Ⅲ级水平：有审题过程，给出了整个分析，解题思路已清楚了，形成了解题计划，

才进入解答或问学生“应该（可以）怎样去想？你为什么要这样去想？”.

第Ⅳ级水平：完成第Ⅲ级水平，审题——分析思路——实行解答后还能带领学生反思

回顾：“从这个题目中，我们学到了什么？——知识上、方法上，此类情况下，应注意些什么？”

2.2 教师应该怎样教？

一个合格的教师至少要达到上述第Ⅲ级水平.比如，案例中的教师应该引导学生2思考：你是怎样想到要作平行线的呢？

如图5，先从问题的目标出发思考，要证∠DEB=∠ACE，由于这两个角分布在不同的三角形中，最好能证三角形全等，很明显，△BDE与△ACE不全等，考虑构造一个三角形，使其与△BDE全等，且∠ACE与∠DEB是对应角.

再看问题的条件，因为ED=EC，最好构造出的三角形是以EC为一边，并使它与ED成对应边.这样就要求在AC上找一点A′，使∠A′EC=∠D=∠ECB，∠BED=∠A′CE.于是就自然想到作BC的平行线EA′.由△BDE≌△A′EC还可以进一步得到BD=EA′，从而再根据等边△AEA′证明BD=EA′=AE.

其余两种思路（学生3、4）也可以引导学生进行类似的分析.

上述几种解法都是通过添平行线来构造全等三角形，实质是构造角相等作辅助线.即以一个三角形为基准，改造另一个三角形，通过添不同的辅助线，找到一个与基准三角形全等的三角形，从而获得证明.

另外，教师还可以引导学生思考：证明线段相等有哪些方法？你是怎样思考的？是否可以同时改造两个三角形，使它们分别与另一组的两个三角形全等？

如图6，过点D作DA′⊥直线AB，垂足为点A′，过E作EG⊥直线AC，垂足为点G，易证△EDA′≌△CEG，得出DA′=EG，再证△AEG≌△BDA′，从而得到AE=DB.

这种证法的思路是保留原来相等的一组角，还保留已知相等的一组对边（或保留求证相等的一组对边），利用作垂线“封口”制造一组全等的直角三角形.

3 教学反思——解题教学缺少什么？

3.1 缺少思考——解题思路是如何想到的

在对解题思路探寻的深刻剖析中，思考教学生如何想，在问题的深入研究后，利用多解、变式、拓展，思考教学生如何深入的想.教学片断把教学重点放在解题过程的交流上，其重要原因是没有在解题教学中教给学生最关键的东西——怎样想到解题思路.在案例分析中，启发学生学会思考：“你怎样想到要作平行线的呢？”，要求学生讲思考过程，充分暴露学生的思维过程；还提出“证明线段（或角）相等有哪些方法？”，“怎样构造一对全等三角形”，“三角形全等的条件充分吗？”等问题都在引导学生思考，而不应由教师直接给出解题思路.

3.2 缺少追问——在关联点处深度追问

在一题多解的教学环节中，需要对问题本身适度的追问：如教学片断中，在学生4作过点D作DA′∥AC交AB的延长线于点A′的证明后，教师在肯定学生4添加平行线方法的同时，应该继续追问：如过点D还能作什么样的辅助线，作∠EDA′=∠AEC，或过点D作DA′=DB交直线AB于点A′，能否构造△EA′D≌△CAE.从不同的思维起点出发思考问题，能让学生走向问题的深度，解题教学自然也能追求一定的教学深度.

33 缺少挖掘——对习题功能的挖掘

对习题教学来说，不仅要通过一题多变，将问题从特殊引向一般，训练思维的深刻性、发散性，还要注意一题多解的训练，训练同一问题的多样化求解.参赛教师都对原题作了一题多解或一题多变.从现场观摩来看，部分教师对原题作了适度的挖掘. 图7

例如：如图7，由于∠A=60°，∠DBE=120°=∠A的补角，可延长CA，构造△ED′A与△DBE全等.

其实，也可以利用等腰三角形的轴对称性、旋转不变性或代数计算的方法对赛题进行挖掘.

①利用等腰三角形的轴对称性

如图8，将△DBE沿其对称轴翻折，ED与EC重合，EB与EB′重合，DB与CB′重合，易证△EB′B为等边三角形，推出BE=BB′.再根据BA=BC，可证出AE=CB′=CB. 图8 图9

②利用旋转不变性

如图9，将△AEC绕着点C逆时针旋转60°，得到△BE′C，因为CE=CE′，∠ECE′=60°，所以△CEE′是等边三角形，所以EE′=EC=ED，∠BEE′+∠E′EC=∠BEC=∠A+∠ACE，而∠E′EC=∠A=60°，所以∠BEE′=∠ACE=∠DEB，故△DBE≌△EE′B.

③代数计算 图10

如图10，过E点作EQ⊥CD，过A作AP⊥直线EQ于点

P，设等边三角形边为a，AP=b，依题意可得AE=2b，BE=a-2b，BQ= a 2 -b，而CQ= a 2 +b，ED=EC，所以DQ=CQ= a 2 +b，所以BD=DQ-BQ=2b，所以AE=BD.

在一题多变方面，由于课堂教学对象是八年级学生，所以教师对一题多变只停留在利用三角形全等加以证明的变式上（即变式1、变式2），但从活动访谈中发现教师对习题的挖掘深度不够.其实，只要将等边三角形弱化为等腰三角形，稍改变条件和结论，就能挖掘出许多命题. 图11

变式3 如图11，△ABC为等腰三角形，AB=AC，点E在直线AB上，点D在直线CB的延长线上，且ED=EC，问当点E在直线AB上运动时，AE与DB的比值是否变化？请说明理由.

先讨论E在线段AB上，其它情况一样考虑.如果想知道AE与DB的比值与什么有关？可以先让点动起来，让E点与B重合，则AE=AB，DB=BC，故AE与DB之比为AB与BC之比，故猜测结论是 AE DB = AB BC .

可由上述几种证法进行证明.但考虑到对应边成比例，则需要用到相似三角形知识，应作相应的修改.

证明 如图6，过点D作DA′⊥直线AB，垂足为点A′，过E作EG⊥直线AC，垂足为点G，易证△EDA′≌△CEG，得出DA′=EG，再利用三角函数，得AE= EG sinA ，DB= DA′ sin∠ABC ，所以 AE BD = sin∠ABC sin∠A ，而 AB BC = sin∠ABC sin∠A ，所以 AE BD = AB BC .

变式4 如图11，△ABC为等腰三角形，AB=AC，∠BAC=θ，点E在直线AB上，点D在直线CB的延长线上，且ED=EC，问当点E在直线AB上运动时，请用含θ代数式表示AE与DB的比值.

（1）如图10，设AP=a，BQ=b，BC=2a+2b，CQ=2a+b=DQ，BD=2a，而AE= AP sin ∠BAC 2 = a sin ∠BAC 2 ，所以 DB AE =2sin ∠BAC 2 = BC AB ，得出 AE BD = 1 2sin θ 2 .

（2）如图6，由上述证明得出DA′=EG，再利用三角函数，得AE= EG sinA ，DB= DA′ sin∠ABC ，所以 AE BD = sin∠ABC sin∠A = sin（90°- θ 2 ） sinθ .

（注：高中阶段可以证明 sin（90°- θ 2 ） sinθ = 1 2sin θ 2 ）.

赛题看似简单，深入探究后，发现涉及等边（或等腰）三角形、全等三角形、相似三角形、直角三角形、三角函数、平行线的性质及判定等一些核心知识.解答此题，学生要经历观察、比较、猜想、证明等数学活动过程.在教学中利用多解、变式、拓展，自主“构建”符合其认知水平的知识体系，进而提升其数学思维层次.

解题教学的关键是要教学生“怎样想”而非只是“怎样做”，并引导学生规划解题思路过程和思考方法.从案例中可以发现，教师把解题教学重点放在解题过程的交流上，这种现象在平时的教学实践中普遍存在，在今后的教学中要引起足够的重视.

作者简介 朱成成，男，1974年3月出生，浙江普陀人，普陀区东港中学教务处副主任，中学一级教师，主要从事初中数学课堂教学管理及数学命题与评价研究.