“探究”让法则教学更有效

吕春霞　孙道斌

摘 要 北师大版“§11同底数幂的乘法”在整个教材编排体系中起着承上启下的作用，所蕴含的类比、转化、特殊到一般等思想方法，为学生更好地学习幂的乘方、积的乘方、整式的乘除法运算等相关内容提供了重要的思路和方法.因此，把这节课设计成一节探究活动课，以探究活动为载体，在设计上注重了整体感悟知识发展的逻辑主线，结构上层层递进，方法上从特殊到一般；学习上注重类比和推理，从研究一个问题到研究一串问题的研究路径的感悟，引导学生实现由自主学习到学会学习的转变，进而形成积极的数学情感与态度.

关键词 同底数幂的乘法；数学思想方法；探究活动设计

如何上好代数运算法则课，一直是一线教师倍感苦恼、困惑的事.“重结果轻过程”是法则教学中的普遍存在的现象，大多数教师会直接给出运算公式（法则），然后让学生通过反复的训练来强化记忆法则.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）明确提出“运算能力”这一核心概念，不仅要让学生掌握如何计算，而且还要知道相应的算理.《标准（2011年版）》指出“数学知识的教学，要注意知识的生长点与延伸点，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识和整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性……”2016年2月26日，笔者随菏泽市第二届教坛精英团队送课下乡，牡丹区第二十一初级中学的吕春霞老师在安兴镇初级中学执教的“§11同底数幂的乘法”（北师大版《义务教育教科书·数学》七年级下册）这节课，很好地体现了《标准（2011年版）》对数学知识教学的要求，尤其是创新的教学设计，为法则教学起到了引导、示范的作用.在听课的基础，笔者对这节课的教学进行了实录和点评，供教师们教学时参考.

教材分析

“同底数幂的乘法”是北师大版《义务教育教科书·数学》七年级下册第一章第一节的内容，它是在学习了有理数乘方和整式加减运算的基础上，进一步研究幂的运算的一节课.它既是有理数乘方运算的推广与延续，又是继续学习幂的乘方、积的乘方的基础，它还要为后面研究整式的乘除法运算等内容奠定学习基础，所以本节课的教学具有承上启下的作用.

学情分析

七年级的学生对数的运算和简单的字母运算有一定的认识，通过对七年级上册数学课本的学习，学生已经掌握了用字母表示数的技能，会判断同类项、合并同类项，同时在学习了有理数乘方运算后，知道了求n个相同数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，并掌握了底数、指数等相关概念，这些基础知识为本节课的学习奠定了基础.但是，由于幂是运算的结果，要把幂作为运算对象进行乘法运算，这对七年级的学生来说还是相当困难的.因此，本节课将采用由具体到抽象、由特殊到一般的设计思路探究法则，帮助学生克服学习上的困难.

教学目标

1.经历同底数幂乘法运算法则的探究过程，并会应用法则.

2.通过举例、类比、归纳、探索等数学活动，发展学生的运算能力和有条理的思考、表达能力，使学生掌握研究同底数幂乘法运算的整体思想和方法.

教学重点 ：同底数幂乘法运算法则.

教学难点 ：有关字母的广泛含义及“法则”的正确使用.

教学过程

一、探究目标，引入课题

师：同学们，关于数的运算我们学了哪些内容？

生1：加、减、乘、除、乘方.

师：这些数的运算我们是怎样学习的？

生2：先学加减再学乘除，然后再学乘方运算.

师：好！那么，对于整式的运算，我们已经学过了什么运算呢？

生3：整式的加减运算.

师（对生3）：你能否类比数的运算，猜想我们这节课将要学习整式的哪种运算？

生3：整式的乘除.

师：很好，请坐.下面有四个整式：a2，a3，a3+ab，a+ab.请大家从中任选两个构造乘法运算.并回答下面两个问题：

1.你能写出哪些算式？（只需列式，不要求计算.）

2.试着将你写出的算式分类，你认为整式乘法有哪几种类型？

（学生自主探究，合作学习.）

教师通过投影仪展示学生探究的结果如下：

①a2a3；②a2（a3+ab）；③a2（a+ab）；④a3（a+ab）；⑤a3（a3+ab）；⑥（a3+ab）（a+ab）.

师：请大家将写出的算式分类？（写出序号即可.）

生4：分为三类①；②③④⑤；⑥.也就是单项式乘以单项式；单项式乘以多项式；多项式乘以多项式.

师：回答正确.请同学们看一下第一种类型a2a3，它是由哪两个单项式相乘得到的？

生5：a2a3是由a2和a3这两个单项式相乘得到的.

师：这两个单项式都是幂的形式，请大家观察一下它们的底数是否相同？

生6：a2和a3这两个单项式的底数相同.

师：对！今天我们将要学习的就是形如a2a3这种类型的运算，这是单项式与单项式相乘运算中最为简单的一种运算形式，其它运算形式还有幂的乘方和积的乘方，而单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式的运算又都可以转化成单项式乘以单项式的各种运算形式.因为形如a2a3这种类型的运算的两个因子都是幂的形式，并且它们的底数都相同，因此，我们把这种运算称为同底数幂的乘法（板书课题：§11同底数幂的乘法.）.下面，我们将进一步探究同底数幂的乘法法则.

点评 运算法则教学的引入是教师很难把握的地方.吕老师一改传统教学引入新课的模式，也没有人云亦云地采用实际问题情景引入的方式，而是把“同底数幂的乘法”这个知识点置于“整式乘除”这个整体知识的体系中，引导学生类比数的运算引出整式的乘除，又通过四个整式的两两组合相乘，巧妙地引出了整式乘法的三种类型——单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，再引导学生感悟单项式乘以多项式、多项式乘以多项式均可以转化为单项式乘以单项式，在老师的帮助下学生归纳出了单项式乘以单项式的三种形式——同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，最后指出本节课的主要学习内容——同底数幂的乘法.这种数学化的引入注重数学知识间的内部联系，问题层层递进，在不知不觉间学生便进入到了学习的最佳状态.并由此感悟出整式乘法的内容和逻辑主线：单项式乘以单项式——单项式乘以多项式——多项式乘以多项式——几个特殊的乘法公式.而同底数幂的乘法是单项式乘单项式的最简单的运算形式，从而使学生认识到同底数幂的乘法是整式乘法的起点，其它乘法运算最终可转化为同底数幂的乘法运算.如此创设，使学生从整体上把握了本章内容的逻辑主线，使学生从整体上体会了运算发展的脉络及各种运算之间的关系，也明白了这节课的内容在整章内容中的重要地位.

二、探究法则，感悟算理

师：请同学们运用乘方的意义计算下列各题.

1.103×102=（ ）×（ ）= =10（ ）；

2.a3·a4=（ ）×（ ）= =a（ ）；

3.10m×10n=（ ）×（ ）= =10（ ）（m，n都是正整数）.

教师引导学生共同完成第1、2小题如下：

1.103×102=（10×10×10）×（10×10）=10×10×10×10×10=105；

2.a3·a4=（a·a·a）×（a·a·a·a）=a·a·a·a·a·a·a=a7.

师：观察上面两个小题的计算过程，你发现了什么规律？请说出它们的共同特征.

生7：它们都是根据乘方的意义进行计算的.第1小题是3个10的乘积乘以2个10的乘积，结果是5个10的乘积，就等于10的5次方；第2小题是3个a的乘积乘以4个a的乘积，结果是7个a的乘积，就等于a的7次方.

师：很好，请坐.哪位同学说一下第3小题？

生8：m个10的乘积乘以n个10的乘积等于（m+n）个10的乘积，就等于10的（m+n）次方.

师：请同学们再计算一下（ 1 7 ）m×（ 1 7 ）n和（-3）m×（-3）n分别等于什么？

生9：（ 1 7 ）m×（ 1 7 ）n是m个 1 7 的乘积乘以n个 1 7 的乘积等于（m+n）个 1 7 的乘积，就等于 1 7 的（m+n）次方.

生10：（-3）m×（-3）n是m个（-3）的乘积乘以n个（-3）的乘积等于（m+n）个（-3）的乘积，就等于（-3）的（m+n）次方.

师：通过对以上过程的观察，你们发现这5个小题的运算有什么规律吗？

（学生自主探究，合作学习.）

生11：这5个算式都是关于乘法的运算，并且每个式子都有幂的运算在里面.

师：还有吗？哪位同学来补充？

生12：乘号两边的乘方的底数都一样，也就是说，它们都是同底数幂的乘法运算.

师：这位同学看出了门道，说出了问题的关键.那你能用自己的语言说一下“同底数幂的乘法”的运算规律吗？

生12（略有思考地）：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

师：哪位同学能用一个式子表达这个规律？

生（众）：am·an=am+n.

师：大家归纳得很好.在这里，老师再强调一点，上式中的m，n都是正整数.那大家能解释为什么am·an=am+n吗？

生（众）：m个a的乘积乘以n个a的乘积等于（m+n）个a的乘积，就等于a的（m+n）次方.

师：大家解释的都非常对，那你能把这个过程写出来吗？好，大家尝试着把推导过程写出来.

教师通过投影仪展示学生的推导过程如下：

并板书：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

师：大家回顾法则的探究过程，我们都经历了怎样的过程？

生13：从特殊到一般的过程.

师：大家读一读法则并思考运用法则的条件是什么？

生（众）：必须是同底数的幂.

师：如果在运算的过程中，幂的底数不相同，应该怎么办？

生（众）：化为同底.

点评 在探究同底数幂的乘法法则这个环节，吕老师设计了5个小题让学生探究，这5个小题分别体现了底数从数（正整数、负整数、分数）到字母、指数从数字到字母的变化，而教师的设问也环环相扣，层层递进，紧扣主题，为学生进一步的观察归纳做了有益的铺垫.探究过程则紧紧围绕着幂的意义和乘法法则展开，通过学生的独立探索、小组合作以及与教师的交流对话，不但使学生体会到知识的形成过程，更深刻地认识到同底数幂的乘法运算不是凭空产生的，是在幂的意义和乘法运算的基础上产生的，从而对运算发展的主线有了更清晰的认识.吕老师通过设问和追问适时地引导和点拨，使学生在探究过程中通过观察归纳得出同底数幂的运算法则——同底数幂相乘，底数不变，指数相加；还体会到从特殊到一般的数学归纳方法.通过设问引导学生观察归纳出法则的应用条件，进一步渗透了转化、化归的数学思想并突出了“同底”这个条件.通过探究，使本环节的教学充满了活力，不仅使学生正确掌握了运算而且还明白了算理，这也正是《标准（2011年版）》提倡的教学理念.

三、探究应用，掌握法则

师：学以致用.前面我们探究出了同底数幂的乘法法则，下面，我们就来利用这个法则解决相关的问题.

教师用多媒体展示以下问题：

1.辩一辩

下列各式哪些是同底数幂的乘法？

（1）78×74；（2）（-2）8×（-2）7；（3）28×58；（4）a5+a5；（5）x·x5；（6）（a-b）2（a-b）3.

（学生思考后，回答教师的问题.）

生14：第（3）题的底数不同，不是同底数幂的乘法；第（4）题是同底数幂的加法不是乘法.其它都是同底数幂的乘法.

师：回答正确.看来，同学们都注意到了同底数幂的乘法的适用条件.接下来，我们来看一看下面的计算对吗？

多媒体展示：

2.判一判

下面计算对吗？如若不对，请改正.

（1）a3·a3=2a3；（2）a2·a3=a6；（3）a·a6=a6；（4）78×（-7）3=711.

（学生独立完成后，由一名学生上台用投影仪展示自己前三题的运算过程并分析运算错误的原因.）

生15：第（1）小题错，a3乘以a3不是合并同类项，是同底数幂相乘，同底数幂相乘底数不变指数相加，因此正确运算是a3·a3=a3+3=a6；第（2）、（3）小题都错在指数相乘，应该是相加，正确答案分别是a2·a3=a2+3=a5、a·a6=a1+6=a7.

师：看样，这位同学对法则掌握得很熟练，理解得也很透彻.哪位同学来展示一下第（4）小题.

生16：78×（-7）3=（-7）8×（-7）3=（-7）11.

师：为什么要把78改成（-7）8？

生16：这两个幂不是同底的，不能直接用法则进行运算，要先把它们化成同底的，然后再进行计算.

师：还有别的方法吗？

生17：根据负数的奇次方是负数，可得78×（-7）3=78×73×（-1）=78+3×（-1）=-711.

生18：还可以先确定式子的符号，可得78×（-7）3=-（78×73）=-711.

师：都很好.请大家思考一下，这三种解法的共同特点是什么？

生19：把不同的底数转化为相同的底数.

师：回答正确.这里运用了转化的数学思想.好，下面，就请同学们自己来做计算.

多媒体展示：

3.做一做

计算下列各式，结果用幂的形式表示.

学生板演，教师适时点拨第（4）题体现了转化思想.

师：同学们，如果我把第（3）题变式为x·x3·x5，又该如何计算呢？

生20：先算前两个的积，再与第三个相乘得到x的9次方.

师：如果我再变式为x·x3·x5·x9，又该如何计算呢？

生21（若有所悟地）：底数不变，指数相加.

师：对了，同底数幂的乘法法则对3个及3个以上的情况同样是适用的.

点评 在这个教学环节中，吕老师设计了三个教学活动：辩一辩、判一判、做一做.通过辩一辩，使学生掌握法则运用的条件是“同底”“乘法”.通过判一判，设置这四种典型错题，让学生辨析、纠错，感悟、归纳运用法则时应注意的地方.帮助学生进一步理解掌握法则，优化算法，体验转化化归的数学思想.通过做一做，帮助学生突破互为相反数的幂的乘法，进一步体验转化化归思想的运用，提高思维能力.将第（3）小题-x3·x5进行变式为x·x3·x5和x·x3·x5·x9，引导学生得出同底数幂的乘法法则对3个及3个以上的情况同样适用的结论，又一次体现了由特殊到一般的数学思想.值得一提的是，吕老师在这些例、习题的选择上颇费了一番心思，选题精炼，从学生的易错点出发，真正地起到了辨析的作用.尤其是，判一判第（4）小题78×（-7）3=711，教师与学生的交流对话是突破难点的关键，把法则运用的条件有效落实到了解题的过程中，使得不同底要化为同底这一要求自然而然地融入到了学生的学习行为中，达到了非常好的教学效果.

四、探究梳理，总结收获

师：我们这节课探究学习了“同底数幂的乘法”，同学们先自己想一想本节课你有什么收获，然后与小组同学交流一下，再把你的想法说出来，让全班同学来分享.

生22：知道了什么是同底数幂的乘法法则，并掌握了用幂的意义和乘法的运算来推导同底数幂的乘法法则的方法.

生23：要符合法则的特征才能运用同底数幂的法则；有些式子表面不能应用公式，但实质能用公式，要注意变形.还要注意公式的连用、转化思想以及整体思想的运用.

生24：底数不一定只是一个数或一个字母，可以是一个单项式或多项式.

生25：通过小组合作学习，增强了我与其他同学之间的合作意识，不但掌握了知识，还学会了与他人交流，提高了自己的能力.

师：四位同学说得真好（掌声），成功既要有个人的努力，更需要集体的智慧，只要我们齐心协力，一定能取得更加优异的成绩.不知大家是否还记得，刚上课时，老师让大家类比数的运算，把单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式的运算都转化成了单项式乘以单项式的运算，并归纳出了单项式乘以单项式的三项类型：a2a3、（a3）2和（ab）2.而这节课我们只探究学习了形如a2a3这种类型的运算.大家试想一下，针对形如a2a3这种类型运算的探究过程和研究方法是否同样适用形如（a3）2和（ab）2这种类型的运算呢？请同学们带着这个问题预习下节课的内容.

点评 在这个教学环节中，吕老师让学生在独立思考和合作交流中梳理本节课在知识和数学思想方法方面的收获，形成知识网络，提升了学生对数学思想方法的理性认识.在总结的同时让学生体验收获知识的快乐，培养敢于展示自我，敢说、敢问、自信的学习品质.同时，又不失时机地迁移拓展新课形成的知识技能，让学生带着问题走出课堂，反思学习.

总评 本节课的设计有一个鲜明的特征：突破以往“数学公式、法则”一类的教学中只注重掌握结果和熟练计算的做法.为此，本节课的课堂教学围绕探究目标、探究法则、探究应用、探究梳理四个教学环节进行展开，以探究活动为载体，在设计上注重了整体感悟知识发展的逻辑主线，结构上层层递进，方法上从特殊到一般；学习上注重类比和推理，从研究一个问题到研究一串问题的研究路径的感悟，引导学生实现由自主学习到学会学习的转变.

从本质上来说，这样的教学设计使得对代数运算的教学又上升了一个高度——注重知识结构体系、理解算理、感受重要数学思想方法、发展基本数学能力.由此可见，代数运算的教学，不能将其简单定位成一个技能的教学——例题、训练、习题、熟练……在此基础上，运算教学的全部目标有时还不是运算本身，还可以包括更多、更为高级（从思维层面看）的目标.

另外，本节课是运算技能课，充分体现了有计划有层次地推进运算能力的培养.同时，又向我们彰显了一个很重要的信息：即使是技能性知识的教学，也可以较为恰当地赋予重要的数学教学功能.这也是代数运算教学的一个重要价值.

参考文献：

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[2]马复.义务教育教科书·数学（七年级下册）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

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[4]马复.《初中数学教学策略》[M].北京：北京师范大学出版社，2010.

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