P波入射下浅埋圆形复合式衬砌隧道减震力学特性研究

王帅帅，高 波，申玉生

(西南交通大学 交通隧道工程教育部重点实验室，四川 成都 610031)

圆形洞室动应力集中问题一直是地震工程学研究的重要内容。文献[1]采用波函数展开法研究无限弹性空间内圆形衬砌洞室在弹性波入射下的动应力集中问题。文献[2-4]基于大圆弧假设进一步得到平面SH波、P波和SV波入射下半空间圆形洞室的动应力集中系数级数解，并分析了地下洞室存在对地表位移的影响。文献[5，6]给出平面P波和SV波入射下半空间内圆形单层衬砌洞室动应力集中问题的级数解析解。文献[7]研究P波作用下无限弹性介质中设减震层圆形衬砌隧道动应力问题，研究表明在衬砌外设置减震层可以降低衬砌动应力集中系数。文献[8]研究平面SH波入射下深埋圆形组合衬砌隧道的动应力集中问题。

国内很多专家学者都对隧道减震技术开展了研究，文献[9-11]通过数值模拟、振动台试验研究隧道减震层结构，研究表明设置减震层可以减小隧道衬砌位移差，从而降低隧道动应力集中系数。但这些研究都没有考虑地震波入射角、入射频率对隧道结构的影响，也没有考虑体波(P波)对隧道结构的影响，而在震中区域地震P波对隧道结构的影响不可忽视[12]。

目前国内外关于隧道减震层的相关研究一般都采用数值模拟和振动台试验，由于数值模拟手段的限制，关于P波入射角和入射频率对隧道减震结构影响的研究还较少。对于浅埋隧道而言，静力作用下其结构内力较小，地震波是引起隧道结构动应力的主要因素。因此，本文进一步推导平面P波入射下半空间内圆形复合式衬砌隧道动应力集中系数级数解析解，分析平面P波入射角和入射频率对洞室动应力的影响，并研究衬砌刚度组合对衬砌动应力的影响，深入探讨减震层的减震机理。

1 理论模型

浅埋圆形复合式衬砌洞室中心埋深为h，洞室衬砌2内半径为R3，衬砌1内半径为R2，衬砌1外半径为R1，半空间介质和衬砌均为各向同性均匀弹性介质，围岩的力学性质由拉梅常数λs、μs以及密度ρs确定，相应介质的压缩波和剪切波波速为vsα和vsβ，而衬砌1介质力学性质由拉梅常数λL1、μL1以及密度ρL1确定，相应介质的压缩波和剪切波波速为vL1α和vL1β，而衬砌2性质由拉梅常数λL2、μL2以及密度ρL1确定，其压缩波和剪切波波速为vL2α和vL2β，具体模型如图1所示。

图1 复合式衬砌洞室模型图

参考既有文献研究，用一个半径足够大的圆弧替代水平地表自由面[2]，b为地表大圆弧半径，圆弧的圆心位于O2点，D为坐标原点O1与O2之间的距离，则有D=b-h。

在无洞室的自由场地中平面P波以角度θα倾斜入射，其入射圆频率为ω，在地表产生反射P波和反射SV波，其波势函数在O1坐标系中展开为式( 1 )[2，4]。

( 1 )

式中：ksα、ksβ为半无限介质压缩波P波波数和剪切波S波波数[2]，即

( 2 )

k1eiksαhcosθα]

( 3 )

( 4 )

( 5 )

当半空间自由场地中存在圆形复合式衬砌洞室时，入射P波会在衬砌介质与半空间介质界面产生散射P波φs1(r1，θ1)和散射SV波ψs1(r1，θ1)。

( 6 )

由于大圆弧假定，在地面会产生散射的P波φs2(r2，θ2)和SV波ψs2(r2，θ2)，其波势函数可以展开为式( 7 )。

( 7 )

( 8 )

( 9 )

2 边界条件及求解

平面P波入射下地下圆形复合式衬砌洞室动应力问题属于平面应变问题，弹性介质中位移和应力的势函数表达式[5]分别为

(10)

(11)

式中：

(12)

由于式( 7 )是在极坐标系O2(r2，θ2)中的展开式，在求解问题前，应基于Graf加法公式[3，4]进行坐标变换。将介质中波势函数表达式带入式(11)和式(12)中，可得介质中的应力和位移在极坐标系O1(r1，θ1)中的级数表达式。

根据模型位移和应力连续条件可得

(1)自由地表零应力边界条件

(13)

(2)衬砌1和围岩界面应力与位移连续条件

(14)

(3)衬砌2和衬砌1界面应力和位移连续条件

(15)

(4)衬砌2内表面零应力边界条件

(16)

将各层的介质位移和应力表达式带入式(13)～式(16)，可联立求解方程组得到待定系数A*，n，B*，n，C*，n，D*，n，最后将求解得到的待定系数代入各介质的应力和位移表达式，即可求得各层介质应力和位移的级数解析解。

3 结果分析

借鉴文献[1，2]，引入介质极坐标下三个方向动应力集中系数(DSFC)

(17)

(18)

(19)

在下文计算中，假定半无限介质和衬砌介质的泊松比为0.25，为了尽可能模拟半空间水平地表，大圆弧半径按b=10 000R4取值，衬砌1和衬砌2总厚度为洞室衬砌内半径的1.2倍，衬砌1和衬砌2厚度之比为2∶3。本文拟针对地下双层刚性衬砌、柔性-刚性衬砌和减震层-刚性衬砌三种刚度组合衬砌洞室开展研究，半无限空间介质和衬砌介质参数：衬砌介质与半空间介质剪切波速比分别为1/6(减震层)、1/3(柔性衬砌)和3(刚性衬砌)，对应密度比为5/6、4/5和25/18。

3.1 双层刚性衬砌洞室动应力集中系数

图2～图4为不同入射平面P波、入射角分别为θα=0°和θα=30°时双层刚性衬砌洞室的动应力集中系数分布图。

图2 η=0.25(低频)双层刚性衬砌洞室DSCF

图3 η=1(中频)双层刚性衬砌洞室DSCF

图4 η=2(高频)双层刚性衬砌洞室DSCF

对比图2～图4中刚性衬砌1和刚性衬砌2的动应力分布，可以发现刚性衬砌2的动应力集中系数大于刚性衬砌1，如当入射波频率η=0.25、入射角θα=0°时，刚性衬砌2最大动应力集中系数为17.7，此时，刚性衬砌1最大动应力集中系数为7.6，可见由于地震波在洞室内临空界面边界发生散射，刚性衬砌2内侧存在零应力边界条件，其受力状态较刚性衬砌1差，因此，刚性衬砌2动应力集中系数大于刚性衬砌1。

从图2可以发现入射P波入射角θα对刚性衬砌动应力集中系数有明显影响，随着入射角θα增大，刚性衬砌动应力空间分布变复杂。入射频率η=0.25、入射角θα=0°时，刚性衬砌2最大动应力集中系数为17.7，出现在洞室左右两侧，当入射角θα=30°时，刚性衬砌2最大动应力集中系数为21.6，出现在洞室右下部。

对比分析图2～图4中不同入射波频率η的P波入射时刚性衬砌的动应力集中系数分布，可以发现入射P波的入射频率对刚性衬砌洞室的动应力集中有明显影响，随着入射波频率η增大，刚性衬砌1和刚性衬砌2动应力集中系数分布逐渐变复杂。例如当入射P波入射角度θα=30°、入射频率η=0.25时，刚性衬砌2的最大动应力集中系数为21.6，出现在洞室右下部；入射波频率η=1时，刚性衬砌2的最大动应力集中系数为12.3，出现在洞室左下部；入射频率η=2时，衬砌最大动应力集中系数为10.9，出现在洞室右上部。

3.2 柔性衬砌-刚性衬砌洞室动应力集中系数

将衬砌1赋值为柔性衬砌参数、衬砌2赋值为刚性衬砌参数进行研究。

柔性衬砌-刚性衬砌洞室动应力集中系数分布如图5～图7所示，可以发现与两层刚性衬砌洞室一样，入射频率和入射角对柔性衬砌-刚性衬砌洞室动应力集中系数有明显影响。

图5 η=0.25柔性衬砌-刚性衬砌洞室DSCF

图6 η=1柔性衬砌-刚性衬砌洞室DSCF

图7 η=2柔性衬砌-刚性衬砌洞室DSCF

对比图2和图5可知，入射P波低频η=0.25入射时，刚性衬砌2的动应力集中系数相似，但柔性衬砌-刚性衬砌洞室中刚性衬砌2的动应力减小，可见柔性衬砌1对刚性衬砌2的动应力集中系数有明显影响。如低频入射(η=0.25)时，当入射角θα=0°时，双层刚性衬砌洞室中刚性衬砌2最大动应力集中系数为17.7，柔性衬砌-刚性衬砌组合式衬砌洞室中刚性衬砌2对应值为15.1，最大动应力集中系数均出现在洞室左右两侧。主要是由于衬砌1采用的柔性衬砌刚度低，可以起到缓冲作用，减小了作用在刚性衬砌2上的作用力。

对比分析图4和图7高频波(η=2)入射下两种复合式衬砌洞室的动应力集中系数分布可以发现，对于高频(η=2)入射波，柔性衬砌1明显改变了洞室动应力特性。如当高频波(η=2)入射、入射角θα=30°时，双层刚性衬砌洞室中衬砌2最大动应力集中系数为10.9，在洞室左上部，柔性衬砌-刚性衬砌洞室中刚性衬砌2对应值为15.1，出现在洞室右下部。

从上述分析可见，柔性衬砌1对刚性衬砌2的动应力有明显影响，在低频(η=0.25)情况下，设置柔性衬砌1可以降低刚性衬砌2的动应力集中系数，但对于中高频(η=1，2)入射波，设置柔性衬砌1后，刚性衬砌2的动应力集中系数变复杂。

3.3 减震层-刚性衬砌洞室动应力集中系数

如图8～图10所示，同双层刚性衬砌和柔性衬砌-刚性衬砌洞室一样，入射频率和入射角对刚性衬砌2的动应力集中系数有重要影响。对比分析图2、图5和图8可知，在低频(η=0.25)条件下，洞室设置柔性衬砌和减震层不会改变刚性衬砌2的动应力分布规律。

图8 η=0.25减震层-刚性衬砌洞室DSCF

图9 η=1减震层-刚性衬砌洞室DSCF

图10 η=2减震层-刚性衬砌洞室DSCF

进一步分析可知，当衬砌1采用柔性衬砌和减震层时，刚性衬砌2的动应力集中系数明显降低，对应入射角θα=30°时，双层刚性衬砌洞室中衬砌2最大动应力集中系数为21.6，柔性衬砌结构中相应衬砌2最大动应力集中系数为18.9，设置减震层洞室后，衬砌2相应值进一步降低为14.9。柔性衬砌和减震层刚度低，可以起到缓冲作用，吸收围岩向刚性衬砌2的变形，减小了作用在刚性衬砌2上的作用力，衬砌1刚度越小，衬砌2动应力集中系数越小。

对于中高频(η=1，2)入射波，设置减震层后，刚性衬砌2的动应力集中系数分布变复杂。如，当高频(η=2)波以入射角θα=30°入射时，双层刚性衬砌洞室中衬砌2的最大动应力集中系数为11.1，出现在右上部；柔性衬砌-刚性衬砌洞室，衬砌2最大动应力集中系数为15.1，出现在右侧下部，而减震层-柔性衬砌洞室中衬砌2最大动应力集中系数为15.1，在拱顶右侧部分。这说明柔性衬砌和减震层对高频波的减震效果不明显，主要是由于随着衬砌1刚度减小，组合衬砌洞室振动特性发生改变，随着入射波频率增加，发生了共振现象。

3.4 减震层减震机理

为研究减震层减震机理，取地震波低频(η=0.25)条件下垂直入射分析，刚性衬砌外侧和围岩内侧三个方向动应力集中系数如图11所示，设置减震层后，刚性衬砌外侧和围岩内侧三个方向动应力集中系数如图12所示。

(a)围岩动应力集中系数分布图

(b)衬砌外侧动应力集中系数分布图图11 双层衬砌隧道动应力集中系数

(a)围岩动应力集中系数分布图

(b)衬砌外侧动应力集中系数分布图图12 设减震层隧道动应力集中系数

4 管道隧道减震措施研究

4.1 工程背景

本文拟对某Ⅸ度地震区浅埋管道隧道工程开展研究，选取某典型隧道断面，隧道洞口段围岩级别为Ⅵ级，初步设计中断面形式采用直墙圆拱型，隧道洞内净宽4.5 m，洞内净高4.5 m，采用全断面法开挖，初期支护采用C20喷射混凝土，厚度为20 cm，二次衬砌采用C30混凝土，衬砌厚度40 cm，隧道埋深h取9 m，围岩和衬砌物理力学参数见表1。

表1 计算参数

本文建议在强震区浅埋段管道隧道采用圆形断面形式，参考既有隧道减震研究成果[8-10]，通过在隧道围岩和衬砌间设置一层刚度较低的减震层，可以减小隧道动力响应。

4.2 减震层参数优化

本文拟针对减震层弹性模量和厚度两个参数进行优化研究，引入减震层与围岩弹性模量比γ=E减震层/E围岩、减震层厚度与洞室内直径比λ=h减震层/(2R3)两个参数。

首先，研究减震层弹性模量对复合式衬砌洞室动应力集中系数的影响，计算中减震层厚度取15 cm，其他计算参数见表1，衬砌动应力集中系数随减震层与围岩弹性模量比γ变化曲线如图13所示。从图13可知，当减震层与围岩弹性模量比γ<1/20时，衬砌动应力明显减小，因此，实际工程中减震层弹性模量宜低于围岩弹性模量的1/20。

图13 衬砌动应力集中系数随γ变化曲线

为研究减震层厚度对复合式衬砌洞室动应力集中系数的影响，参考实际工程常用材料，推荐减震层弹性模量取25 MPa，其他计算参数见表1，衬砌动应力集中系数随减震层厚度和洞室内直径比λ的变化曲线如图14所示。从图14可见，当减震层与洞室内直径比λ>0.04时，随着减震层厚度增加，衬砌动应力减小趋势降低，因此，建议实际工程中减震层与洞室内直径的最优比值取1/25。

建议实际工程中在围岩和衬砌间设置减震层来降低管道隧道衬砌动应力，减震层弹性模量取值宜低于围岩弹性模量的1/20，最优减震层厚度宜为洞室内净空直径的1/25。

图14 衬砌动应力集中系数随λ变化曲线

5 结论

本文基于Bessel-Hankel波函数展开法，给出平面P波入射下半无限空间中圆形复合式衬砌洞室动应力集中系数级数解，对比分析不同入射角和入射频率的入射波作用下，双层刚性衬砌、柔性衬砌-刚性衬砌和减震层-刚性衬砌洞室动应力集中系数变化规律，最后结合某Ⅸ度强震区管道隧道实际工程，得到以下主要结论：

(1)入射频率和入射角对衬砌动应力集中系数有明显影响，随着入射角和入射频率增大，衬砌动应力集中系数分布变得更复杂。

(2)对于低频入射波，在隧道衬砌外敷设一层柔性衬砌或减震层可以明显降低隧道衬砌中的动应力幅值。

(3)减震层和围岩弹性模量比宜取低于1/20，最优减震层厚度宜取洞室内净空直径的1/25。

参考文献：

[1]MOW C C,PAO Y H,ACHENBACH J D.The Diffraction of Elastic Waves and Dynamic Stress Concentrations[M].New York:Crane,Russak &Company Inc,1972.

[2]LEE V W,TRIFUNAC M D.Response of Tunnels to Incident SH Waves[J].Journal of Engineering Mechanics,ASCE,1979,105(4):643-659.

[3]DAVIS C A,LEE V W,BARDET J P.Transverse Response of Underground Cavities and Pipes to Incident SV Waves[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics,2001,30(3):383-410.

[4]LEE V W,KARL J.Diffraction of SV Waves by Underground,Circular,Cylindrical Cavities[J].Soil Dynamics and Earthquake Engineering,1992,11(8):445-456.

[5]梁建文,纪晓东.地下衬砌洞室对Rayleigh波的放大作用[J].地震工程与工程振动,2006,26(4):24-31.

LIANG Jianwen,JI Xiaodong.Amplification of Rayleigh Waves due to Underground Lined Cavities[J].Earthquake Engineering and Engineering Vibration,2006,26(4):24-31.

[6]纪晓东,梁建文,杨建江.地下圆形衬砌洞室在平面P波和SV 波入射下动应力集中问题的级数解[J].天津大学学报,2006,39(5):511-517.

JI Xiaodong,LIANG Jianwen,YANG Jianjiang.On Dynamic Stress Concentration of an Underground Cylindrical Lined Cavity Subjected to Incident Plane P and SV Waves[J].Journal of Tianjin University,2006,39(5):511-517.

[7]王明年,关宝树.高烈度地震区地下结构减震原理研究[C]//中国力学学会结构工程专业委员会.第九届全国结构工程学术会议论文集.成都:中国力学学会结构工程专业委员会,2000.

[8]王帅帅,高波,申玉生，等.平面SH 波入射下深埋软岩隧道抗减震机理研究[J].土木工程学报,2014,47(S1):280-286.

WANG Shuaishuai,GAO Bo,SHEN Yusheng,et al.Study on the Mechanism of Resistance and Damping Technology of Deep Soft Rock Tunnels Subjected to Incident Plane SH Waves[J].China Civil Engineering Journal,2014,47(S1):280-286.

[9]高峰,石玉成,严松宏,等.隧道的两种减震措施研究[J].岩石力学与工程学报.2005,24(2):222-229.

GAO Feng,SHI Yucheng,YAN Songhong,et al.Study of Two Shock Absorption Measures in Tunnel[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2005,24 (2):222-229.

[10]王峥峥,高波,索然绪.双洞隧道洞口段抗减震振动台试验[J].中国公路学报.2009,22(2):71-76.

WANG Zhengzheng,GAO Bo,SUO Ranxu.Shaking Table Tests on Entrance Anti-seism of Double Track Tunnels[J].China Journal of Highway and Transport,2009,22(2):71-76.

[11]王帅帅，高波，隋传义，等.减震层减震原理及跨断层隧道减震技术振动台试验研究[J].岩土工程学报,2015,37(6):1 086-1 092.

WANG Shuaishuai,GAO Bo,SUI Chuanyi,et al.Mechanism of Shock Absorption Layer and Shaking Table Tests on Shaking Absorption Technology of Tunnel Across Fault[J].Chinese of Geotechnical Engineering,2015,37(6):1 086-1 092.

[12]高峰.地下结构动力分析若干问题研究[D].成都:西南交通大学,2003.