“倍的认识”一课的教学与思考

周兴华　蔡宇清

[摘 要]“倍”是小学数学中非常重要的一个概念，“倍的认识”这节课便是学生认识“倍”的概念的起始课。通过课堂的观察和实践，我们需要找到教学中存在的问题和学生学习的困难之处，然后施以正确的教法，使学生真正理解所学概念，获得发展。

[关键词]倍 数学概念 课堂观察 思考

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）23-018

“倍”是小学数学中非常重要的一个概念，“倍的认识”这节课便是学生认识“倍”的概念的起始课。作为青年教师，为了更好地教学“倍的认识”一课，我近期收集、整理了一些文献，通过对文献资料的梳理，对此课的教学再一次进行思考。

一、教师眼中的“倍”

从众多发表的文章中，可以发现许多教师把“倍”看成是刻画两个量之间关系的一种表达方式，其数学核心思想是用一个量去刻画另一个量。“倍”代表着两个数量间的比较关系，它产生的前提和基础是两者比较，关键是要把其中一方以另一方为标准，分成相同的几份。“倍”是学生在刻画两个量之间关系的时候，第一次从绝对数量的比多少到相对数量关系的转变，对学生即将接触到的分数、百分数、比，甚至以后的函数等内容的学习，起着至关重要的作用。也有的教师认为“倍”是刻画两个量之间关系的众多表达方式中的一种，和其他的刻画方式属于同等位置，所以应该和众多的刻画方式建立起联系，并将“倍”的刻画方式准确地纳入到表达关系的这一知识体系当中。

从目前的研究现状来看，多数一线教师对“倍”的理解到了关系的层面，而北京教育学院刘加霞老师认为“倍”是从加法结构到乘法结构的转折点。小学生的数学认知结构主要是加法结构和乘法结构，而乘法结构是在加法结构基础上产生的高层次的数学认知结构。乘法结构不是指单一的认识乘法，而是一个概念体系，基本概念是乘法与除法，与之相关的有倍、最大公因数、最小公倍数、运算律及面积、体积、表面积、速度等概念和定律。这样看来，从乘法结构的角度去进一步研究“倍”未必不是一个新的研究方向，我们既可以从乘法结构聚焦到“倍的认识”，也可以从“倍的认识”辐射到乘法结构。

二、教师教学时应关注什么

1.学生的学习基础

美国著名认知心理学家奥苏泊尔说过：“如果我不得不将教育心理还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学。”一线教师在教学“倍”的概念时，能从学生已有的认知出发，引导学生建立新旧知识之间的联系。教材中“倍”的概念是依据乘除法知识中“几个几”“份”的概念扩展而来的，通过两个不相等数量的比较，由“份”引出“倍”，使学生初步认识“倍”的含义，这就是学生具备的认识“倍”的基础。针对“倍”的意义理解，教师教学中要让学生对乘法意义中的“几个几”与新知“几倍”形成关联，引导学生运用己有的知识经验来认识概念的本质，建立新旧概念间的联系，从而促进知识的有效迁移。

2.情境教学

“倍的认识”一课，北师大教科书以快乐的动物创设情境，通过问题串一步步引导学生对不同动物的只数进行比较，从而认识“倍”的概念，而人教版教科书则是让学生在用小棒拼摆图形的过程中建立“倍”的概念。在实际教学中，教师又进一步将教材中的情境转换成各种各样有趣的情境，如有的以猜数游戏引入，有的利用拍手歌激趣，有的引导学生从动手摆不同颜色的图片中发现数量关系的问题，有的让学生比较不同事物的数量关系或比较物体的长度关系，有的创设挑战三个卡通人物带来的数学问题的情境……无论创设什么样的情境，目的都是让学生在感兴趣的情境中，获得积极的情感体验，使他们感受到数学魅力的同时，掌握“倍”的概念。

3.从关系入手理解“倍”的意义

前面提到，多数教师把“倍”看成是刻画两个量之间关系的一种表达方式，因此教师往往从研究关系入手，引导学生理解“倍”的意义。如北京海淀区教研室的郭丽军老师教学时先出示3个红圆片、3个黄圆片，问学生两种圆片的数量有怎样的关系，然后增加3个黄圆片，再让学生说一说3个红圆片和6个黄圆片间又有怎样的关系。学生会最先发现多少的关系，然后郭老师慢慢引导学生从多少的关系过渡到倍的关系，也就是让学生的思维结构从加法结构上升到乘法结构。

4.利用画图表征，促进“倍”的理解

教师教学时一般先通过画一画、比一比等操作活动，引发、激活学生头脑中的原有认知并使之外显出来，然后让学生进行讨论和交流，引导他们从“几个几”的角度初步认识“倍”的含义。认知心理学认为：“概念形成其实可以概括为两个阶段，即从完整表象上升为抽象概念，实现抽象概念在思维过程中的具体再现。”这里，形成完整表象是最重要的一个环节。然而，由于低年级学生表达能力欠缺，所以让学生通过画图表征来表达出自己构建的概念表象就显得尤为重要。画图表征在实物操作与抽象思维之间架起了相互沟通的桥梁，让学生在圈一圈、画一画等活动中初步建立“倍”的表象，有利于学生有效表达自己构建的概念表象。

5.在不断对比与抽象中，逐步理解“倍”的意义

乌申斯基说过：“比较是一切理解和一切思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”在学生通过动手操作等手段初步认识“倍”后，如何让学生进一步理解“倍”的概念呢？这就需要教师引导学生在不断对比与抽象中，舍弃“倍”的各种非本质特征，在变化中抓住“不变”，而这“不变”就是“倍”的本质。许多教师在教学中会设计多个比较的环节，如“一份数不变，几份数在变，倍数也随之变化”“一份数在变，几份数也在变，倍数却不变”等，通过比较引导学生逐步明晰和把握概念的本质，使他们的认知和理解不断深入。

三、教学“倍的认识”的新思考

虽然学生能够说出谁是谁的几倍，也能借助乘法进行计算，但这并不表示学生真正认识、理解了“倍”，在运用“倍”解决问题时仍然会出现各种各样的困难。这首先是因为学生受自身认知结构水平的影响，即从加法结构到乘法结构，学生的认知结构需要发生一定程度“质”的变化。“倍”的学习是学生认知结构发生质的变化的第一次机会，因为学生学习“倍”要经历从加法结构到乘法结构的转变，所以认知结构的转变是学生学习的最大困难。其次是因为知识点本身的难度。“倍”不是单一的乘法结构，它是乘法意义的拓展与延伸，但同时也包含对除法意义的理解，这无疑会对初次理解“倍”的概念的学生造成一定的困难。

我校最近开展了“课堂观察”研究活动，通过对教师和学生的细致观察，我们发现学生在学习“倍”的过程中还有以下三个问题。

1.对“关系”不理解

“关系”一词，在现代汉语词典中的解释是事物之间相互作用影响的状态。我们在日常生活中会经常用到这个词，感觉理解起来很简单，但学生对于用在数学背景中的“关系”一词并不是很理解，大多数学生听到老师提出“它们之间有什么关系”的问题时，出现听不懂的现象。所以，这时教师不妨停一停，可以举个例子来进一步说明，这样才能使学生更好地继续下面的学习。

2.理解“倍”的概念不能只通过观察

通过对文献的梳理，我发现许多一线教师都是让学生直接观察静止的事物来寻找数量之间的关系，如观察黑板上摆好的教具或画好的简单图形等。当教师在黑板上摆出6个红色圆片和3个白色圆片时，学生会很快说出6比3多3或者3比6少3，但很难会想到6里面有2个3或者6是3的2倍，这也恰恰说明了儿童的认知从加法结构上升到乘法结构是十分困难的。那么，怎样才能让学生的认知自然过渡呢？通过尝试，我发现动手操作是一个可行的办法。课前为学生准备可以摆动的学具，如最简单的小圆纸片等，这样学生在摆一摆学具的过程中会自然地产生分堆的想法（如下图），如把3个白色圆纸片摆成一堆、把6个红色小圆纸片摆成两堆等，这里的“一堆”就是“1份”或者叫做“1倍量”。这样教学，使学生更自然地想到6里面有2个3，这就是学生脑子中最初的“倍”。

许多教师为了让学生更好地理解“倍”，看清数量之间的关系，常常会采用圈一圈的办法。其中，还有一些教师一上课就让学生去圈一圈，然后直接引出“倍”的概念。我认为这样教学节奏过快，因为“倍”的认识需要一个过程。这里，教师不妨放慢脚步，在学生初步建立“倍”的概念后，引导他们动手摆一摆。其实，摆出的“1堆”和圈出的“1份”能达到异曲同工之妙，而动手摆一摆会让学生对“倍”的认识更加深刻。

3.难于表达“倍”

学生能够说出谁是谁的几倍，也能借助乘法进行计算，但在表达时仍然会出现许多困难。“倍的认识”一课的教学，要求学生能够理解“倍”的含义并学会表达“倍”。在表达“倍”时，教师不要急于给学生出示标准的表达形式，而是要等待学生先形成自己的表达方式。根据学生的年龄特点，发现学生的理解能力优于他们自身的表达能力，所以学生表达不清楚是正常的。因此，在学生表达对“倍”的理解的时候，教师可以尝试用画图的方式，引导学生从多个角度进行表达，以加深他们对“倍”的理解。

总之，“倍的认识”一课不是一节新课，但是作为青年教师，我们需要有把它看成一节新课去研究的态度，更需要不断去思考、去研究、去创新，以使学生真正理解所学知识，在数学上获得不同的发展。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 高丽杰，从“形”到“数”，在不断对比与抽象中认识“倍”[J].小学教学（数学版），2010（1）.

[2] 刘加霞.从加法结构到乘法结构：“倍”是转折点——评析高丽杰老师的“倍的初步认识”[J].小学教学，2010（7-8）.

[3] 顾晓东.基于已有经验的意义关联——“倍的认识”教学反思与改进[J].小学教学参考，2014（1）.

（责编 杜 华）