变形计

赵军　周玉俊

【摘 要】 在学生的思维发展区内，对“题源”进行由易到难、循序渐进的变式训练，让学生经历问题变式的探索过程，丰富“变题”策略，感受探究乐趣，体验变与不变的辩证关系，引导学生养成“变式思考”问题的习惯，促进学生认知结构的优化和探索能力的提升.

【关键词】 变式；探究；旋转

2016年4月10—11日，我市开展了义务教育阶段骨干教师送教下乡活动.初中数学活动的主题定为“中考专题复习”，旨在通过本次活动，研讨九年级数学复习的思路与备战中考的相关策略，充分发挥课本的导向与辐射功能，进一步提升复习效率，有效提升学生分析问题和解决问题的能力，增进教师之间的业务交流，促进教师的教学研究与专业成长.

1 课堂实录

1.1 课前活动

上课前，老师给每两位同学（同桌）发两个边长不等的等边三角形纸片，让学生分组“玩”拼图，“在玩中学，在学中玩”，充分调动学生.通过“动手”操作，使其在实验过程中感悟数学问题的存在.

1.2 情境创设

师：同学们，对于《西游记》中的主人公，大家最喜欢谁？

生（齐）：孙悟空.

师：他有什么本领？

生1：他神通广大，会七十二变！

师：好！老师今天就带领大家一起来对一道习题进行变化，看看谁的本领大？（板书课题的第一个字：“变”）在变化之前先让我们一起来看课本上的这道习题.

原题再现 （ 苏科版教材八年级上册第67页第10题）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，点A、C、E在一条直线上，AD与BE相等吗？证明你的结论.

教学说明 用学生喜欢的孙悟空为例引入课题，不但深受学生喜爱，而且能够充分吸引学生，激发学生学习的热情，达到了在较短的时间内调动学生进入学习状态的效果.所选例题也是大家所熟悉的课本原题，学生都会运用全等三角形的知识进行证明，在此基础上展开变式探究拓展空间很大.

1.3 变式探究

1.3.1 顺时针旋转

师：请大家把课前准备好的两张等边三角形纸片按原题拼好图形，把较小的等边三角形绕点C顺时针旋转，观察并猜想：在旋转过程中AD与BE的长度是否相等？（如图2，老师用自制的教具演示）

教学说明 用教具（AD与BE用橡皮筋代替）演示时，随着旋转的变化，线段AD与BE的长度也在不断变化，但它们相等的关系却始终未变.加之教者语言上的启发、动作的展示，使学生感到不能仅仅满足于课本问题的解决，从而激发学生学习的热情，使其形成强烈的探究愿望.

生2：旋转过程中AD与BE的长度始终相等.

师：请大家画出图形，进行证明.

变式1 如图3，将△CDE绕点C顺时针旋转一定的角度，使点D落在△ABC外部（B、C、E不在同一直线上），求证：AD=BE.

教学说明 学生猜想到AD与BE相等，预设的教学目标已经生成，笔者顺势请大家画出图形并进行证明，既训练了学生的动手画图能力，又为学生的探究指明了方向，学生乐于探索，也想尽快对变化后的结论是否成立进行求证，这样的设计不仅彰显了学生的主体地位，同时也体现了教师的主导作用.

生3：证明的方法没有改变，依然是运用“边角边”证明△ACD≌△BCE，变化的是在证明∠ACD=∠BCE相等时，运用了“等角加同角”.

师： 既然我们能够把等边△CDE绕点C顺时针旋转，那么，能否改变旋转的方向，在逆时针旋转的情况下进行探究呢？请大家画出图形，分组进行探究.

1.3.2 逆时针旋转

变式2 如图4，将△CDE绕点C逆时针旋转一定的角度，使点D落在△ABC内部，上述结论还成立吗？为什么？

教学说明：学生刚刚感受到成功的喜悦，接着在逆时针旋转的情形下进行探究，学生的热情不减，可引导学生乘胜追击.

生4：结论仍然成立，同样证明△ACD≌△BCE即可，唯一变化的是在找两个角相等的时候，用的是“同减”，而不是“同加”.

教学说明 经历变式1，学生积累了一定的经验，在动手画图的基础上可以自己解决问题，有困难的同学可以请组内成员进行必要的帮助.

教师：同学们，如果两个等边三角形中的“小弟弟△CDE”渐渐长大了，使得点D落在AB上，此时除了AD=BE之外，你还有哪些新的发现？

1.3.3 旋转过程中的特殊情形

变式3 （1）如图5，在旋转过程中，若点D落在AB边上，试猜想BE与AC之间的位置关系.

生5：由△ACD≌△BCE得：∠A=∠CBE=60°，再由等边△ABC得：∠BCA=60°，所以∠CBE=∠BCA，故BE∥AC.

师（追问）：随着△CDE的不断长大，如果点D落在直线BA上，上述结论还成立吗？请你画出图形，继续探究.

（2）如图6，在旋转过程中，若点D落在BA延长线上，BE∥AC是否仍然成立？若成

立，请证明，若不成立，请说明理由.

（3）如图7，在旋转过程中，若点D落在AB延长线上，BE∥AC是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由. 图5 图6 图7

教学说明 学生画出的图形通常有两种，一部分同学画出的是图6；一部分同学画出的是图7，但不管画出哪一种图形，只要抓住△ACD≌△BCE即可解决问题，课堂上可充分发扬民主，让学生动手画图，并说出自己的证明思路.

师：刚才大家对等边三角形进行了旋转、放大，实质上就是针对图形做适当的变化（择机板书课题的第二个字：“形”）.另外，我们还可以尝试对题目中的条件与结论进行互换，构造新的命题，并判断其是否为真，请大家看看下面的变式.

1.3.4 逆向变化

变式4 （1）如图8，已知等边△ABC内部有一点D，外部有一点E，且△ACD≌△BCE，求证：△CDE是等边三角形；

生6：由全等可得相等，抓住CD=CE和∠DCE=60°即可证得. 图8 图9

师：（2）如图9，在（1）的条件下，连接BD，若∠ADC=150°，试证明：DA2+DC2=DB2.

生7：证明DA2+DC2=DB2，可考虑把DA、DC、DB转化到一个直角三角形中去证明.

师（追问）：思路很好，那如何转化呢？

生8：用全等，把它们都转化到Rt△BDE中去.

……

教学说明 此处变化的目的主要是训练学生逆向思维的能力和对基本结论（“等边遇等边，全等边角边”）的运用能力，体会“题中”的思想方法，为最后灵活运用中探究三者平方关系做铺垫.

1.3.5 建模思想

如图10，等边△ABC外部有一点P，连接PA，若∠BPC=30°，试探究：PA2、PB2、PC2之间的关系.

师：请大家借鉴变式4（2）中处理问题的方法和经验，思考如何探究PA2、PB2、PC2之间的关系？思考片刻后，老师提醒大家分组讨论.

（问题提出后，学生的思维得到激发，讨论异常热烈，一会儿功夫，有几位同学高高举起了手，一副跃跃欲试的样子）

生9：如图11，过点P作PD⊥BP，使PD=PC，连接CD、BD.（教师配合学生的表述，在黑板上画出辅助线）

师：谈谈你是怎么想的？

生9：由图可知：PA最长，所以它就是将来的直角三角形的斜边，PB、PC应该是未来的直角边，所以，我想过点P作一条直角边PD，来代替PC，这样就会得到PB2+PC2=PB2+PD2=BD2，下面只需要证到BD=AP就OK了.

师：很好！思路很流畅！要证BD=AP，大家有办法吗？

生10：先证：△PCD为等边三角形，再证：△ACP≌△BCD即可.

师：对了，这就回到图3中的“等边遇等边，全等边角边”这个问题上来了.

教学说明 此处灵活运用旨在引导学生构建数学模型，运用转化的思想处理三者之间的关系，教学过程中可视学生学习情况灵活处理.

（此时，还有两个同学高高地举起右手，老师请其中一位同学发表自己的见解.）

生11：我的构造方法与他不一样，如图12，过点P作PE⊥CP，使PE=PB，连接BE、CE.（教师配合学生的表述，在黑板上画出辅助线）把PB2+PC2转化为PE2+PC2=EC2，然后证明PA=EC即可.

师（追问）：怎样证明PA=EC呢？

生12：证△EBC≌△PBA就可以了.

师：还有其它想法吗？

生13：我看到刚才两位同学的辅助线实际上就是以PC或PB为边作等边三角形，那么能否以PA边作等边三角形呢？

师：想法很好！课后我们不妨试试.（作为课后作业的一部分，考虑到时间问题，教者把此种方法延伸到课后）

教学说明 学生能往此方向去思考，变式的目的已经达到，教者顺势把这个问题顺延到课后，有效“拉长”了学习的长度和宽度.（事实上，运用这种思路也可以进行证明，如图13，由等边△PAD可以把PA转化为PD，由△PAC≌△DAB可以把PC转化为DB，只要证明到△PBD为直角三角形就可以了，结合四边形ABPC内角和为360°可得∠PCA+∠PBA=270°，即∠DBA+∠PBA=270°，从而得证.）

师：结合刚才的几种变形，（黑板上图形的展示）谈谈这节课你的收获？

生14：虽然图形在变，但结合两个等边三角形证明全等一直未变.

生15：我们要学会思考问题，不能仅仅满足于解题，还要多思考题目可以怎么变化？

师：两位同学归纳得都很好！我们围绕这道习题一直在思考一种“变形”的方法，即变形的“计谋”（择机板书课题的第三个字：“计”），如图14、15、16，事实上，我们还可以把两个等边三角形类比成两个正方形或其它图形，进行“变形”研究，请大家课后继续围绕“变形”这个话题，写一篇数学日记，把自己的思路与体会写出来，与大家一起分享！ 图14 图15 图16

师：最后，老师送给大家三句话：“形变法不变，你变我不变，以不变应万变！”下课！

教学说明 此时，变形的目的已经达到，虽然题目在变，但解决问题的方法始终未变，学生似乎还沉浸在图形的变化中，意犹未尽！

附：课后作业 ：

探索研究

已知：△ABC和△CDE都是等边三角形.

（1）如图17，若点A、C、E在一条直线上时，我们可以得到结论：线段AD与BE的数量关系为： ，线段AD与BE所成的锐角度数为 °；

（2）如图18，当点A、C、E不在一条直线上时，请证明⑴中的结论仍然成立；

灵活运用

如图19，某广场是一个四边形区域ABCD，现测得：AB=60m，BC=80m，且∠ABC=30°，∠DAC=∠DCA=60°，试求水池两旁B、D两点之间的距离.

2 教学反思

2.1 变式教学应充分发挥课本的潜在功能

数学教材不仅是传播知识的工具，而且是训练和培养学生思维的极好素材.课本提供的例、习题作为教材的有机组成部分，是教学中不可忽视的重要内容，它对帮助学生理解基础知识，形成基本技能，完善认知结构，培养和提高思维能力等都起着重要的作用.因此，如何深入挖掘课本典型题目的潜在价值，真正发挥其应有的功能，为学生的思维发展架梯搭桥，是我们在教学中值得重视和探讨的问题.

课本上原题所提供的是两个等边三角形，其目的是让学生灵活运用等边三角形的性质来证明两个三角形全等.如果我们在学习过程中抓住了“等边遇等边，全等边角边”这一解决问题的核心，掌握图形变但方法不变的本质，学会一通百通，就能达到融会贯通.学会方法的根本目的，真正发挥习题应有的教学价值.同时为学生的思维发展“添梯搭桥”，以求学生学会举一反三、触类旁通，让学生经历探索问题的过程，感受数学探究的乐趣，体验数学中变与不变的辩证关系.

2.2 变式教学应充分尊重学生的主体地位

回顾本节课的教学，由老师带着学生一起对基本图形做变式探究，到放手让学生通过动手操作、小组合作、建立模型，以图形变化、问题变式为导向，教者始终尊重学生的意见，使每位学生的潜能都得到最大可能的发挥，让不同层次的学生都能学有所获，彰显了学生的主体地位，使学生真正成为课堂学习的主人.

本节课对问题变式步步深入、层层推进，既兼顾到学生的基础和能力，使每一个问题的变式都建立在前面问题的基础之上，又保持了适度的“空间”，让学生既不能轻易“得手”，又不觉得无计可施，使不同水平的学生在不知不觉中渐入佳境，在“拾阶”而上的过程中，学生的灵感得以激发，思维得到拓展.同时，立足学生思维的“最近发展区”，通过师生交流、生生合作，时刻关注每一位学生的思维变化和探究过程，引导学生学会“变式性”地去思考问题.

德国哲学家狄慈根曾说过：“变式是学习之母”，对问题进行变式就是一种积极的“重复”.实践证明，在原题的基础上对图形和问题进行变式是一项很有意义的数学活动，变形过程中，给学生足够的思考时间和互动空间，使学生的思维得以发展，能力得到提高.随着学生从答题者到“变式者”身份的悄然变化，学生的主体地位得到保证，“探索权”得到提升，最终效果体现在学生学习上的事半功倍.

2.3 变式教学应充分挖掘学生思维的“蘑菇”效应

本节课主要对原题中的图形和所提出的问题进行“自然”变式，使学生经历了一个等边三角形的顺时针旋转、逆时针旋转、旋转中放大、位置特殊等过程，在“接力”式的变式探究过程中，让学生在力所能及的范围内充分参与、积极思考.

著名数学家波利亚说过：“好问题如同某种蘑菇，有些相似，它们大都成堆地生长.找到一个以后，你应当在周围再找找，很可能在附近就有几个.”习题变式教学何尝不是如此！作为数学教学的重要组成部分，对此类问题的处理决不能就题论题，作为教者应在学生的思维发展区内，对其进行由易到难、循序渐进的变式拓展训练，对题源进行适度的“繁衍”，引导学生养成“变式思考”问题的习惯，并以此学会思考问题的方法，进一步丰富学生的“变题”策略，感受问题变化的过程和发展的内涵，促进学生认知结构的优化和探索能力的提升，以达到会一题、变一串，思一类、通一片的学习效果.

值得我们思考的是，除了对题目所提问题进行变式外，我们还可以在解题方法、结论探索、课题研究等方面做一些类似的变式教学尝试，带领学生邀游于五彩缤纷的变式世界，让学生挖到更多、更粗壮、更鲜美的好“蘑菇”，在寻找蘑菇的道路上提升学生的思维能力，优化学生思考问题的方式，为学生的终身发展奠定基础.