重视概念本原加强整体感知——从概念理解的角度设计《倍的认识》教学

朱 强

（本文作者系朱乐平数学名师工作站“一课研究”组成员）

《倍的认识》是一节概念学习课，需要学生从自己的经验出发，通过感知、认识“倍”的概念本原（指概念中最根本、最重要的部分），从而达成对“倍”概念的理解和掌握。理解并掌握数学概念的核心是把握概念的实质，而不仅仅是掌握概念的形式上的定义。所以，教师更应该重视学生对“倍”概念的整体性感知和本原性理解，教学中要为学生提供这样的路径和机会。

一、拓展知识结构，了解倍比和差比是比较两个数量大小(多少)的两种方法——“倍”的核心思想是“方法”

数学是研究数量关系与空间形式的学科。研究数量关系从两个量的比较开始。小学阶段的比较主要有差比和倍比，也就是建立加法（减）结构和乘（除）法结构。小学生在学习“倍”之前，知识结构主要以加（减）法结构为主，比较两个量的方法主要用“差比”。“倍的认识”会进一步帮助学生理解并构建乘（除）法结构，并学习另一种两个量比较的方法——“倍比”。从加（减）法结构到乘（除）法结构，从差比到倍比，表面上看只是表达形式有了些变化，但实际上，学生在解决问题时，多了一条途径，多了一种方法，也就意味着学生将面临方法的判断和选择问题，学生的认知结构需要发生一定程度“质”的变化，而“倍”的学习是发生质变的第一次机会。“倍的认识”要经历从单一结构到多种结构的转变，认知结构的改变将会给学生学习带来很大的挑战。

【教学环节1】

引出“倍”，建立差比、倍比的并行结构，对比两种比法。

1.教师出示2个红气球和6个蓝气球的图片，提出问题：

（1）你从图中知道了哪些数学信息？

（2）蓝气球和红气球比，它们的数量有什么关系？

2.学生回答。

3.学生思考讨论。

（1）你是怎么比的？和别人有什么不一样？

（2）两个数量比较，大家用了几种比法？有什么不一样？

（3）你能给这些比法取个名字吗？

4.小结揭题：两个事物（数量）进行比较，可以用差来比，也可以用倍来比。用差比已经学过，今天学习用倍比。

红：○○

蓝：○○○○○○

【评析】差比是一种一一对应的关系，是一一对应后数量的多少之比。而倍比是一份与多份的对应关系，即“倍”是从一个标准量引出的“几份”与“一份”的比，其标准量“一份”可以是一个也可以是多个。大部分学生并不清楚差比和倍比实际上是比较的两种不同方法，这两种方法都可以描述两个数量的关系，以前用相差多少来描述，现在可以用另一种方式来描述。这两种方法是平行并列的。这一环节设计，让学生自己发现两种方法的同时存在，并通过对比发现、体会两种方法的异同，整体感受知识的自然发生发展过程，帮助学生初步感知、建立以下知识结构：

二、感知本质属性，理解“倍”是描述两个数量间相比后产生的一种关系——“倍”的实质是“关系”

“倍”用来描述两个数量比较后产生的一种关系，源于乘法的意义，是“几个几”抽象后形成的概念，但这仅仅停留在对“几倍数”的理解，淡化了对于两个量的比的关系，淡化了以一个数为标准，另一个数里有几个这样的标准，就是说这个标准数的几倍的本质概念。因为数学中的“倍”，是指两个数之间的数量关系，在除法算式里一般是指“商”，这个商可以是整数，也可以是小数或者是分数。因此，如果仅从乘法的角度去认识“倍”，显然是不全面的，学生理解起来也是有难度的。虽然学生在乘法中有了一份一份叠加的经验，却缺少了除法中“份”与“份数”的关系，也就是一份一份均分的过程。

【教学环节2】

认识“倍”，深化概念理解，感知本质属性。

1.教师根据学生回答出示：“蓝气球数量（6个）是红气球数量（2个）的3倍”。

提出问题：你是怎么看出蓝气球的个数是红气球的3倍的？

2.学生回答。

3.教师根据学生回答板书：把2个红气球看成1份，蓝气球有这样的3份，所以蓝气球的个数是红气球的3倍。

4.教师提问：你有办法让蓝气球数量不是红气球的3倍吗？

（1）改变蓝气球个数。

（2）改变红气球个数。

5.教师用图形和线段图两种方式表示倍数关系，请学生解读倍数关系。

6.请学生观察实物图、图形图、线段图这三种表达方式，有什么发现？为什么？

7.整理归纳：回忆刚才的学习过程，我们是怎样比较两个量的关系的？

【评析】“关系”有一定的抽象性，所以学生在认识和应用“倍”时会感觉比较困难。分析学生在倍的认识中的错误原因，一是因为学习了乘法后，数量间关系从单一的差比（加减），增加了倍比，学生因此产生了选择性困难，两种比较方法混淆不清；二是因为数量间关系不够清晰。这一环节的设计，通过学生对已有经验的提取和整理，发现把一个量看成一份，另一个量有这样几份就有几倍，帮助学生在两个数量的比较过程中感受倍的含义，初步构建倍的模型。在此基础上，再让学生对两个数量间“3倍”关系进行“破坏”，通过“一份数”或“几份数”的改变来构建新的倍数关系，从而进一步感知数量间的相依变化，促进对倍本质属性的理解。此外，这一环节还用实物图、图形图、线段图等多种表征形式来逐步抽象两个量的关系，促进学生更好地感知和理解。

三、渗透函数关系，感受两个量之间的变化规律——“倍”的根本是“对应”

克莱因提出了一个重要的观点——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。”函数思想的本质是建立和研究变量之间的对应关系，是中学阶段数学学习的一条主线。在小学阶段，让小学生感知变量和不变量之间的关系，经历一些函数的雏形，可以丰富他们对函数的感受，有助于小学生数学学习的深刻性，有助于中小学数学教学的衔接。倍的认识教学是一个很好的渗透函数思想的契机。

【教学环节3】

应用“倍”，探求倍数关系的数量结构，感受函数变化。

1.红气球2个不变，蓝气球2个2个增加，蓝气球个数和红气球个数的倍数关系如何变化？蓝气球2个2个减少呢？

2.蓝气球12个不变，红气球是（ ）个时，蓝气球个数是红气球的（ ）倍。

动手操作，画一画、圈一圈、填一填，将结果整理成表格。

3.蓝气球个数是红气球的3倍不变，红气球和蓝气球怎么变化？（现场输入数据，培养统计意识）

4.对比三张表，你有什么发现？

先独立观察，再小组合作讨论交流。

5.小组汇报。

【评析】数学新课程把函数思想作为贯穿中小学数学的一个重要思想，教材作为课程实施的载体，系统地挖掘并整理小学数学教材中蕴含函数思想的因素，对提高小学教师对教材中函数思想的认识，进而在教学中有效地渗透函数思想具有重要的意义。函数的核心就是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是‘过程’，不变的是‘规律’(关系)”。学生乐意去发现规律，并能将规律表述出来的意识和能力，就是函数思想在教学中的渗透。

这个教学环节设计了“1倍数不变”、“几倍数不变”和“倍数不变”这三种情境，为学生提供了感受数量间函数变化的机会，既可以更全面、更深入地认识倍，又可以在活动观察中体会数据一一对应的关系，感受到一个数据随另一个数据的变化而变化的过程，这对学生函数思想的形成有很大的帮助。三张表、三种变化一起在同一课中出现，对学生来说有一定难度，需要给学生一定的时间和空间。

四、把握知识体系，体会“倍”只能解决两个量比较中的部分关系——“倍”的作用是“基础”

“倍”的概念是一个起始概念。这一概念的生长点是乘法的意义，下位知识是有关“倍”数的三类应用题，建立正确的“倍”概念，是解答有关“倍”的应用题的基础与关键。在后继学习中，除法、分数、百分数、比这些知识都与“倍”概念有着千丝万缕的联系，因此，“倍的认识”有着重要的承前启后的基础性作用。有些学生在学习分数应用题时会遇到一些困难，主要原因是对单位“1”的理解以及量率对应上把握得不是很好，究其根本就是对“1倍数”为标准量以及一份对多份的对应理解不够，无法顺利实现迁移和转化。

【教学环节4】

突破“倍”，认识特殊“倍数”，开启后继学习之门。

1.认识“1 倍”。

图示2个红气球和4个蓝气球，蓝气球减少2个，蓝气球个数和红气球比有什么关系呢？

2.认识“一半”。

蓝气球如果再减少一个呢？蓝气球个数和红气球比有什么关系呢？

3.你还能举出两个量相比却不太好用倍来说关系的例子吗？那我们怎么办呢？

4.整理小结。

【评析】“倍”是比出来的，“1倍”是谁和谁比？当两个量同样多时，两个量都是对方的“1倍”，当一个量时，自己就是自己的“1倍”。当比较量比标准量少时，两个量之间的倍数关系怎么说？当比较量比标准量大时，两个量之间的倍数关系又怎么说？显然没有学过分数的学生是无法回答的，但这个环节的设计，让学生感受到了不是所有两个量都能用“倍比”，现在都能用“倍”来表达，有一部分还等着我们后继学习。同时又能体会到，这部分暂时不能用“倍”来表达的和今天的“倍”是师出同源、一脉相承的，这样就能为将来的分数、比等知识的学习埋下一颗种子。

综上，笔者认为，“倍”是小学数学中的一个重要概念，学生对这个概念的理解和掌握程度会影响其后续的学习。“方法”、“关系”、“对应”、“基础”这几个关键词是“倍”概念中最重要的部分，教学中要加以重视。