基于“三教”理念的儿童数学核心素养培育策略——吴正宪《用字母表示数》课例探析

孙兴华

（东北师范大学， 吉林 长春 130024）

基于“三教”理念的儿童数学核心素养培育策略
——吴正宪《用字母表示数》课例探析

孙兴华

（东北师范大学， 吉林 长春 130024）

“三教”理念给我们如何在学科教学中培育学生的核心素养提供了指引。吴正宪老师多年来在培育儿童数学核心素养方面进行了探索，关注学生的数学思考与表达。关注学生的数学学习体验与品质，关注学生的数学表征。她的《用字母表示数》一课体现了“三教”理念下的数学教学的追求与特质。

“三教理念”；数学核心素养；培育策略

核心素养是培养高素质社会公民的关键，许多国家与地区、国际组织都把核心素养视为课程设计的DNA，我们国家也把核心素养置于进一步深化课程改革、落实立德树人目标的基础地位。因此，核心素养如何落实成为热点与难点问题，特别是如何基于学科特色培养学生的核心素养呢？贵州师范大学的吕传汉教授提出了用“三教”理念培育学生核心素养的观点，即教思考、教体验、教表达，这三者是有机的整体，相互涵摄，“三教”理念给我们如何在学科教学中培育学生的核心素养提供了指引。

核心素养需要融入学科课程，学科课程成为培养学生核心素养的载体，学科教学是学校教育教学的中心任务，也是发展学生核心素养的关键所在和基本路径。因此，学生核心素养的培养能否落实，真正的挑战在于教师的课堂教学，教师本身除了需要精通学科核心素养外，更应善用培育学生核心素养的策略。吴正宪老师在这方面进行了有益的探索，她的儿童数学课例体现了“三教”理念下的数学教学追求与特质，不仅彰显学科特色，更突出学生学科核心素养的培养。因此，本文以吴老师的《用字母表示数》一课为例，探析基于“三教”理念的儿童数学核心素养培育策略。

一、儿童数学核心素养培育策略之一：关注学生的数学思考与表达

核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。数学核心素养可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力。[1]培养学生这种有特定意义的关键能力，需要教师重视学生的数学思考与表达，深度理解教学内容和善用适切的教学方式。吴老师《用字母表示数》一课特别关照学生数学的思考，重视儿童的数学表达，着眼于学生深层次的理解和认知。学生的数学思考具有内隐性，让学生的思维看得见摸得着的一种重要方法就是数学表达——学生和老师可以积极讨论他们是如何着手处理各种问题的以及为什么这样做，可以帮助课堂上的每个学生理解某一特定的概念或方法。

荷兰数学教育家弗赖登塔尔(H.Freudenthal)曾说过：“数学学习的过程就是要通过数学语言，用它特定的符号、词汇、句法和成语去交流，去认识世界。”[2]因此，思考与表达是数学和数学教育中非常关键的一部分，通过交流能澄清迷思和分享数学观点。吴老师充分认识到数学思考与表达的重要价值，在课堂上引导学生从数学的角度看问题，有条理地进行思考和清晰准确地表达，培养学生解决与数学相关的情境性问题及使用数学语言进行交流的意识和能力。吴老师是如何介入与促进学生进行数学思考与表达的呢？

1.选择与数学相关的情境性问题

学生并不是天生就会思考讨论数学，教师需要帮助他们学会如何思考与交流。首先要提出能促进学生观点分享、激发学生放声思考的情境性问题。本节课中吴老师重点选择了下面两个与数学相关的情境性问题：

问题1 师：用简便的办法，用一个式子表示出你和老师的年龄关系？

提出这个问题后，先让学生独立思考，再尝试写出来。

选取抽样如下几种情况：

李同学+马老师多的31岁；李同学x，马老师x+31

x+31＝Y，x是李同学的年龄；④老师又加上一种形式，李同学x，马老师Y；

⑤ A+31,B+31.C+31,D+31,E+31

问题2 师：用今天所学的用字母表示数表达“（ ）只青蛙 （）张嘴（）几只眼睛（）条腿”。

让学生自己独立表达出来。选取抽样的情况如下：

x只青蛙x张嘴x几只眼睛x条腿

s只青蛙x张嘴z几只眼睛v条腿

x只青蛙x张嘴2x几只眼睛4x条腿

可能很多老师在上这节课也会选择这两个情境性问题，但促进学生进行深层次思考与数学交流能否发生是重要的。因此，抽样学生表达的结果是很关键的一步，吴老师能介入到学生中间，去寻找学生不同表达，并且把抽样出的学生想法按一定次序呈现出来,这样做的目的是使学生能“清楚连贯地与同伴、教师或其他人交流他们的数学思维、分析和评价他人的数学思维和策略、用数学语言精确地表达数学观点”。[3]帮助学生体会到数学符号是进行数学理解、交流和分析的工具，体会运用字母表示数的概括作用，在具体情境中初步感受字母的取值范围（李同学年龄的取值），而字母表示数是符号的开始。在进一步的数学交流中，学生体会到字母不仅可以表示任意数（当然在具体问题中有时有一定限制条件），还可以表示一种关系，使用符号可以进行一般性的运算和推理。

吴老师在注意选择和使用能出现有意义交流的数学活动同时，更把课堂讨论交流的指导建立在对学生学习观察的基础上。比如：

每盘有5个桃子，1盘有多少个？2盘有多少个？3盘呢？100盘呢？10盘呢？学生说了5×1，5× 2，再往下写，学生用一个词“受不了”，写成5×x，表示一个倍数（乘）的关系。

吴老师抓住学生一个表达感受的核心词“受不了”，有几盘就有几个5，尽而讨论发现用字母不仅可以表示数量，还能表示数量关系。虽然是一个很简单的情境，但是老师却能帮助学生理清他们表达的内容，把注意力集中在问题的条件及其数学意义上，并且指导学生从例子中提炼数学思想。用字母表示数，实现了数的一般化，是数学符号化的重要一步，标志着由算术到代数的质的飞跃。用字母符号表示关系，实现了数学关系的一般化，提升了数学的抽象层次，标志着由基础数学向抽象数学的质的飞跃。数学的发展史决定了数学教育也必然经历一个逐渐符号化的过程,吴老师就是通过学生对问题解决过程的数学思考与表达让学生获得符号意识的体验。

2.帮助学生反思表达的内容

2012年PISA在界定数学素养时指出：帮助个体认识数学在现实世界中所起到的作用，作出有根据的判断和决策，以成为具有建设性、参与意识和反思能力的公民。反思表达的内容与理性判断是很重要的一种素养，需要教学中给以特别的关注，帮助学生反思他们的思考与表达，调节元认知策略和培养学生的自我监控意识。吴老师在这节课中，无论是用字母表示同学和老师的年龄，还是用字母表示青蛙嘴、眼晴、腿的数量，都设计了让学生反思他们表达内容的讨论环节，通过学生对数学思考与表达的交流反思，可以极大的促进学生对自己学习的评价，学生可以看到自己学习中的困难，特别是当前遇到的迷思，通过同学的交流解释，学生可以不断修改原来的思考方法和认知策略，从其它角度对自己认知的途径和结果重新审视和思考。另外，下课前吴老师和学生还共同进行了梳理：

在课的尾声，我想对你们进行访谈，你们怎么认识用字母表示数？学生做了各种回答：（1）用字母表示数比较简单；（2）写一些有规律的算式用字母表示数方便；（3）用字母表示数能表示出他们之间的关系；（4）可以把一类的问题概括表达出来；（5）能表达数量，还能表达数量关系。吴老师总结到：你们经历了不断的推理、概括，抽象出了用字母表示数。

吴老师梳理总结的设计是进一步帮助学生建构概念理解的过程，让学生把本节课所学的知识组织和连结在一起，使学生整体把握理解字母表示数的意义，会用字母表示数及生活中的数量关系，知道这样的数学表达与字母本身无关，感悟符号意识，了解字母可以像数一样参与运算。这是以“理解性”和“发展性”标准来认识自己解题的收获，自觉对问题的本质进行重新剖析，反思自己发现解题念头的经历，抽取解决问题的关键，总结解题过程的经验与教训，反思解题过程的成败得失及其原因。[4]通过吴老师的引导和学生的思考,增强学生的自我监控意识,提高学生思维的品质,改善学生的思维水平，促进学生元认知能力的发展。

二、儿童数学核心素养培育策略之二：关注学生的数学学习体验与品质

“数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的市民的需要而具备的认识，并理解数学在自然、社会生活中的地位和能力，作出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。”[4]因此，教学中关注学生的数学学习体验与品质非常重要。吴老师希望学生成为数学的主动学习者和行动者,而不仅仅是对数学事实和步骤的了解者，对学生的学习过程能够积极地进行调控,为学生的数学学习体验及学习品质的形成提供有效的指导和示范。

1.鼓励和引导学生在数学学习中承担责任

学生是学习的主体，教学要以学生承担学习责任为指引。吴老师积极创设一种相互信任、相互尊重的课堂气氛, 支持学生为数学学习而承担责任。因此在课堂中吴老师采用的不是要求学生直接记忆教师所教的方法，而是充分运用师生和生生之间的对谈、提问、自问自答或他答、放声思考等方式，提供学生思考解决问题的策略，让学生逐步建立符号意识，获得代数洞察力(Algebraic insight)。

学生在学习过程中要面对挑战。因此要在学习中逐渐增加责任感，积极参加课堂讨论并进行相互间的交流，尽管参与课堂讨论并非是易事，但吴老师一直在鼓励和引导学生倾听、理解、询问和解释他人的观点。例如：

“x+31＝Y”出现时，吴老师鼓励给这样写的同学提出问题，学生分别提出x和Y是什么意思，这个同学对字母所表示的数进行了解释。

“李同学x，马老师x+31”讨论时，吴老师还是让学生询问，学生问到：没有结果呀？这样表达的同学做了解释：因为李同学的年龄是x岁，马老师和他相相差31岁，所以是x+31。李同学的年龄加上和马老师的年龄差31，表达出一种关系。

“A+31,B+31.C+31,D+31,E+31”表达出现时，吴老师仍是让学生向写出的同学提问，学生解释这里不同字母所表示的是不同段的年龄，这引起大家的质疑，同学们认为这种表达与写成数字没什么区别，年龄增长字母不够用了呢？

通过这样的讨论，学生明晰了用字母表示数的简洁性，也要清楚字母所表示的意义是什么，用字母符号可以表达关系，并且在具体情境中要考虑所表示的范围。让学生知道什么是数学中可以用作证据的知识，学生会根据大家共同接受的数学结论来检视自己的观点。吴老师在教学过程中的鹰架角色，能让学生更主动承担学习责任，能给学生提供滋养探索、推理、逻辑分析、抽象思维能力的课堂情境，也体现了数学本身所具有的应用性功能。吴老师充分认识数学符号简洁性与意义复杂性的统一，选取学生不同的表达进行分析，不仅看到符号简洁性背后意义的复杂性，还要看到意义复杂性背后的形式多样性，更能够从这种复杂多变中回归到简洁性。

2.促进学生学会富有成效地体验和互动

课堂上所有互动的目的都是为了促进每个学生的思考与表达,以及对自己与他人理解的监控，因此老师要让学生有机会去解释。吴老师从问题的提出到问题的解决都在促进学生的体验和互动。这节课解决三个问题，一是老师的年龄问题，侧重于帮助学生体会用字母表示数的必要性；二是桃子数量问题，侧重理解用字母表示关系；三是青蛙数量问题，是用字母表示数与数量关系的综合运用。三个问题的处理都体现促进学生学会富有成效的体验和互动。学生通过体验和互动去反思和描述他们的数学思考，可以学习比较解决同一个问题的方法，辩别每一种表示方法的优点和不足，可以学习对其他同学的数学表达提出有价值性的问题，或者帮助其他同学理清解决问题的思路，还可以学会批判性地思考、反思和评价自己的观点、理解他人的看法，学会用这种方式互动。学生在这个过程中也可以学习到一些一般化的问题解决的策略，比如提问，不断鼓励学生提问，成为吴老师走进学生思维的方式，提供有效的信息，帮助老师更好地指导学生沿着一条有效的学习路径解决问题，促进学生的认知体验。

纵观吴老师整节课，从明确这节课的学习任务开始，进行了三个连续的数学情境学习活动的讨论，最后是梳理总结。整节课也没有用什么多媒体的课件，表面看这节课非常简单朴素，但却关注了学生学会提出相关问题和评价学习结果的能力，关注了学生学习中的自我评价、自我监控的意识和习惯，关注了学生之间、师生之间数学元认知知识的共享，因此课堂朴素背后实现的是培养学生的数学思维品质，发展学生的元认知能力。思维品质与元认知实质上是同一事物的两个方面，思维品质代表的是思维的表层结构,元认知代表的是思维的深层结构,元认知与思维品质存在因果关系,即元认知的改变必然引起思维品质的改变。[6]可以看出，吴老师非常重视数学元认知的训练与培养,提高学生元认知水平,达成培养学生数学核心素养的目标。

三、儿童数学核心素养培育策略之三：关注学生的数学表征

学科独特思维品质的发展过程是学习者在学科学习活动中有效学习学科知识重要路径和保障，习得学科学习特定思维有利于提高学习效率。研究表明：表征既是数学的一部分又是理解数学的一个教学手段。数学表征是指用某种形式表达数学概念或关系的过程.数学表征有助于学生理解概念、关系或关联以及解决问题过程所使用的数学知识。[7]吴老师重视学生的数学表征，基于所学内容运用情境、符号与言语的形式进行表征，帮助孩子达成数学知识的理解和他人沟通以及推理的目的，着眼于学生的概括与抽象能力培养。

1.把学生的数学表征当作数学学习活动的重要资源

吴老师运用学生与老师年龄这个情境表征提出要讨论的问题，运用已有的知识经验讨论，无论是老师还是学生都有一种困扰，所举的都是一个具体的数值的例子，越举越多，都不能把学生和老师年龄这件事表达清楚，这就产生一个需要：用一个什么样简便的办法表示出学生和老师的年龄关系呢？也就是说，教师必须使用某种语言与学生沟通一个数学问题，学生也需要使用某种形式，来和老师、同学沟通自己的想法与结果。于是，吴老师让学生自己独立思考去记录，然后利用学生的各种表征内容组织交流，从不同的视角促进学生对数学的理解。吴老师抽样出学生的数学表征有文字形式的表征，也有抽象符号形式的表征，学生体会到同一个情境，有多种不同形式的表征，同时帮助学生进一步思考较佳的表征是什么，赋予静态的数学知识以丰富直观的背景与意义，理解字母符号表征所能够传达的抽象信息。

2.帮助学生在真实情境与抽象形式之间建立联结

表征既是思考的工具，又是交流的工具。因此，需要教师帮助学生在真实情境与抽象形式之间建立联结。任何符号的引进都需经过“符号初步意义的获得、符号成为沟通工具、符号成为解题工具”三个阶段。从吴老师的课堂中可以发现，符号初步意义的获得阶段吴老师侧重引发学生通过年龄这个真实的情境与特定符号对应；符号成为沟通工具阶段吴老师侧重让学生用共识的符号记录出来；在理解了用字母表示数的多重意义后，再让学生用符号来解决青蛙的数量问题。在这个过程中，吴老师不断引导学生洞察所给情境中的数学元素，用数学的简洁语言进行抽象表达。

另外，吴老师通过表征，让学生观察到在不同情境中的数学现象有着共同的结构。比如，三个情境中学生表征的结果，从年龄的x+31，到桃子数量的5×x，再到青蛙2×x和4×x，虽然在不同的情境中，表示的具体式子也不相同，但他们有一个共同的结构，都是表达数量与关系。这些数学表征是当前问题情境和个体已有知识经验的有效结合，它既依赖于个体已有的知识经验，也依赖于当前的问题情境。一旦学生理解了这些数学表征和它们所表现的数学思想，他们就获得了一套能有效地扩展数学思维的工具。

[1]马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课程·教材·教法,2015(9):36-39.

[2]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平译.上海教育出版社,1995.

[3]全美数学教师理事会.美国学校数学业教育的原则和标准[M].蔡金法译.北京:人民教育出版社,2004.

[4]涂荣豹.数学解题学习中的元认知[J].数学教育学报,2002(11):6-11.

[5]马云鹏,张春莉.数学教育评价[M].北京:高等教育出版社，2003.

[6]董奇.元认知与思维品质关系的性质的相关、实验研究[J].北京师范大学学报,1990(5):51-58.

[7]CaiJin Fa , Frank K,Lester Jr.Solution representations and pedagogicalrepresentations in Chinese and US Classroom[ J].Journal of Mathematical Behavior,2005,( 24):221-237.

责任编辑：王美娜

Educational strategies of children’s mathematical core competency based on Three Devices of Teaching in thinking,experiencing and expressing——Wu Zhengxian’s lesson example of Representing Numbers with Letters

SUN Xing-hua
（Northeast Normal University,School of Education,Changchun,Jilin130024,China）

Three Devices of Teaching in thinking,experiencing and expressing provide guidance in cultivating students’core competency during subject matter instruction.Ms.Wu Zhengxian has attached great importance to students’mathematical thinking and expression,mathematical studying experience and effectiveness as well as students’mathematical representation in her years’exploration of developing children’s mathematical core competency.Her example lesson of Representing Numbers with Letters vividly reflects the pursuit and characteristics of mathematical instruction under the idea of three devices of teaching.

Three devices of teaching;mathematical core competency;educational strategies

1009—0673（2016）03—0104—05

G633.6

A

2016—04—08

孙兴华（1971－ ），女，吉林长春人，东北师范大学副教授、博士，主要从事小学数学课程、教学论与教师教育研究。